教案：第二讲(抛体运动)

1、2014级高一物理竞赛培训第五讲抛体运动 (两课时(郭金朋 年 月 日物体以一定的初速度抛出后, 若忽略空气阻力, 且物体的运动在地球表面 附近, 它的运动高度远远小于地球半径, 则在运动过程中, 其加速度恒为竖直 向下的重力加速度。 因此, 抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。 又因为抛 体运动中抛射物始终运动在初速度与重力加速 度所决定的平面内, 所以抛体 运动是一个平面运动。根据运动叠加原理, 可以把抛体运动看作由两个直线运动叠加而成, 即把 一个曲线运动分解成两个直线运动的叠加来讨论。通常采用两种分解方法:(1速度为 v 0匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。(2以抛射点为坐标原点

2、, 在抛射平面 (竖直平面 内建立直角坐标系 (oxy, 再把 前面方程 中各矢量沿 x 、 y 轴方向分解。 如果在抛射平面内分别取水平方向和 竖直向上方向分别为 x 、 y 轴方向,那么抛体运动方程的分量形成为: 这表示,抛体运动可以看成:沿水平 x 方向的速度为 v 0cos 的匀速直线 运动和沿竖直向上 y 方向的初始为 v 0sin 、 加速度为 -g 的匀变速直线运动 (即 竖直上抛运动 。式中 为初始抛射角。如果在讨论沿斜面向上 (或向下 抛掷物体的抛体运动时,通常令直角坐 标的 x 、 y 轴分别指向沿斜面向上 (或向下 和垂直于斜面向上的方向更为方便。 此时, x 、 y 方

3、向的运动均为匀变速直线运动,它们在 x 、 y 方向的分运动方程 分别为: 方程中, 正号为沿斜面向下抛掷, 负号为沿斜面向上抛掷。 以上三种情况, 分别示于下图 (a、 (b、 (c。 上面给出的是抛体运动的运动学方程, 这些方程包含了抛体运动的全部信 息。一切待求的物理量均可从这些方程获得。例如:1 在图 (a中,欲求抛射体射程 S ,可以从方程中,取 y =0时的 x 值,得到 若要进一步求 v 0确定值时的最大射程 S M 以及相应的抛射角 M , 从 S 表 达式易得 2 在图 (b中,欲求沿斜坡方向抛射体的射程 S ,可以从方程中,取 y =0时的 x 值,得到 若要进一步求 v

4、0为确定值时的最大射程 S M 以及相应的抛射角 M ,可以 通过数学方法得到。对 S 表达式中含有 的因子作积化和差变换 易知,当 满足 时, S 取最大值 相应的 M 角为 3 在图 (c中,欲求沿斜坡方向抛射体的射程 S ,也可以从方程中,取 y =0时的 x 值,得到 若要进一步求 v 0为确定值时的最大射程 S M 以及相应的抛射角 M , 与 2 中同样处理,得 相应的 M 角为 4 在图 (a中,欲求抛射体所达最大高度 H ,可以从方程中,取 v y =0时 的 y 值,得到 5 在图 (b中, 若抛射体与斜面经无能量耗损的完全弹性碰撞后从原路返回 抛射点,欲确定图中 与斜面倾角

5、 应满足的关系,可以根据抛射体抵达斜 面上落地点的运动特点:v x =0和 y =0,再利用方程中相应的两个方程,消去 时间得到 这个结论与初速度大小无关。将抛体运动分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。 如图 2-3-3。取抛物轨迹所在平面为平面,抛出点为坐标原点,水平方向 为 x 轴,竖直方向为 y 轴。则抛体运动的规律为:-=g a a y x 0 =sin cos 00v v v v y x-=20021sin cos gt t v y t v x 其轨迹方程为222cos 2x v g xtg y o -=这是开口向下的抛物线方程。在抛出点和落地点在同一水平面上的情况

6、下, 飞行时间 T , 射程 R 和射高 H 分别为g v T sin 20= g v R 2s i n 20=g v H 2s i n 220= 抛体运动具有对称性, 上升时间和下降时间 (抛出点与落地点在同一水平 面上 相等 (一般地, 从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的 时间相等 ;上升和下降时经过同一高度时速度大小相等,速度方向与水平方 向的夹角大小相等。平抛运动:质点只在重力作用下, 且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。 它可 以看成水平方向上的匀速运动(速度为 v 0与竖直方向上的自由落体运动的 合成。速度:采用水平竖直方向的直角坐标可得:0v v x = gt

