2019年高考数学临门冲刺：数列专题

1、寒窗读尽日，金榜题名时。祝你 2019高考大捷!2019年高考数学冲刺：数列专题总结【高考展望】1 .等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题; 难度易、中、又t三类皆有.2 .数列中an与Sn之间的互化关系是高考解答题的一个热点.3 .函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4 .解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等. 【知识升华】1 .数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n项和公式等.2 .运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，

2、解决此类问题需要抓住基本量a1、 d （或q）,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3 .分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q =1和q # 1两种情况等等.4 .等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等 .复习时，要及时总结归纳.5 .深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本 章的关键.6 .解题要善于总结基本数学方法 .如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳 法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到

3、事半功倍的效果7 .数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用8 .本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【典型例题】类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式例1.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成0,得到如图所示的 0-1三角数表.从上 往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 .第1行1

4、1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第 5 行 1 1 0 0 1 1【思路点拨】计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。【解析】第1次全行的数都为1的是第21=1行，第2次全行的数都为1的是第22 -1 =3行，第3次全行的数都为1的是第23-1 =7行，第n次全行的数都为1的是第2n _1行；第61行中1的个数是25=32.举一反三1【变式1】已知数列an的前n项和为Sn ,且满足a =,an = 2SnSn(n之2).1(1)证明：数列，为等差数列； Sn(2)求 Sn 及 an.【解析】(1)当n±2时，an =Sn Snj=2S

5、n,SnSnSn= 2(n _2)111，是以，=，=2为首项，2为公差的等差数列SnS1 a1(2)Sn=2 +2(n 1)=2n，.二 Sn2n，.一1 111当 n 22 时，an =Sn Sn=(一一)=一2 n n -1 2n(n -1)1(n =1)(n-2)I 一2一 12n(n -1)考点二：数列递推关系式的理解与应用例 2.数列 kn)满足 X2 =* , Xn ='(Xn/ +Xn ), n =3,4,.若 lim 4 = 2 ,则22n 5：X1 =( )/ 、 3/ 、/ 、/ 、(A) (B) 3(C) 4(D)52【思路点拨】对递推关系变形，运用叠加法求得，

6、特别注意的是对两边同时运用【解析 1】2Xn =Xn4 +Xni，, Xn -Xn口 =Xni -Xn .X3 X2 =Xi X3x4 x3 =x2 x4川 IIIHI相叠加得 xn -x2 =x +x2 -xn -xn.xn。一xn_2 =xn_3 xnxn -'xn 1 = xn 2 _ xnI x2 "2 ,- 2x n xn _1 2xi .lim (2xn +xn i )= lim 2x1, lim xn =2 ,，2x1 = 6 , x1 =3 .n .' n l ：n .1 -【斛析2】由xn =万十%/ )得：11山1xn + x n 1 =xn

7、9;+二 xn_2= lll=x2+二 x1=x1，1 lim Ixn x 二 22 22= x1，因为 limxn=2,所以 x1=3. n .1皿析31由消：,1, 1、2xn -xn 1, (_ 2) 勺一勺二 尸(一x n _2 一 x n J3=。1=(-2广 X2 -X1 =(-"2)n，X112131、n从而 X3 _X2 =(一万)X1 ; X4 X3 =(-2) X1 ; Xn -Xn_1 =(-2) X.叠加得：Xn- - W3 /。1 . / 小乂11、nXn =X2 +X1 - J1 -(-)，limXn =limX2+X1 二 1-(一二)>6 IL

8、2 n n 16 IL 2 IIc X112 =一 +-x1 ,从而 x1 =3 .2 6【总结升华】数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推 an = kan-1 +d(n 22,k ¥1 ),可转化为 an -d =k(anJd)；1 -k1 -k对连续三项递推的关系an41 =kan+dan-1 n22),如果方程 x2 - kx - d=0有两个根£、则上递推关系式可化为an +aan =P (an-4)或an由一 Ban =a(anan/).举一反三x,、【变式 1】 设 f (x) =, X = f (x)有

