第8章 对象特性与数学模型

1、第八章第八章 对象特性和数学模型对象特性和数学模型 内容提要内容提要第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法n被控对象数学模型被控对象数学模型n建模目的建模目的n数学模型的主要形式数学模型的主要形式n建模方法分类建模方法分类第二节第二节 机理建模机理建模n一阶对象一阶对象n积分对象积分对象n时滞对象时滞对象1内容提要内容提要第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数n放大系数放大系数n时间常数时间常数n滞后时间滞后时间第四节第四节 实验建模实验建模n阶跃反应曲线法阶跃反应曲线法n矩形脉冲法矩形脉冲法2第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 自动控制系统自动控制系统

2、是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。1、对象的数学模型用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。2、干扰作用和控制作用（操纵变量）都是引起被控变量变化的因素，如下图所示。3n 一、被控对象数学模型一、被控对象数学模型对象的输入、输出量数学模型及描述方法数学模型及描述方法通道通道 对象的输入变量至输出变量的信号联系对象的输入变量至输出变量的信号联系 调节通道调节通道控制作用（操纵变量）至被控变量信号的控制作用（操纵变量）至被控变量信号的 联系联系干扰通道干扰通道干扰作用至被控变量信号的联系干扰作用至被控变量信号的联系几个基本概念：几个基本概念：对象的输入、输出量数学模型及描述

3、方法数学模型及描述方法3、对象的数学模型分为、对象的数学模型分为静态数学模型静态数学模型和和动态数学模型动态数学模型静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型基础基础特例特例4静态数学模型：对象在静态时输入量与输出量之间的关系；静态数学模型：对象在静态时输入量与输出量之间的关系；动态数学模型：对象在输入量改变以后输出量的变化关系。动态数学模型：对象在输入量改变以后输出量的变化关系。 数学模型及描述方法数学模型及描述方法一般是在工艺一般是在工艺流程和设备尺流程和设备尺寸等都确定的寸等都确定的情况，研究对情况，研究对象的输入变量象的输入变量是如何影响输是如何影响输出变量的。出变量的。研究的目

4、研究的目的是为了的是为了使所设计使所设计的控制系的控制系统达到更统达到更好的控制好的控制效果。效果。 在产品规格和产在产品规格和产量已确定的情况量已确定的情况下，通过模型计下，通过模型计算，确定设备的算，确定设备的结构、尺寸、工结构、尺寸、工艺流程和某些工艺流程和某些工艺条件。艺条件。 （a）（b）（c）1、用于、用于控制控制的数学模型（的数学模型（a、b）与用于）与用于工艺设计与分析工艺设计与分析的数的数学模型（学模型（c）不完全相同。）不完全相同。5二、建模目的二、建模目的数学模型及描述方法数学模型及描述方法2 2、建立被控对象的数学模型的目的、建立被控对象的数学模型的目的（1 1）控制系

5、统的方案设计）控制系统的方案设计 （2 2）控制系统的调试和控制器参数的确定）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3 3）制定工业过程操作优化方案）制定工业过程操作优化方案 （4 4）新型控制方案及控制算法的确定）新型控制方案及控制算法的确定 （5 5）计算机仿真与过程培训系统）计算机仿真与过程培训系统 （6 6）设计工业过程的故障检测与诊断系统）设计工业过程的故障检测与诊断系统 数学模型及描述方法数学模型及描述方法三、数学模型的主要形式三、数学模型的主要形式81 1、非参量模型、非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非参量模型。特点特点形象、清晰，比较容易看出其定性的特征

6、 缺点缺点直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。2 2、参量模型、参量模型9 静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。 动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、微分方程、传递函数、差分方程差分方程及及状态方程状态方程等等。数学模型及描述方法数学模型及描述方法10 对于线性的集中参数对象通常可用常系数线性微分方程式来描述。 差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间的关系。 数学模型及描述方法数学模型及描述方法从机理出发,即从对象内在的物理和化

7、学规律出发, 建立描述对象输入输出特性的数学模型。 对于已经投产的生产过程,我们可以通过实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输出数据,通过数学回归方法进行处理。 通过机理分析,得出模型的结构或函数形式，而对其中的部分参数通过实测得到。7四、建模方法分类四、建模方法分类（按数学模型建立的途径不同分类）第二节第二节 机理建模机理建模 根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关的平衡方程。关的平衡方程。 如：物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方如：物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、程、相平衡方程以

8、及某些物性方程、设备的特性方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过程）的数学模型。过程）的数学模型。 这类模型通常称为机理模型。这类模型通常称为机理模型。 对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时，达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时，不能适用。不能适用。具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大的适应性，便于对模型参数进行调整。的适应性，便于对模型参数进行调整。 优点缺点机理建模机理建模机理建模的优缺点：机理

