一元二次方程根的分布练习和答案及解析

1、专业整理cx1x2 =一 0a. 2一 =b -4ac >0a <0f(0) =c ：:0b 0Ac>0予A >0【例1】围。次方程（m1）x2+2（m+ 1）xm = 0有两个正根，求m的取值范.2 ,A=4(m+1) +4m(m -1) >0分析：依题意有2(m+1) >0m -1-m 0m -10< m<l。一元二次方程根的分布一 一元二次方程根的基本分布一一零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根 分布在零的两侧。二

2、次方程 ax2 +bx+c = 0 (a#0)的两个实根为 x1, x2 ,且x1 E x2。=b2 -4ac _0【定理1】x1 >0 , x2A0(两个正根)U I b ， x1 -x2 = - 0a,： =b2-4ac _0推论：x1 > 0 , x2 A 0 U 产下0f(0) =c 0b <0【定理2】xi < 0 , x2 < 0=XiXib+ x2 =c0 'ac -x2 = 0a推论：x1 <0 , x2 父0 u=b2 -4ac -0a 0f(0)=c 0b 0由二次函数图象易知它的正确性。,2-b =b -4act0a <0

3、 f(0) b <0【例2】若.2kx+3kx+k3=0的两根都是负数,12取值氾围。（kW 或k>3）5程求k的小<0<0A>上述推论结合二次函数图象不难得到。c【止理 3】xi ： 0 ： X2 u - ：二 0a【例3】k在何范围内取值，一元二次方程kx2 +3kx +k 3 = 0有一个正根和一个负 k 一3分析：依题意有 q<0=>0<k<3kb 【止理 4】0X1=0, X2 A 0 u c = 0且一<0;a2 X1 < 0 , X2=0U c = 0 且 一 > 0。aWORD格式【例4】 若一元二次方程k

4、X2 + (2k 1)X + k 3 = 0有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k-3=0, . k =3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根为负。.一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程 ax2 +bx +c = 0 ( a = 0)的两实根为 x1, x2，且x1 W x2。k为常 数。则一元二次方程根的 k分布(即x1, x2相对于k的位置)有以下若干定理。【定理1】b =b2 -4ac 20k <x1 M x2 u12af (k) >0【定理 2 x1 W x2 c k u =b2 -4ac >0o，af (k) >0-<k.2a【定理3

5、】推论 1 x1 < 0 < x2 y ac < 0。推论 2 x1 <1 < x2 u a(a + b + c) < 0。【定理4】有且仅有k1cxi (或x2) < k2 y f(k1)f(k2)<0a > 0 a < 0f(ki)>0f(ki)<0【定理 51k1 < x1 < k2 4 Pl < x2 < p2u 4 f (k2) < 0 或 4 f (k2) > 0f(Pi) <0f(Pi)>0f(P2) 0f(P2) ：0此定理可直接由定理 4推出，请读者自证。:

6、 = b2 -4ac 一 0a : 0【定理6】ki ” < x2 < k2=f (ki) 0f (k2) 0 bki < -二 k22a或f (k1)<0f (k2) <0bki 二 ：二 k22a三、例题与练习【例5】 已知方程x2 -11x+m-2 =0的两实根都大于 1,求m的取值范围。12 : m :129(2)若一兀二次方程mx2 -(m+1)x+3 = 0的两个实根都大于 -1 ,求m的取值范围。(m <2或m a5+246)(3)若一元二次方程mx2 -(m +1)x +3 = 0的两实根都小于2 ,求m的取值范围。【例6】已知方程x2+2m

7、x+2m2-3 =0有一根大于2,另一根比2小，求m的取值范围。(一1 <m<1+)220和1之间，求m的取值范围。(2)已知方程x2+(m2)x+2m-1 = 0有一实根在12一二 m ：-2(3)已知方程x2+(m2)x+2m-1 = 0的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。变式：改为较小实根(不可能；1 <m<2)2(4)若方程x2+(k+2)xk =0的两实根均在区间(1、1)内，求k的取值范围。(-4 + 273 <k <2(5)若方程x2 +(k 2)x +2k -1 =。的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，12求k的取值氾围。

8、(一< k < 一)23(6 )已知关于x的方程(m -1)x2 -2mx+m2+m-6=0的两根为a、B且满足0<久 <1<B,求 m 的取值范围。(-3cme -41 或 2 < m < M 7 )【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所 具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后

9、用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1, 0)和(1, 2)内，画出示意图，得7(0) =2m +1 <0, f(-1) =2>0,_f (1) =4m 2 ；0,= f (2) =6m 5 01m ： 一一2m R,1 m :二-,25 m、一65:m :6(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组f(0) 0, f(1) 0, 一 0,0 ： - m ： 11-2,1-2 ,_1 . 2或m <1 - 2,(这里0<- m<1是因为对称轴x= m应在区间(0 , 1)内通过)-1

10、 ：m ：0.亘：1.若方程4x+(m-3),2x+m = 0有两个不相同的实根，求 m的取值范围。提示：令2x = t转化为关于t的二次方程有两个不同的正实根。答案:0vm <1一._2_ 2.若关于x的方程lg(x +20x)lg(8x6a3) = 0有唯一的实根，求实数a的取值 范围。x2 20x 0提7K：原方程等价于x2 20x =8x -6a -3令 f (x) = x2+12x+6a+3x : -20S；x 0即 x2 12x 6a 3 = 011(1)若抛物线y = f(x)与x轴相切，有 =144 4(6a+3)=0即a=。2将a = 11代入式有x =-6不满足式，a

11、w11。(2)若抛物线y = f (x)与x轴相交，注意到其对称轴为x = - 6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是!(20)至。解得-堡f(0) 01631当-163 Ma ：二-1时原方程有唯一解。62另法：原方程等价于 x2+20x=8 x 6a 3(x < 问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y =8 x -26 a 3与抛物线 y = x +20 x (x < 20或x >0)有且只有一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且2只有一个公共点却不明显，可将变形为x +12 x+3=6 a ( x < 20或x >0),再在同一坐标系中分别也作出21631 抛物线y = x +12 x+3和直线 y = -6 a ,如图，显然当3< 6 a <163即 <a< 62时直线y = 6 a与抛物线有且只有一个公共点。3 .已知f (x) =( x a)( x b) 2( a < b ),并且 久，P是方程f (x) =0的两根 (u<P),则实数a, b，u、P的大小关系是()A、a < a <b < P B、a <ct < P < b C、a <a &l