2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：3.1.1 第1课时　函数的概念 Word版含解析

1、第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念课程标准学法解读1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念2体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用3了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.1函数概念的引入，学生应以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数的概念2本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解yf(x)的含义，注意加深理解.必备知识·探新知基础知识1函数的概念(1)定义：_给定两个非空数集a与b_，以及_

2、对应关系f_，如果对于集合a中的_每一个实数x_，在集合b中都有_唯一确定的实数y_与x对应，则称f为定义在集合a上的一个函数(2)记法：yf(x)，xa.(3)定义：自变量因变量定义域值域xya_yb|yf(x)，xa_思考1：如何理解对应关系“f ”的含义提示：f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图像、表格，还可以是文字描述如f(x)3x5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)3×4517.2常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数_a0_a0_对应关系yaxb(a0)y(k0)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)定义域rx|x0rr值域ry|

3、y0思考2：求二次函数yax2bxc(a0)的值域时为什么分a0和a0两种情况？提示：当a0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，观察图像得值域为.当a0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，观察图像得值域为.基础自测1下图中能表示函数关系的是_(填序号)解析：由于中的2与1和3同时对应，故不是函数2已知f(x)3x2，则f(2)_8_；若f(a)4，则a_2_.3函数f(x)的定义域是_(，4)_.解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域为(，4)4已知f(x)x32，则ff(1)_29_.解析：f(x)x32，f(1)(1)323，ff(1)f(3)(3)3229.5给出下列三组函数，

4、其中表示同一函数的是_(填序号)f(x)x，g(x)；f(x)2x1，g(x)2x1；f(x)x，g(x).解析：中f(x)x与g(x)的定义域不同；中f(x)2x1，g(x)2x1的对应关系不同关键能力·攻重难函数的概念类型典例剖析_典例1设mx|0x2，ny|0y2给出下列4个图形，其中能表示集合m到集合n的函数关系的有(b)a0个b1个c2个d3个思路探究：由函数的定义知，图中过x轴上区间0,2内任取一点作y轴的平行线，与图形有且只有一个交点才可解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合m中1<x2时，在n中无元素与之对应；(3)中x2对应元素y3n，所以(3)不是；(4

5、)中x1时，在n中有两个元素与之对应，所以(4)不是；显然只有(2)是，故选b归纳提升：1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)a、b必须都是非空数集；(2)a中任意一个数在b中必须有并且是唯一的实数和它对应注意：a中元素无剩余，b中元素允许有剩余2函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两个变量x、y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”对点训练_1在下列从集合a到集合b的对应关系中，能确定y是x的函数的是(d)ax|xz，by|yz，f为“除以3”；ax|x0，xr，by|yr，f为“求3x的平方根”；ar，br，f为“求平方”；ax|1x1，xr

6、，b0，f为“乘以0”abcd解析：在对应关系f下，a中不能被3整除的数在b中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；在对应关系f下，a中的数在b中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；符合函数的定义类型同一函数的判断典例剖析_典例2下列各组函数是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)|x|，(t)；(2)y，y()2；(3)f(x)·与g(x)；(4)f(x)x22x1与g(t)t22t1；(5)f(x)1与g(x)x0(x0)思路探究：判断每一对函数的定义域是否相同，对应法则是否相同即可解析：对于(1)，在公共定义域r上，f(x)|x|和(t)|t|的对应法则完

7、全相同，只是表示形式不同；对于(2)，前者xr，后者x0，两者定义域不同；对于(3)，前者定义域为0，)，后者定义域为(，10，)；对于(4)，尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应法则相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一个函数值，因此二者为同一函数；对于(5)，f(x)的定义域为r，g(x)的定义域为x|x0故以上各对函数中，(1)(4)表示同一函数，(2)(3)(5)表示的不是同一函数归纳提升：同一函数的判断方法定义域和对应法则，是确定一个函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数对点训练_

8、2下列四组函数，表示同一函数的是(d)af(x)，g(x)xbf(x)x，g(x)cf(x)，g(x)·df(x)x，g(x)解析：选项a中，f(x)|x|，g(x)x，故两函数的对应法则不同；选项b中，函数f(x)的定义域为r，函数g(x)的定义域为(，0)(0，)；选项c中，函数f(x)的定义域为(，22，)，函数g(x)的定义域为2，)；选项d中，函数f(x)与g(x)的定义域和对应法则均相同，故选 d类型求函数的定义域典例剖析_典例3求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)(xz)思路探究：本题主要考查函数的定义域只给出函数的关系式，而没有指明它的定