9、建模的优缺点：机理建模机理建模n 一、一阶对象一、一阶对象对象物料蓄存量的变化率对象物料蓄存量的变化率单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物料料依据依据18机理建模机理建模19312mQQdtAdh（8-14）sRhQ 2若变化量很微小变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比将上式代入（8-14）式，移项1QRhdtdhARssssRKART,1KQhdtdhT令令则则水槽对象即机理建模机理建模n 二、积分对象二、积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为称为积分对象积分对

10、象。21dtQAdh11Q2为常数，变化量为0dtQAh11说明，所示贮槽具有积分特性。其中，A为贮槽横截面积（8-27）积分对象312mQQdtAdh（8-14）第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数n一、放大系数一、放大系数K 对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化Q1看作对象的输入，而液位h的变化h看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。 28描述对象特性的参数描述对象特性的参数291QhKs1QKhs或K在数值上等于对象重新稳

11、定后的输出变化量与输入变化量之比。K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大，即被控变量对这个量的变化越灵敏。水槽液位的变化曲线描述对象特性的参数描述对象特性的参数n 二、时间常数二、时间常数T32 从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。 不同时间常数对象的反应曲线描述对象特性的参数描述对象特性的参数如何定量地表示对象受如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？干扰后的这种特性呢？ 在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被

12、控变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长。 33描述对象特性的参数描述对象特性的参数34举例举例简单水槽为例1KQhdtdhT由前面的推导可知 TteKQth11假定Q1为阶跃作用，t0或t=0时Q1为一常数，如左图。则函数表达式为（8-36）图8-12 反应曲线描述对象特性的参数描述对象特性的参数 对于简单水槽对象，对于简单水槽对象，K= =RS，即放大系数只与出水阀的阻，即放大系数只与出水阀的阻力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。 1KQh 1QhK 从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t时，

13、被控变量不再变化而达到了新的稳态值h（），这时上式可得： 或或（8-37）35描述对象特性的参数描述对象特性的参数36 111632. 01KQeKQTh将 t=T 代入式（8-36），得（8-38） hTh632. 0将式（8-37）代入式（8-38），得（8-39） 当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的63.2所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。 描述对象特性的参数描述对象特性的参数不同时间常数对象的反应曲线T1T2T3T4 说明说明时间常数大的对象（如时间常数大的对象（如T4

14、)对输入的反应较慢，对输入的反应较慢，一般认为惯性较大。一般认为惯性较大。37描述对象特性的参数描述对象特性的参数38在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？TteTKQdtdh1将式（8-36）对 t 求导，得（8-40） ThTKQdtdht10当 t =0（8-41）0tdtdh当 t 时，式（8-40）可得（8-42）描述对象特性的参数描述对象特性的参数时间常数T的求法 由左下图所示，式（8-41）代表了曲线在起始点时切线的斜率，这条切线在新的稳定值h（）上截得的一段时间正好等于T。 hKQeKATh95. 095. 01313由式（8-36），当 t =时，h = KQ1。当

15、 t=3T时，代入式（8-36）得（8-43） 从加入输入作用后，经过从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部时间，液位已经变化了全部变化范围的变化范围的95，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常数所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数。化过程所需要的时间的一个重要参数。 结论39描述对象特性的参数描述对象特性的参数n 三、滞后时间三、滞后时间分类定义 对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。滞后性质时滞容量滞后

16、时滞又叫纯滞后，一般用0表示。0的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。 对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。40描述对象特性的参数描述对象特性的参数 0tKxtydttdyT 001teKAtyTt 当假定 y(t)的初始值 y(0) = 0, x(t)是一个发生在t = 0的阶跃输入,幅值为 A,对上述方程式求解,可得（8-44）具有纯滞后的一阶对象反应曲线 可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象, ,它它们的反应曲线在形状上完全相同们的反应曲线在形状上完全相同, ,只是

17、具有时滞的反应曲线只是具有时滞的反应曲线在时间上错后一段时间在时间上错后一段时间0 0。41描述对象特性的参数描述对象特性的参数2.2.容量滞后容量滞后图8-16 具有容量滞后对象的反应曲线图8-17 图解近似方法42描述对象特性的参数描述对象特性的参数 在容量滞后与纯滞后同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间，即0h。 自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。所以，在设计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时间减到最小。 结论43图8-18 滞后时间示意图描述对象特性的参数描述对象特性的参数 被控变量为压力的对象不大,T也属中等; 被控变量为液位的对象很小,而T稍大; 被控变量为流量的对象和T都较小,数量级往往在几秒至几十秒; 被控变量为温度的对象和T都较大,约几分至几十分钟。 44第四节第四节 实验建模实验建模定义通过实验来测取对象的输入输出数据。几个概念 系统辨识 参数估计 测试信号测试信号的不同 阶跃反应曲线 矩形脉冲特性曲线 频率特性45实验建模实验建模在测试过程中要注意： 加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳定一段时间，不然会