7、v y =,其合速 度的大小为 220 (gt v v +=,其合速度的方向为(设水平方向夹角为 ,可见,当 t 时, 2/, gt V ,即表示速度趋近于自由落体的速度。位移:仍按上述坐标就有,2/, 20gt y t V x =。仿上面讨论也可得到同 样结论,当时间很长时,平抛运动趋近于自由落体运动。加速度:采用水平和竖直方向直角坐标系有 , g a a y x =, 0,用自然坐标 进 行 分 解 , 如 图 2-3-4其 法 向 加 速 度 为 c o sg a n =, 切 向 加 速 度 为 si n g a =, 为速度与水平向方的夹角, 将速度在水平与竖直方向的坐标系 中分解可

8、知: 2220sin t g v gtV V y+=22200cos t g V V V x +=由此可知, 其法向加速度和切向加速度分别为:22200t g gV a n +=22202t g t g a += 由上两式可以看出, 随着时间的推移, 法向加速度逐渐变小趋近于零, 切 向加速度趋近于定值 g ,这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易 看到,平抛物体的远处时就接近竖直下落了。运动的轨迹方程:2202x V g y =从方程可以看出,此图线是抛物线,过原点,且 0V 越大,图线张开程度 大, 即射程大。 根据运动的独立性, 经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线 运动和竖直方

9、向上的竖直上抛运动来处理,但有时也可以用其它的分解分法。抛体运动另一种常用的分解方法是:分解沿 0v方向的速度为 0v 的匀速直线运动和沿竖直方向的 自由落体运动二个分运动。如图 2-3-5所示,从 A 点以 0v 的初速度抛出一个小球,在离 A 点水平距离为 s 处有一堵高度为 h 的墙 BC ,要求小球能越过 B 点。 问小球以怎样的角度抛出,才能使 0v 最小? 将斜抛运动看成是 0v 方向的匀速直线运动和 另一个自由落体运动的合运动,如图 2-3-6所示。在位移三角形 ADB 在用正弦定理sin(1sin sin 102+=a t v a gt轨迹:由直角坐标的位移公式消去时间参数 t

10、 便可得到直角坐标系中的 平抛运由式中第一个等式可得图 2-3-5图 2-3-6sin sin 20g a v t =将式代入式中第二个等式sin(sin sin 2202+=a lg a v a a gl v sin sin(sin 2220+=cos 2cos(sin 220+-=a gl v当 2cos(+-a 有极大值 1时,即 =+a 2时, 0v 有极小值。因为=+a 2,=+22a所以214-=a-=-=2020cos 21sin sin 21cos t g at v y t g at v x 当小球越过墙顶时, y 方向的位移为零,由式可得cos sin 20g av t =式

11、代入式:我们还可用另一种处理方法以 AB 方向作为 x 轴(图 2-3-7这样一取,小球在 x 、 y 方向上做的都是 匀变速运动了, 0v 和 g 都要正交分解到 x 、 y 方向上去。小球运动的方程为 -=-=222121t g v y t g t v x y oy x ox2000cos sin 2(sin 21cos sin 2cos g a v g g a v av x -=sin sin cos (coscos sin 220a a g av -=cos(sin cos 2220+=a a g v sin 2sin(cos 22-+=a g vsin 2sin(cos 220-+=

12、a xg v 当 2sin(+a 最大,即22=+a 时,214-=a , 0v 有极小值sin 1/(cos 220-=xg vsin 1/( sin 1(cos 22-+=xgsin 1(+=xg1(x h xg +=(22s h h g +=图 2-3-7抛体运动的轨道方程有时,我们关心的是轨道方程,尽管轨道方程包含的信息没有运动方程 所含信息多, 因为它没有给出物体何时在何处。 在讨论轨道方程时, 通常采用 前图 (a中坐标。利用方程,联立消去时间 t ,得到轨道方程: 在抛射速度 v0和抛射角 确定的情况下, 这个方程给出了 x 与 y 的关系, 即给出了一条轨道。 但是, 从更广泛

13、的意义上来看, 这是一个含有 4个参量 (x、 y 、 v 0、 tg 的方程.为了准确理解这个方程,我们作一些与解题关系密切的 讨论:(1设抛射点为坐标原点,抛射初速度大小 v0已知,而 (x, y 为竖直抛射 面内的一确定点 这里 x>0,而 y 既可以大于零,也可以小于零,还可以等于 零 (属于图 (a的情况 ,假定这一点能被击中,我们来看一看,此时抛射角为 何值 ? 为此,把前方程改写为 解出 tg : 通常, tg 有两个解, 这说明在此情况, 同一个抛射体可以用两个不同的 抛射角 l 和 2均能击中 (x, y 点。我们把此结论示于图 (b,而图 (a作为 y =0时的对照。

