2020-2021学年北师大版必修1第三章1正整数指数函数学案

1、I第三章三指数函数和对散函数§ 1 正整数指数函数研谟导竽，尝情1.正整数指数函数的概念、图像和性质(1)一般地，函数y = ax(a>0, awl, x N + )叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集 N+.(2)正整数指数函数的图像和性质7NJ尸（拼ENJ图像特征共同特征：正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的；分类特征：a.当底数a>1时，正整数指数函数的图像是上升的；b.当底数0vav 1时，正整数指数函数的图像是下降的.单调性a.当底数a>1时，正整数指数函数是增函数；b.当底数0vav 1时，正整数指数函数是减函数.2.指数型函数把形

2、如y=kax(kCR, a>0,且aw 1)的函数称为指数型函数 .i自我尝试,1 .判断正误(正确的打“，”，错误的打"x”)(1)若y=ax为正整数指数函数，则 a为大于零且不等于1的常数，xC N+.()(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点.()(3)正整数指数函数的图像与直线x=T(T为常数且T>0)最多只有一个交点.()(4)指数型函数 y=kax(kC R , a>0,且aw 1),当k= 1且xC N+时即为正整数指数函 数.()答案：(1)， (2)， (3)， (4)，2.A.B.C.D.下列函数是正整数指数函数的是 ()y= 4

3、x(xC N+)x1<y= 3 (xe n + ) y=2x(xC R) y=x3(xC N+)一一 33.函数 f(x) = 47A.1627C.w4. 一种产品的年产量原来是10000件，今后计划使年产量每年比上一年增加p%,则解析：选B.y=4x(xC N+)和y=x3(xCN + )不是正整数指数函数，排除A、D; y = 2x(xC R)的定义域不是 N + ,故选B.(xC N + ),则 f(2)=()b.29D.i6解析：选D.f(2) =年产量随经过年数 x变化的函数关系式为 .解析：经过1年的年产量为 10 000(1 + p%),经过2年的年产量为10 000(1

4、+ p%)2, 经过 x(xC N + )年的年产量为 10 000(1 +p%)x, xC N + .答案：y= 10 000(1 +p%)x(xC N+)名师指海正整数指数函数的特征(1)ax的系数为1;(2)底数 a>0 且 aw 1 ；指数为自变量x; (4)xCN + .探究某,探究点1正整数指数函数的概念学生用书P43若xCN+,判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性.3. 4x、,(1)y=(V5)x； (2)y=三；(3)y=(L 3)x.3【解】(1)不是.因为丫=(粕广的底数北<0,所以y=(诉)x不是正整数指数函(2)不是.y = 43-=14x

5、,因为4x前的系数不是1,所以y = 4"不是正整数指数函数.(3)是.因为y=(广3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以函数y=(兀一3)x是正整数 指数函数且是减函数.(1)按正整数指数函数的特征来判定；(2)注意与哥函数的区别.3自除训练1.(1)若函数y= (a2 3a+ 3) ax为正整数指数函数，则实数 a的值为(2)正整数指数函数的图像经过点2,则此函数的解析式为y=,定义域9为.解析：(1)若函数y= (a23a + 3) ax为正整数指数函数，则ax的系数a23a+3=1,且 底数a>0且aw 1.由此可知，实数a的值为2.,一 16 八(2)把 2, -9

6、 代入 y=ax(a>0 且 aw1),得J2,94所以a=不，3答案：(1)24 xy= 7 , xC N+.32 2) 3 N+3探究点2 正整数指数函数的图像与性质学生用书P433 x例D 回出函数y= 2 (xCN+)的图像，并说明函数的单调性和值域.【解】(1)列表:x1234392781y24816(2)描点：图像如图所示.3根据图像知y= 2 (xC N + )在其定义域上是增函数解决正整数指数函数图像与性质问题的注意点(1)正整数指数函数的图像和性质分别从形、数两个方面对正整数指数函数加以剖析 因此在处理与正整数指数函数有关的问题时应注意数形结合思想的运用；(2)由于底数