9、唯一解，a(x 2)r 1 rf(x。)=；，f(Xn。=Xn,n =1,2, 1002 一、一 1(1)问数列'是否是等差数列？Xn(2)求X2009的值.【解析】,、，X,、1-(1)由 X = X = 0 或 X = - 2 ,a(X 2)a,一，112x由已知得2=0, a=, f(x) =a2x 22X .- 4 = f(4j = nXnXn2一一1 , 1又因为 x1 = f(x0)=,所以,=1002.1002X1.数列工是首项为1002,公差等于1的等差数列Xn21111(2)由(1)知=+(2009 1) =2006. x2009 MX2009X122006考点三：数

10、列的通项 an与前n项和Sn之间的关系与应用例3.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和，且2 卮 =an +1 ,求an.【思路点拨】转化为只含 an或者只含Sn的递推关系式.【解析1】由已知2，Sn =an +1 ,得当n = 1时，a1 =1 ；当n圭2时，an=Sn Sn-1 ,代入已知有2底=Sn Sn十1，即 2&4=0-2卮 +1.U 卮-1),又 an>0,Sn >Sn>0,故瓦=属一1.卮一反=1数列氐是首项为a1 二1,公差d =1的等差数列， 底 =n故 an = 2n -1.【解析2】由已知2国=an +1 ,得当n=1时，a1 =1 ；2an

11、122当n2时，因为Sn=|曳21,所以an224an an +2an - an j_ 2an j_, an -2an - an J - 2an_1 =0问+anXanan2)=0,因为 an所以 an an=2,所以 an =2n 1.【变式1】设数列an的前n项和为2S=2n ，bn为等比数列，且a1三“力2四2 -&)=bv(I )求数列an和bn的通项公式;、一 a(n )设Cn =，求数列 Cn的前n项和Tn bn【解析】(1)当n =1时,a1 =S1 =2;=4n 2,当 n _2时,an = Sn Snj =2n2 _2(n _1)2an的通项公式为an =4n2,即a

12、n是a1=2，公差d =4的等差数列.设b n的公比为 q,由 b2(a2 a1) =b1 得 b1qd = b,故fqn=2 -17 =72T 44(2) - g 噜=2 =(2n-1)4nbn 4nlTn =C1C2IHCn-1- 341542HI (2n -1)4n4Tn =1 4 3 42 5 43 III (2n -3)4n,(2n -1)4n两式相减得1n3Tn = -1 -2(41 42 43 HI 4 ) (2n-1)4n = (6n-5)4n 531 n-Tn =-(6n-5)4n 59考点四：数列中与 n有关的等式的理解与应用例 4.已知数列an满足 a1 =1,an *

13、=2an+1 ( n w N .)(i)求数列 n的通项公式；(n )若数列bn满足 4b14b 2m 4b3,m|x 4b n1 =(an +1)bn ( n w N + ),证明：如是等差数列；【思路点拨】 本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。【解析】(I)解：= an书=2an+1 ,an书+1 = 2(an+1)an +仆是以a1 +1 =2为首项，2为公比的等比数列。an +1=2n 即 an=2n -1( n w N *)(II )证法一： 4b1M4bTyb3砧4bn=(an+1)bn ,(b11)+(b21)+(b3 3)

14、+(bn)n bn=(2n )即 4(b1+b2 b3 +.+bn) -n=2nbn，2(b1+b2 b3+.+bn)-2n=nbn2(b1+b2 +b3+.+bn+1)-2(n +1) = (n+1)b n+1，得 2(bn+1 -1)=(n+1)b n+1 -nbn ,即(n -1)bn+1 nbn +2 =0nbn+2 (n+1)b n+1 +2 = 0一，得nbn+22nbn+1 +nbn =0 ,即 bn+2= 2bn+1故Ln 是等差数列.举一反三【变式1】设正项数列an的前n项和为S,且存在正数t,使得对所有正整数 n, t与 an的等差中项和t与S的等比中项相等。(1)求证数列