14、 图 (a中射程 S 由前表达式给出。设 l 和 2为同一射程的两个抛射角, 显然有关系 那么在图 (b中, l 和 2应满足什么关系呢 ?在现在的情况下, v 0已知, 由方程得到两个抛射角 l 和 2, 对应于图 (b中两条抛物线, 而点 (x, y 是这两条抛物线共同经过的一个点。 在这个意义下, 两个解 tg l 和 tg 2均满足方程轨道方程,因此, 得到 其中 为在抛射点所看到的点 (x, y 的视角 (仰视角为正,俯视角为负 , 在此 </2。若 y 为负,则 值也为负。最后得到 当 =0时,显然是正确的。这个关系式在解题中很有用。(2我们再来看图(a，在 V0 一定的条件

15、下，最大射程 SM 给出 此时 l 24。一般情况下，一个射程 S 对应于两个互不相等的抛 射角 l 和 2。如果射程 S 不变，能达射程 S 的最小 v0 值为多大?显然 而且此时的抛射角必为 4。 与此类似，我们看图(b。如果 v0 大小一定，击中(x，y点一般有两个抛 射角，那么击中(x，y点的最小 v0 值就是 l 2 0。时，对应的 v0 值可 以由方程得到 或 其中 显然 v0 的表达式是相同的。 (3我们对方程重新整理，改写为 此式表示，当抛射体初速 v0 和击中点 x 坐标一定时，若抛射角满足 y 得极大值 11 这个结论具有实际意义。如图 29，一人离墙距离 x 处踢一足球，

16、若足 球初速 v0 为定值，可以由此确定击中墙上可能的最高高度 ymax。 我们进一步思考这个问题。 若墙换成一个竖直放置的大平板(设此平板与 抛射面垂直，足球的初始速度大小 v0 和抛射点保持不变，太平板所在 x 坐标 可以调节，即 x 可变，那么根据式(257，每个可能的 x 必给出平板上相应 的一个最高高度 y。由此给出的 x 与 y 的关系式就是表达式(257，改写为 每逢庙会、集场等时候，常有游戏骗子在街头闹市区、学校门口等进行弹 子有奖游戏活动。图 1 中游戏机的倾斜轨道 AC 与有缺口的圆轨道 BCD 相切 于 C 点，圆轨道的半径为 R，两轨道在同一竖直平面内，D 是圆轨道的最

17、高 点，缺口 DB 所对的圆心角为 90°，各轨道都很光滑，摩擦力很小。把一个 小球从斜轨道上某处由静止释放，它下滑到 C 点后便进入圆轨道，参与者如 能使小球落入 B 点的小网中便获得大奖。 如图 1，如小球从某点释放后，沿 AC 加速下滑，再经圆周运动到 D 点后 做平抛运动，那么小球绝无可能落到 B 点。 （此结论请同学们根据圆周运动和 平抛运动知识自行求证）但是，如果小球不经过 D 点，而是在到达 D 点以前 的某位置脱离轨道作斜抛运动，则有无可能落到 B 点呢？ y A v0 D H x C 图1 B O O h E 如图 1，设小球到达 D 点之前的 E 点时脱离轨道，这

18、样小球作斜抛运动。 设小球在 E 点时的速度为 v0，与水平方向的夹角为 ，建立如图所示的直角 12 坐标系，则有 vxv0cos ，vyv0sin 。 假设小球由 E 运动到 B 所需的时间为 t，忽略空气阻力和摩擦，则小球位 移的水平分量和竖直分量分别为 即 sxvxt，syvytgt2/2。 v0cos tRRsin v0sin tgt2/2Rcos 在即将脱离圆轨道的 E 点时，轨道对小球的压力为零，小球所受重力的径 向分力提供向心力，设求的质量为 m，则有 mgcos mv02/R 联立、式可得 2sin2 sin 10 解得 代入式得 sin 1/2， 30° 3 v02 2 gR 3 E 点距圆轨道最低点的距离为 hRcos R（ 2 1）R mg（Hh）mv02/2 设释放点 A 相对轨道最低点的高度为 H，对由 A 运动至 E 的过程应用机 械能守恒定律可得 3 3 将式代入式可得 H（ 4 1）R 3 3 即只要从高于圆轨道最低点（ 4 1）R 的地方释放，小球就可以掉入 放在 B 点的网中，但由于实际操作时，轨道存在摩擦，释放点应比 A 高，虽 然如此，由于此释放位置不易掌握，得大奖的几率是非常低的。 从此例的分析可知， 研究斜抛运动的常用方法是根据运动的独立性将其分 解为水平方向的匀速直线