7、大于1时与底数大于零小于1时的单调性不同，所以也应注意分类讨论思想的运用.1 x把身踪训练2.(1)函数y= 2 , xCN +的图像是()A. 一条上升的曲线B. 一条下降的曲线C. 一系列上升的点D. 一系列下降的点(2)函数f(x)=ax(a>0, aw1, xCN + )在1 , 3上是增加的，且最大值与最小值的差为a,贝U a=.l,一，1,一，1 x入口 生-解析：(1)由于xC N +且底数为1,所以函数y= - , xC N+的图像是一系列下降的点.(2)因为f(x)在1, 3上是增加的,加以 a>1,所以 f(x)min=f(1) = a,f(x)max= f(3

8、) = a3.所以 a3a=a,即 a(a22)=0.又因为 a>0,且 a w 1,所以 a= >/2.答案：(1)D (2) .12探究点3正整数指数函数的实际应用学生用书P43例区 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数 x(万人)与年份t(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数.【解】(1)1年后该城市的人口总数为 x= 100+100X 1.2%=100X(1 + 1.2%)(万人)，2 年后该城市的人口 总数为 x= 100X(1 + 1.2%) + 100X(1 + 1.2%) X 1.2%

9、= 100X(1 + 1.2%)2(万人),那么t年后该城市的人口总数为x= 100X(1 + 1.2%)t(万人)，te N+.(2)10 年后该城市的人口总数为x= 100X(1+ 1.2%)10= 100X 1.01210(万人).实际生活中与指数函数有关的函数模型(1)指数增长模型：在y= N(1+p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值， x为时间.(2)复利计算公式：y= a(1+ r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和),我国 现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算.立JR踪训练3.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1年剩留的这种物质是 原来的

10、84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(xC N + )变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性.解：(1)设这种物质最初的质量是1,经过x年，剩留量是y,由题意得经过1年，剩留量y= 1X84% = 0.841;经过 2 年，剩留量 y=1X84%X84%= 0.842;一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y=0.84x(xC N + ).(2)根据函数关系式列表如下：x12345y0.840.710.590.500.42用描点法画出正整数指数函数y=0.84x(xC N+)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的.urr .O 2345J&qu

11、ot;(3)通过计算和观察图像可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数.凰养提升思想方法数形结合思想在正整数指数函数图像中的应用典例在同一坐标系中画出yi=2x(xCN + ), y2=3x(xC N+)的图像，试观察哪个函数增,y2=3x增加得更快.加得更快？【解】(1)列表：x123y1248y23927(2)描点得图像如图所示，由图像知两个函数的图像都是增加的对于正整数指数函数 y=ax(xCN+, a>0,且awl)(1)当 ai>a2>1 时，yi = a1(xC N+)比 y2 = a2(xC N+)增加得快;(2)当 0<ai<a2&l

12、t;1 时，yi = a1(xC N+)比 y2= a2(xC N+)减小得快. 当堂检测 1.若xC N + ,下面几个函数中，是正整数指数函数的是()A . y= x2+ 1B. y= - 2xC. y=(-3)xD. y= t?解析：选D.根据正整数指数函数的定义知A、B、C不符合定义，故选D.2.已知函数 f(x) = ax(a>0,且 aw1, xC N+)且 f(5) = 32,则()A. f(-2)>f(-1)B. f(-1)>f(-2)C. f(2)>f(1)D. f(1)>f(2)解析：选C.由题意a5=32(a>0,且a1),所以a =

13、2, f(x) = 2x(xC N + )为增函数，又一2、 1?N+,排除 A、B,对 C、D,因为 2>1(2, 1 C N + ),所以 f(2)>f(1).3,正整数指数函数y=(a-1)x在xCN+上是增加的，则 a的取值范围是 .解析：由题意知a- 1>1,所以a>2.答案：(2, +8)4.光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%,把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1,通过x块玻璃板后的强度为V,则y关于x的函数关系式为 .解析：当 x=1 时，y= 1X(1-0.2)= 0.8；当 x=2 时，y= 0.8X (1 0.2) = 0.82;当