15、蕊为等差数列；(2)求an通项公式.t - a 【解析】(1)由题意： n =VtSn即2、；tSn =t+an当 n=l 时，2质=1+4=t+S1,(Q4)2 =0,§ =t当 n>2 时，2眄= t+an =t+Sn Sn, (温 +网！_&)(百_百丁，) = 0。因为an为正项数列，故 与递增，(JSn+qSI-Jt)：。不能对正整数n恒成立， jSn-Sr=&,即数列声为等差数列，公差为工 麻=展+5-1)M = nM, Sn =tn2,an t =2. tSn =2nt,an = (2 n - 1)t考点五：等差、等比数列前n项和的理解与应用例 5

16、.已知数列 Ln)和>满足：a1 =1,a2 =2,an a 0,bn = an书(nw N*)且bn是 以q为公比的等比数列.2(I)证明：an _2 anq ；(n)若Cn =a2n+2a2n,证明数列Cn是等比数列;111111(山)求和： 一+ + + +| +.a1a2 a3 a 4a2na2n【思路点拨】本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.【解析1】(I)证：由皿=q,有率至=JaI = q, bn.'anan 1an.2 .an=anq (n = N* ).(H )证：；an=an/q2, a2n=

17、a2nJ3q2 =HI = a1q2n，,a2n =a2n、q2 =111 =a2qn,二 Cn =a2n J2a2n =&q2n二 +2a2q- =(a +2a2)q2n，=5q2n”.2Cn是首项为5,以q为公比的等比数列.,，r 1(III )由(II )得a2n J12_2n=q ，ai112Nn2n 2 q ，aa111IH =aa2a2n1-HI-1a?a2n当q =1时,a1a2a2n=i(1当q #1时,11十 aa2+ * +a2n:I11"2+a a2a2n3 n,22n .q -11 11-+-+IH +氏，)一2n -2 ) 一 q,2n-q22-qq

18、 = 1,3(q2n-1)2n-2/ 22q (q -1)一囱L(q2-1)【解析2】(I)同解法1 (I).(II)证：c± = a2n+2a2n电2-2q a2n2q a2nCna2n, 2a2na2n4 - 2a2n=q2(n*N ),二cn是首项为5,以q2为公比的等比数列.2n _2(III )由(II )的类似万法得a2n,+ a2n=(a+a2)q2n_2=3q ，1- - III aa2a2na1 +a2 +as+a4 +小+ a2n+a2na a2a3 a4a2na2n3q2k'3a2 k 4 a2k"七，k=1,2,|H, n.111X - HI

19、 al a2a2kF同解法举一反三【变式1】某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为ai,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d >0),因此，历年所交纳的储备金数目ai,a2, 是一个公差为 d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为 r (r>0),那么，在第n年末， 第一年所交纳的储备金就变为 aKI + r)”,，第二年所交纳的储备金就变成 a2(1 + r)n/ ,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(I)写出Tn与Tn/(n之2)的递推关系式；(n )求证Tn = An + B

20、n ,其中 An 是一个等比数列， Bn 是一个等差数列.【解析】(I)我们有Tn =Tn(1+r)+an(n12).(II )工=a1，对n 22反复使用上述关系式，得一 一一2Tn =Tn(1 , r) an =Tn/(1 r)an j(1 r) an= =a1(1 , r广' a?(1 , r)n，HI an(1 , r) , a在式两端同乘1+r,得(1 + r)Tn =a1(1+r)n +a?(1+r )n °+|+an(1 + r)2 + an(1+r).一，得 rTn =a1(1 r)n , d(1 r)n， (1 r)n， IM (1 r) an= d(1 r

21、)n -1 -r a(1 r)n -4 rar d n dar d即 Tn(1 r) n-'-rr r则a1r d 、二一(1 + r),公比为 1 + r(r>0)； r、口“a1r d “、n -a1rd d记 An=(1+r) , & =-n , rr rTn =An +Bn,其中 An是等比数列，且首项为ar d ddBn是等差数列，且首项为 -a丁 - 一，公比为一一.r rr考点六：数列与函数的迭代问题例6.已知函数f (x)=(x -1)2,数列烝是公差为d的等差数列，数列0是公比 为 q(q e R且 qw 1)的等比数列，若 a1 = f (d 1),

