(山东专用)2021版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第四讲三角函数的图象与性质学案(含解析)

1、第四讲三角函数的图象与性质ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测回回西网知识点一周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使彳导当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数 T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期_.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，_2kTt(kCZ, 20)_都是它们的周期，最小正周期是_红_.知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y= sinxy = cos x

2、y= tan x图象1钎1定义域x|xC Rx| x C 什.一 _r兀x| xC R,且 x+k% , k Z值域 y| -1 y 1y| -1 y0,为2兀，故C不正确；D中，f(x) =sin | x| =由正弦函数图象知，在 x0sin x, x0,和x0时，f(x)均以2兀为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故 D不正确，故选A.6. (2019 全国卷I ,5分)关于函数f (x) = sin | x| 十 |sin x|有下述四个结论：f (x)是偶函数兀f(x)在区间(万，兀)上单调递增f (x)在兀，兀有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确的结论的编号是 (C

3、)A.B.C.D.解析方法一：f ( - x)= sin |x|+|sin ( x)|= sin | x| 十 |sinx|= f (x), 1- f (x) ,.，兀,，兀，、，为偶函数，故正确；当 x%时，f(x)=sin x+ sin x= 2sin x, f(x)在(攵，兀)上单调递减，故不正确；f(x)在兀，兀的图象如图所示，由图可知函数f(x)在兀，兀只有3个零点，故不正确；: y=sin | x|与y=|sin x|的最大值都为1且可以同时取到, .f(x)可以取到最大值 2,故正确.综上，正确结论的序号是.故选C.方法二：: f( x) = sin | x| + |sin (

4、x)| = sin | x| 十 |sinx| = f (x),f(x)为偶一，,兀，兀函数，故正确，排除B;当,。0,得sin x2,作出单位圆与直线y = 2的父点，可知 2k兀+ 6& x/a2+ b2sin ( x+巾)的形式，借助三角函数的图象求最值(值域)；对于形如y=Asin 2x+ Bsin x+C函数求最值，一般通过换元法求解(使用换元法时要注意新元的取值范围).考点二三角函数的单调性一一师生共研例2 (1)(多选题)(2020 山方2兀一第二次段考)函数f (x) = 3sin ( -2x)的一3个单调递增区间是(AD )A.7兀13兀12 12B.D. ,一，,兀 .兀,

5、、，、一 一.一.(2)(2020 洛阳模拟)已知30,函数f(x)=sin ( wx+)在(2,兀)上单倜递减，则3的取值范围是(A )A.1 52 4B.一八1_C. 0, 2D. (0,24, 2兀兀兀 人解析(1) f (x) =3sin ( -2x) =3cos ( y-2x) =3cos (2 x-y).令 2knt 兀 W2 x-62 k % , kez,解得kn 52 w x w k兀+ 12 , k e z.所以函数f (x)的增区间为 k兀一彳2，k兀+ 12 , kC z.令k= 0,1 ,可得选项 AD正确，故选 A D. 兀兀兀兀兀，r一，兀兀兀(2) 由-x兀 得-

6、W + - 3乂+彳兀 3+1，由题息知 (E 3 +彳，兀 3 +彳)兀兀 兀. 一 15 .,解得2 W -.故选A.万3 + T5,兀 3 +-40)的单调区间时，要视“ cox+巾”为一个整体， 通过解不等式求解.但如果30,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解.如某些含绝对值的 三角函数.注：正、余弦型单调区间长度为半周期.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求 解.变式训练1兀(1)函数f (x) =tan (2 x )的单调递增区间是(B )k兀 兀 k兀 5兀A.

7、12 - 12，2 + 12 ( k Z)三包包212212 八 )C. (kn + A, kn + 与-)(kcZ) 63D. kL + 工(kJ)(2)(2018 课标全国n,10)若f(x)=cos x sin x在0 , a上是减函数，则实数 a的最大值是(C )A.7t4B.7t2C.D.兀解析(1)由kjt 一卷2x 。水兀十亮(k Z),得等一白0,f (x)在0 , a上是减函数，所以 兀解得00)的取小正周期为兀,则该函数的图象(AD )、,一 ， 兀，A.关于点(W，0)对称B关于直线x=T对称C.关于点(彳，0)对称 兀一D.关于直线x=行对称 122兀 2兀 -斛析由T

8、=兀知3=丁餐=2,I 兀-.TT所以函数 f (x) = sin (2 x+).一， 兀 兀-一 兀 kn函数 f(x)的对称轴满足 2x+y=-2+kTt (k Z),解得 x= + (kZ);兀函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x += k兀(kC Z),3.一 aka.一.解得 x=- -6-+ (k Z) .故选 A、D.名师点拨？(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y= Asin ( cox+6)或y = Acos,、 一一.、，、,，一 ，一,，、 一 _ 2 兀(co x + 6 )或y = Atan (cox+()(A, co , 6为吊数，Aw 0)的形式

9、，再分力U应用公式T=-|，、兀，、一或T=;求解 |对 y= Asin ( w xy = Asin ( cox +(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质, + 6)代入x=0,若y=0则为奇函数，若 y为最大或最小值则为偶函数.若兀)为奇函数，则(J)=k7t(keZ),右 y= Asin ( w x +()为偶函数，则 6 =万+ k 兀(k C Z). 求函数y= Asin ( wx+巾)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题.y=sin x 的对称中心是(kn , 0), (kCZ),y = Asin ( cox+ 6)的对称中心，由方程 cox+ ()