9、义域，那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合解析：(1)要使有意义，x需满足x20，即x2，故该函数的定义域为x|x2(2)要使有意义，x需满足3x20，即x，故该函数的定义域为.(3)要使有意义，x需满足x220，即x，又结合xz，则x等于1,0,1，故该函数的定义域为1,0,1归纳提升：函数定义域的求法1求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变化2求函数定义域的基本原则有：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集r.(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定

10、义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合(4)如果f(x)是由几个数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集)(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约对点训练_3求下列函数的定义域：(1)f(x)x2x；(2)f(x)(x2)0；(3)f(x)；(4)f(x)(xz)解析：(1)f(x)为整式函数，x取任意实数时，f(x)都有意义，故函数f(x)的定义域为r.(2)要使函数f(x)有意义，应满足x20，即x2，故函数f(x)的定义域为x|x2(3)要使函数f(x)有意义，应满足即故函数f(x)的定义域为x|x1，且x2(

11、4)要使函数有意义，应满足即4x1，又xz，则x只能取值4，3，2，1,0,1.故函数f(x)的定义域为4，3，2，1,0,1类型简单函数值域的求法典例剖析_典例4求下列函数的值域：(1)y；(2)yx24x6，x1,5)；(3)y2x.思路探究：求函数的值域没有统一的方法，如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如，观察法、配方法、换元法等解析：(1)(观察法)y2.因为x3，所以0，所以y2.故所求函数的值域为y|y2(2)(配方法)yx24x6(x2)22.因为1x5，所以函数的值域为y|

12、2y11(3)(换元法)设t，则t0，且xt21.所以y2(t21)t22.因为t0，所以y.故函数y2x的值域为y|y归纳提升：求函数值域的常用方法1观察法：通过对函数关系式的简单变形，利用熟知的一些函数的值域，观察求得函数的值域2配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域3换元法：通过对函数的关系式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累对点训练_4(1)已知f(x)，g(x)x22，则f(3)_，fg(3)_.(2

13、)求下列函数的值域：yx22x3，x0,3)；y.解析：(1)f(x)，f(3).又g(x)x22，g(3)3227.fg(3)f(7).(2)(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域数2,6)(分离常数法)y3.0，y3，y的值域为y|yr且y3易混易错警示求函数定义域时非等价化简解析式典例剖析_典例5求函数y的定义域错因探究：在求函数的定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形处理，以免导致定义域的变化如本题易得错解：y，故x10，x1，即函数的定义域为x|x1解析：因为当x210，即x±1时，函数有意义，所以函数的定义域为x|x&#

14、177;1误区警示：求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式来求解，否则可能会改变原函数的定义域学科核心素养复合函数定义域的求法典例剖析_复合函数：如果函数yf(t)的定义域为a，函数tg(x)的定义域为d，值域为c，则当ca时，称函数yfg(x)为f与g在d上的复合函数，其中t称为中间变量，tg(x)称为内函数，yf(t)称为外函数复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的若已知复合函数fg(x)的定义域，求f(x)的定义域，可令tg(x)，由x的范围推出t的范围，再以x换t即得f(x)的定义域若已知f(x)的定义域求复合函数fg(x)的定义域，令g(x)

15、在已知范围内解出x的范围就是复合函数的定义域典例6(1)函数f(x)的定义域为2,3，求函数f(x1)的定义域；(2)函数f(x1)的定义域为2,3，求函数f(x)的定义域解析：(1)函数f(x)的定义域为2,3，则函数f(x1)中，2x13，解得3x4，即函数f(x1)的定义域为3,4(2)函数f(x1)的定义域为2,3，即2x3，则1x12，所以函数f(x)的定义域为1,2课堂检测·固双基1已知函数f(x)1，则f(2)的值为(b)a2b1c0d不确定解析：函数f(x)1，不论x取何值其函数值都等于1，故f(2)1.2下列图形可作为函数yf(x)的图像的是(d)解析：选项d中，对任意实数x，都有唯一确定的y值与之对应，故选d3