22、a3 = f(d+1), b1=f(q1), b3 = f (q +1)。(D求数列an、bn的通项公式;(2)设数列cn对任意自然数n都有an/Mq + c2- +且成立，求 bl b2bnCl +C3 +IH +C2n的值；(3)比较泡二1与亘土的大小。+3bn 1an .222【解析】(1) & = f (d 1) = (d 2)2 , a3=f(d + 1) = d2所以 a3 -a1 =d2 (d -2)2 =2d 解得 d =2,a1 =0所以 a。=2n .2-_ 2-2b1 = f(q _1)=(q_2) , b3 = f(q+1) = q n22 时，3n =(1+2

23、)n A2n+1,所以 3皿所以与=b12q(q-2)2二q解彳3q =3,b1 =1所以bn =3nl(2) n至2时an 1 = c1- c2cn，an /C2bb2bnb1b2bn 12 一两式相减并整理，得cn =2 33 (n -2)3c1 = a2 bl =2所以 cn =2 3n=2 3n(n .1)3C1C3 | 卜 C2n2 3(1-9n)3 1 -9n )9 -1(3)比较3bn -1与土的大小。+3bn 1 an 2贮=,况i=1工=1.3bn 1 3 13 1an 2 2n 2 2n 2(2n 1)1n 1 时,3bn -1 = an 13bn 1 an 23bn 1

24、an 2举一反三【变式1】已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk，且Sk=%ak书(kw N.), 2其中at =1.(i)求数列ak的通项公式；(II ) 对任意给定的正整数n (n之2),数列bk满足= - (k = 1 川2 nL ,bi =11 ),bkak 1求 b - b2 IH bn.1 .一【解析】(i)当 k = 1 ,由 a1 = S1 = a1a2 及 a1 = 1,得 a2 = 2 .211,口，、-当 k?2 时，由 ak=Sk&=akHk 书akak，仔 ak (ak 书ak)2ak .2 2因为 ak =0 ,所以 ak书 ay =2 .从而 a2m,

25、=1 + (m -1) 2 = 2m -1.a2m =2 + (m -1) 2 =2m , m = N ,故 ak =k(k= N ).(n)因为ak=k,所以皿=bkak 1 k 1所以bk =旦 bk a，心三尸(n-k 1)(n-k 2) 1bkNb1k (k -1) ：2 1k 1 1 k=(-1)-Cn(k =1,2, ,n).n故 1bl-b2b3IHbn=1C：-C2 C3-HI (-1尸Cnn -11=-1-C° -c： +C2 一+(1)n Cn=-. nn考点七：数列综合应用与创新问题例7 .设f (X)是定义在(0,)上的单调可导函数.已知对于任意正数X ,都有

26、一一 21 一一ff(x)+-= - ,且 f(1) = a>0. x f (X)(I)求f (a +2),并求a的值；(n)令an =,：w N冲，证明数列an是等差数列; f(n)(出)设kn是曲线y= f(x)在点(n2, f (n2)处的切线的斜率(nw N"),数列kn的 前n项和为Sn,求证：-4 < Sn < -2 .【思路点拨】根据已知条件求出函数f (x)的关系式，求出an的递推关系式然后可求解题中要求.1【解析】(I)取 x=1 , f(a+2)=-；a21再取 x=a+2,则 ff(a+2)+=a 2 f (a 2)rr 12即 f (一 +)

27、 = a = f (1),a a 2 f(x)是定义在(0,收)上的单调函数1 2 一 一，、，1+=1,解得a =2,或a = 1 (舍去)a a 2 21(n)设 f(x)=t ,则 f(t+)=一， x t一 2 一一 221再令 x =t +，贝 U f f (t +) +-=xx t 2“t 3xxrr 12即 f(1 一?) 2 f (x)t t 2 x f(x)是定义在(0,收)上的单调函数122 -2一 +- =x,即 xt t-=0,解得：t =或t =t . 2xxt 1一x21 n又 f(1)=a>0,则 f(x)=t= , an=一,x f(n) 2由an# an =',n w N ,所以1口是等差数列.2222(3)由(2)得 f (x) = 一，/. f (x) = -2-,则 kn = f (n )=, xxn1 1 1所以 Sn = -2(1 + + +IH +_4) -2 ;2 3 n又当n之2时，kn =22