1.1.1集合及其表示方法(新教材教师用书)

1、1.1.1 集合及其表示方法（教师独具内容）课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集教学重点：1.集合概念的正确理解2元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合 关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念.教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是他请教一位数学家：”先 生，您能告诉我，集合是什么吗？

2、”由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚.直到有一天，数学家来到渔 民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动.数学家非常激动，高 兴地对渔民说：“这就是集合！ ”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素.(3)表示：通常用英文大写字母 A, B, C,表示集合，用英文小写字母 a, b, c,表 示集合中的元素.知识点二元素与集合的关系(1) “属于：如果a是集合A的元素，就记作J01a.A,读作“

3、a属于A” .(2) “不属于：如果a不是集合A的元素，就记作J02Lo?A,读作“a不属于A” .知识点三空集般地，我们把不含任何元素的集合称为01空集(empty set),记作02 ?.知识点四 集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性.知识点五集合的分类有限集；(2)无限集.知识点六几个常用数集的固定字母表示名称符号非负整数集(自然数集)01 N正整数集整数集有理数集实数集或随N01 Z06 R知识点七集合的表示方法集合常见的表示方法有：01 一自然语言、02列举法、国描述法、01 “区间”(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法).(1)列举法：把集

4、合中的元素05列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素 都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个也6特征性质.此时，集合A可以用它的特 征性质p(x)表示为x|p(x).这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.知识点八区间定义名称符号1“ a, xa, x b, xb的实数x的集合分别表示为 02a, +0), (a, +qq), ( qq, b, ( qq, b.定义符号数轴表示(OQ , + OO )可以看出，区间实质上是一类特殊数集（即由数

5、轴某一段上所有点对应的实数组成的集合 ） 的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间（1,10）表示.【新知拓展】1 元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可此时应先明确集合是由哪些元素构成的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件2 集合的三个特性(1) 描 述 性 ： “ 集 合 ” 是 一 个 原 始 的 不 加 定 义 的 概 念 ， 它 同 平 面 几 何 中 的 “点”“线”“面

6、”等概念一样都只是描述性的说明(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素3 使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号1 .判一判(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构

7、成集合()(2)已知A是一个确定的集合，a是任元素，要么aCA,要么a?A,二者必居其一且只居其一.()(3)对于数集 A=1,2 , x2,若 xC A,则 x=0.()(4)对于区间2a, a+1,必有a3的解集可以用区间表示为 .答案(1)A (2)? e ? ? ? e(3)2, +8)题型一集合概念的理解例1下列所给的对象能构成集合的是.所有的正三角形；高一数学必修第一册课本上的所有难题；比较接近1的正数全体；某校高一年级的全体女生；平面直角坐标系内到原点的距离等于 1的点的集合；参加2019年世乒赛的年轻运动员；a, b, a, c.解析能构成集合.其中的元素需满足三条边相等.不能

8、构成集合.因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合.不能构成集合.因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合.能构成集合.其中的元素是 “高一年级的全体女生” .能构成集合.其中的元素是 “到坐标原点的距离等于1的点”.不能构成集合.因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合.不能构成集合.因为两个a是重复的，不符合集合元素的互异性.答案金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是 给定集合的元素.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.跟踪训练

9、1判断下列说法是否正确？并说明理由.(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；3 1(3)1,0.5,万，万组成的集合含有四个兀素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合.解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确.(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误.1(3)中由于0.5=2,不符合集合中兀素的互异性，故错误.(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确 .题型二元素与集合关系的判断与应用例2 (1)下列所给关系正确的个数是() R；43?Q; 0CN*; |4|?N*.A. 1B. 2 C

10、. 3 D. 46(2)集合A中的兀素x?两足CN, xCN,则集合A中的兀素为6 x解析(1)，冗是实数，熄是无理数，.正确；: N*表示正整数集，而0不是正整数，故不正确；又| 4| = 4是正整数，故不正确，正确的共有 2个.0,x0,6-x0, x0,0x6, .x=0,1,2,3,4,5.当x分别为0,3,4,5时，工相应的值分别为1,2,3,6,也是自然数，故填0,3,4,5.答案(1)B (2)0,3,4,5金版点睛1.常用数集之间的关系有理 实数数集-1,且一2CA, .x= 2.题型三 集合中元素的特性例3 已知集合A有三个元素：a 3,2a1, a2+ 1,集合B也有三个元