10、= ku解出x= 电，故对称中心、，k it 6_ _ 为(0)( ke Z).3 兀,y=sin x 的对称轴是 x= ku + 2, kCZ,.兀,.3X + (J)=k7t + 2解出兀ku + y- 6x =,即 x3兀ku + -2-6一为函数 y= Asin ( cox+ 6)的对称轴方程.函数f(x) = Asin ( 3x+(J)(A,3，6为常数，Aw0)图象的对称轴一定经过图象的 最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x = x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x。)的值进行判断.（4）注意y = tan x的对

11、称中心为（?，0）（ k C Z）.变式训练2.、 一O 兀（1）（角度1）（2019 北东，5分）函数f（x） =sin 22x的最小正周期是_2_.（2）（多选题）（角度2）下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（BD ）一.一 .兀、A. y=sin (2 x + )B. y=cos (2 x + -2)C. y= sin 2 x+ cos 2 xD.7t7ty=sin(2 x ) + cos(2 x)兀兀兀（3）（角度3）（2018 江苏）已知函数y= sin （2x+巾）（- 巾 万）的图象关于直线 x= 对称，则6的值是二=一221 cos 4 x .,一，一 _ 2兀 兀解析(1)

12、f(x) =sin 2x=2，f(x)的取小正周期 T=.兀一，一一1一一兀一(2) y= sin (2 x+ ) =cos 2 x 是偶函数，不符合题息.y= cos (2 x+2) = sin 2*是丁=兀的奇函数，符合题意，同理 C不是奇函数，D为y=42sin 2 x,故选 B D.,r_2兀 2 71兀兀(3)由题息可得 sin ( 3-+ ()= + 1,所以-3+ 6 = -2+ k % , ()= +k7t(kZ),兀兀兀兀因为一6万，所以k=0, 6=一了.故填一8.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升三角函数的值域与最值 一

13、， 2sin x+1,1 例6 (1)函数y= sin x_2的值域为3, 3一，兀 ，兀， 一， 2 十 r（2）函数 f （x） = 2sin xsin （x+ 百），当 x C 0 ,5时，函数 f （x）的值域为_0 ,=2，1 + sin x3(3)函数y=3TE的值域为一k4-.（4）若x是三角形的最小内角，则函数y= sin x + cos x sin xcos x 的最小值是( A )A. -2+ 2C. 1D. ：2解析解法一：y =2sin x+ 1-z- =2 + -sin x 2 sin x2,一一、，55由于一1 w sinxw 1, 以一5w &,sin x-23一

14、一，1.函数的值域为3,-.3, 2sin x+1 n2y+1斛法一：由 y=sin x-2，斛信 sin x =.1 1sin x 1,一心存5解得-3W1，函数的值域为3,-.3(2) f (x) = 2sin x(1 sin x+ 2cosr 2J3 1 cos 2 xx) = q 3sin x+ sin xcos x = J2sin 2 x2小兀、，水sin (2 x-y) +-2-, 兀. xe 0 , -2,7t7t2x一丁一了.兀、一 sin (2 x-3) f(x)e 0(3)解法一:1 + sin xy 3+cos得sinx - ycos x = 3y 1, .sin ( x

15、 +6)3y1 /1 + y其中sin 6 =一y2, cos1 + yw 1 ,解得0W y, , |1 + sin x解法二： -可理解为点P( cos x, - sin x)与点Q3,1)连线的斜率，点3 十 cos xP( cosx,sin x)在单位圆上，如图所示.1 + sin x故t = 满足kcAW twkcB,设过点 a3,1)的直线万程为 y1=k(x3),即3 + cos xkx y+ 1-3k=0.由原点到直线的距离不大于半径1,得L=tw1,解得0wkw；.从而值域为0 ,:k+1434-兀(4)由条件知0xWw，3令 t=sin x+ cos x=J2sin (,兀

16、、x+R，TTTTTT7 TT一又 0xW-3,，丁*+丁 -T2,得 1tw庭;34412t2-1又 t =1 + 2sin xcos x, 得 sin xcos x = 2,/口 , t 11/、2Er 1 f 1付 y=t - -2- = - 2(t-1) +1,则-2 +，2 w y1, 1.所以函数的最小值为2+小.故选A.名师点拨 ？求三角函数值域或最值的方法(1) y= asin x+b(或 y= acos x+b)的值域为| a| + b, | a| + b.(2) y= asin 2x + bcos x+c可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域最值)即可.(3

17、) y= asin 2x+bsin xcos x+c cos2x利用式 y= Asin 2 x+ Bcos 2 x|l y =旷代+ Bsin (2 x+ 6),再利用sin (2 x+ 6 )的有界性求解，注意2x+()的取值范围.asin x+b jacos x+b_3， 一 人一(4) y，1n (或 y=”cc vJ,可反解出 sin x=f(y)(或 cos x= f(y)由正、余弦 csin x 十 dccos x 十 dasin x + b函数的有界性。小心1)求解；丫=中0可根据式子的几何意义用数形结合万法求解，或化为sin ( x+ 6 )=yd b日利用三角函数的有界性求解

18、.(2)(2020 黑龙江宜春二中月考)函数y =2+sin x+cos x的最大值是(D )A. -22-1C- 1-22_ 一 1.(2019 玄南倜研)函数 y=sin xcos x+sin xcos x 的值域是 _ -2_小,1_.，,一一，兀，,一，兀解析(1)函数y=52cos (x 彳)的最大值为 5+2 = 7,此时x- -= % + 2k% ( kZ),即 x = 4-+ 2k 兀(k C Z).(2) y=，2姆 W2+ 也sin (x+4尸2+小,1,2i 学，(3)设 t = sin x cos故选D.x,贝U 12= 1 2sin xcos x,2+ 业nx + 3sin xcos x=,且-*&t*t2 ,11/、2 /ymin= 42.y=- y+t