14、 x=3 时，y= 0.82x(1 0.2)= 0.83;所以 y=0.8x(xC N+).答案：y=0.8x(xCN+)应用案学生用书P121(单独成册)A基础达标1 .下列给出的四个正整数指数函数中，在定义域内是减少的是A. y= 1.2x(xC N+)C. y=0.99x(xC N + )B. y=3x(xC N+)D. y=6x(xC N+)所以y= 0.99x(xC N + )是减少的.2,函数y=5x, xC N+的值域是(A. RC. N解析：选D.因为函数 4,时，其相应的函数值 5 , 52, 53, 54,.)B. N +D. 5, 52, 53, 54,y=5x, xC

15、N+的定义域为正整数集N + .所以当自变量x取1,2, 3,y依次是5, 52, 53, 54,.因此，函数y=5x, xCN +的值域是解析：选C.A、B、D中底数均大于1,对应函数均为增函数，C中底数0.99 6(0, 1),3,若函数f(x)=(a25a 5)ax为正整数指数函数，则 a的值为()B. 6D. - 6A. - 1C. 1 或 6a2 5a 5= 1,解析：选B.由得a= 6.a>0且a w 1,4.某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2015年该企业全年总产值为1 000万元，则2018年该企业全年总产值为()A. 1 331万元B. 1 320万元C. 1

16、 310万元D. 1 300万元解析：选 A.易知 1 000(1 + 10%)3= 1 331(万元).5,正整数指数函数 y=ax在1, 2上的最大值与最小值之和为6,则a等于()A. - 3B. 2C. 3或2D.以上均不对解析：选B.因为正整数指数函数 y=ax在1,2上单调，由题意得a+a2= 6(a>0且a w 1), 解得a= 2.6 .已知0<a<1,则函数y= ax1(xC N+)的图像在第解析：因为0<a<1,所以y=ax(xCN + )是减少的，其图像为第一象限内一系列孤立的点 且分布在y= 1与y= 0之间，向下平移一个单位得 y= ax1

17、(xC N+)的图像，所以y= ax 1(xC N+)的图像在第四象限.答案：四7 .若集合3, |x|, x = -2, 2, y,则 2x+ 2y=.解析：因为3 , |x|, x= - 2, 2, y,所以 y= 3, x=2,所以 2x+ 2y= 2 2+ 23= 334 .答案：8.某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过小时.解析：细菌个数y与分裂次数x的关系为y=2x,由题意知2x = 4 096,即2x=212,所以 x=12,所需时间为12X15=180分钟，即3个小时.答案：31 3 X29 .求不等式 3<

18、32x(xC N+)的解集. I 1 " x2 c /口 2c解：由 Z<32>得 3x 3<32x.3因为函数y=3x, xC N+为增函数，所以 x2 3<2x,即 x2 2x 3<0 ,所以(x3)(x+1)<0,解得一1<x<3.又因为xCN + ,所以x=1或x=2.故不等式白解集为1, 2.10 .已知正整数指数函数 f(x)的图像经过点(3, 27).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求 f(5)；(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因.解：(1)设正整数指数函数为f(x)=ax(a>0, aw

19、i, xC N + ),因为函数f(x)的图像经过点(3, 27),所以 f(3)=27,即 a3 = 27,解得 a=3,所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=3x(x N+).(2)f(5) = 35=243.(3)因为f(x)的定义域为N + ,且在定义域上是增加的，诳以f(x)后最小值，最小值是f(1) = 3, f(x)无最大值.B 能力提升11 .已知函数 f(x)=ax(a>1, xCN + ), g(x)=bx(b>1, xC N+),当 f(x1) = g(x2)= 4 时,有 x1>x2,则a, b的大小关系是()A. a<bB. a< bC. a>bD.不能确定a、b的关系解析：选 A.由 f(x1)= g(x2)=4, x1>x2,且 a>1 , b>1 ,可知 f(x) = ax 比 g(x)=bx 增加得慢, 故a<b,选A.也可以找两个特屣函数y= 2*与y= 4x来验证.12,已知集合 A= x|1<2x<16, xCN+, B=x|0< x<3, xCN,则 AAB =.解析：由 1<2x<16(xC N+)得 x= 1 , 2, 3,即 A= 1 , 2, 3 , B=0 , 1, 2,所以 APB =1 , 2, 3 n0, 1, 2=1