11、素：0,1, x.(1)若一3C A,求a的值；若x2C B,求实数x的化解(1)由一3C A且 a2 + 11,可知 a 3= 3或 2a1 = 3,当 a 3= 3 时，a=0;当 2a1 = 3 时，a= 1.经检验，0与1都符合要求.得a = 0或一 1.(2)当 x=0,1, -1 时，都有 x2CB,但考虑到集合元素的互异性，30, xw1,故乂= -1.金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性 对集合中元素进行检验.(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用.跟踪训练3

12、已知集合A包含三个元素：a-2,2a2 + 5a,12,且3CA,求a的值.解 因为A包含三个元素a-2,2a2 + 5a,12,且一3CA,所以 a 2= 3 或 2a2 + 5a= 3,3解得a= - 1或a： .当a= 1时，A中三个元素为：一3, 3,12,不符合集合中元素的互异性，舍去.3 73当a= 2时，A中二个兀素为：一2， 3,12,湎足题思.故a=-.题型四集合的分类例4下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集.(1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x2 1)(x

13、2+ 2x+ 1) = 0的解集；x2-x+ 1=0,(5)在实数范围内方程组x+y_1的解构成的集合.解ID能构成集合，是无限集.(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集 合，是有限集.(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于 0,能构成集合，是无限集.(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是一1,1,是有限集.cx2x+1=0,(5)由x2 x+ 1 = 0的判别式 a-30,1 + 2x 3x- 5的整数解组成的集合;(2)式子0, bw0)的所有值组成的集合.得 3x0,由1+2x 3x- 5又x为整数，故x的取

14、值为4,5,6,组成的集合为4,5,6.(2)aw0, b；a与b可能同号也可能异号，则:当 a0, b0 时，曰+|b1= 2; a b当 a0, b0, b0 或 a0 时，呼+ |jb|=0.故所有值组成的集合为2,0,2.题型六用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合；所有被3除余1的整数的集合；一 1(3)使y = x2+x_ 6有息义的头数X的集合.解(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为(x, y)Xy 0, x R, y R.(2)因为被3除余1的整数可表示为3n+1

15、, nCZ,所以所有被3除余1的整数的集合为x|x=3n+1, nCZ.一一 1(3)要使 v= x2 + x_6有意乂，则 x2 + x 6*0.由 x2 + x 6=0,得 x=2, x2= 3.一一1所以使y= x2+x_ 6有忠义白头数x的集合为xk*2且xw 3, x R.金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示.(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义 或取值范围.(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描

16、述的内容都要写在集合内. 跟踪训练6 试用描述法表示下列集合：(1)方程x2 x 2=0的解集；(2)大于1 且小于 7 的所有整数组成的集合解 方程x2x 2=0的解可以用x表示，它满足的条件是x2 x 2 = 0,因此，方程的解集用描述法表示为xC R|x2 x 2 = 0.(2)大于一1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x Z,且1x7,因此，该集合用描述法表示为xZ|-1x 0,1 且 kw 0. k的取值范围的集合为k|k 1且 20.金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论 k是否为0而漏解.由kx2-8x+ 16= 0是否为 一元二次方程而分

17、k=0和kw0两种情况，注意做到不重不漏.(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入占八、 6跟踪训练7 (1)设集合B= xC N 2TL CN2 I X试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.(2)已知集合 A=xX2ax+b= 0,若 A=2,3,求 a, b 的化 6解(1)当x=1时，狂7 = 2C N.,63当乂= 2 时，27= 2?N.所以 1CB,2?B.e N, xC N,2 + x 只能取 2,3,6, .x只能取 0,1,4. .B = 0,1,4.2 + 3 = a,(2)由A=2,3知，方程x2 ax+ b= 0的两

18、根为2,3,由根与系数的关系，得八c 2 X 3= b,因此 a= 5, b= 6.题型八 集合中的新定义问题例8已知集合A= 1,2,4,则集合B = (x, y)MCA, yC A中元素的个数为()A. 3B. 6 C. 8 D. 9解析根据已知条件，列表如下：yCt )*12IM41(1,1)(1.2)(1,4)I 2(2,1)(2,2)(2,4)4(4.1)(4,2)(4,4)由上表可知，B中的元素有9个，故选D.答案D金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了； 列举法是分析问题的重要的数学方法，通过 “列举”直接解决问题或发现问题的规律，

19、此方 法通常配合图表 含树形图 使用.跟踪训练 8 定义 A*B = z|z= xy, xC A, yC B,设 A=1,2 , B = 0,2,则集合 A*B 中的所有元素之和为（）A. 0B. 2 C. 3 D. 6答案 D解析 根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知 A*B=0,2,4,故集合A*B中所有元素之和为0 + 2 + 4 = 6,故选 D.1.下列所给的对象不能组成集合的是（）A.我国古代的四大发明B.二元一次方程x+ y= 1的解C.我班年龄较小的同学D.平面内到定点距离等于定长的点答案 C解析 C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性.故选

20、C.2 .已知集合A含有三个元素2,4,6,且当aC A时，有6aC A,则2为()A. 2B. 2或 4 C. 4 D. 0答案 B解析 集合A中含有三个元素2,4,6,且当aCA时，有6 26人.当2= 2CA时，6 a = 4CA, ；a = 2符合题意；当a = 4CA时，6- a= 2CA, ；a=4符合题意；当a = 6CA时，6 a = 0?A,综上所述，a=2或4.故选B.3 .由实数一a, a, |a|,特所组成的集合最多含有的元素个数是()A. 1B. 2 C. 3 D. 4答案 B解析 对a进行分类讨论：当a = 0时，四个数都为0,只含有一个元素；当aw 0 时，含有两

21、个元素a, -a,所以集合中最多含有2个元素.故选B.4 .用适当符号(C , ?)填空.(1)(1,3)(x, y)|y= 2x+1;(2)2m|m=2(n1), n C Z.答案(1)C (2)解析 (1)当 x=1 时，y= 2X1+1 = 3,故(1,3)C(x, y)|y=2x+ 1.(2)当 n = 2CZ 时，m=2X(21)=2,故 2C m|m=2(n1), n Z.5 .设aR,关于x的方程(x1)(xa) = 0的解集为A,试分别用描述法和列举法表示 集合A.解 A=x|(x 1)(x a)=0,当 a=1 时，A=1；当 a*1 时，A=1 , a.A 级：“四基”巩固

22、训练一、选择题1 .已知集合S= a, b, c中的三个元素是 ABC的三边长，那么 ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 D解析 因为集合S= a, b, c中的元素是 ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a, b, c互不相等，所以 ABC 一定不是等腰三角形.故选 D.2下列集合的表示方法正确的是()A.第二、四象限内的点集可表示为(x, y)|xy&0, xC R, ye RB.不等式x- 14的解集为x5C 全体整数D 实数集可表示为R答案D解析A 中应是xy0； B 中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面

23、的代表元素 x,应为x|x0,则实数a的取值范围是（）A. aw2B. a2 C. a2D. a = 2答案 C解析 因为2?xx a0,所以2不满足不等式x-a0,即满足不等式x-a0,所以2 -a2,故选 C.二、填空题6 .若 A=2,2,3,4, B=x|x=t2, tCA,则用列举法表示 B =.答案4,9,16解析 由题意，A= 2,2,3,4, B = x|x=t2, t C A,依次计算出B中元素，用列举法表 示可得B = 4,9,16,故答案为4,9,16.7 .已知集合A=x|ax23x 4=0, x R,若A中至多有一个元素，则实数a的取值范 围是.一、.9答案 a =

24、0或a0 16解析 当a = 0时，A= x|x= 3；当aw0时，关于x的方程ax23x 4 = 0应有两个9 .相等的实数根或无实数根，所以 A= 9+16a0,即a016.故所求的a的取值范围是a= 0-9或a0 一而8 .已知集合A中的元素均为整数，对于kCA,如果k1?A且k+ 1?A,那么称k是A的 一个“孤立元”.给定集合 S= 1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.答案 6解析根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的 集合为1,2,3, 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,

25、7 , 6,7,8,共有 6 个.故答案为 6.三、解答题9 .用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3) 一次函数y=2x 3图像上所有点的集合；x+y=1,(4)方程组 彳的解集.x y= 1解(1)-2,0,2.(2) m|m=3n+1, nCN.(3)(x, y)|y= 2x- 3.(0,1) .10.已知集合 A=a+3, (a+1)2, a2+2a + 2,若 1 C A,求实数 a 的值.解若a+3=1,则a= 2,止匕时A=1,1,2,不符合集合中元素的互异性，舍去.若(a+1)2=1,则 a= 0 或 a= 2.当a = 0时，A= 3,1,2,满足题意；当a= 2时，由知不符合条件，故舍去.若 a2+2a + 2=1,则 a= 1,此时A=2,0,1,满足题意.综上所述，实数a的值为1或0.B级：“四能”提升训练1,已知集合 A=x|x= 3n+1, n C Z , B = x|x= 3n+