2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：1.4 第2课时　充要条件 Word版含解析

1、第2课时充要条件必备知识·探新知基础知识知识点充要条件1定义：若pq且qp，则记作_pq_，此时p是q的充分必要条件，简称_充要条件_.2条件与结论的等价性：如果p是q的_充要条件_，那么q也是p的_充要条件_.3概括：如果_pq_，那么p与q互为_充要条件_.思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？提示：充分必要条件(充要条件)，即pq且qp；充分不必要条件，即pq且qp.必要不充分条件，即pq且qp.既不充分又不必要条件，即pq且qp.基础自测1下列命题中是真命题的是(a)“x>3”是“x>4”的必要条件；“x1”是“x21”的必要条件；“a0”是“ab0”

2、的必要条件abcd解析x>4x>3，故是真命题；x1x21，x21x1，故是假命题；a0ab0，ab0a0，故是假命题2“x0”是“x20”的(d)a充分条件b必要条件c既不是充分条件也不是必要条件d既是充分条件又是必要条件解析因为当x0时x20，当x20时，x0，所以“x0”是“x20”的充要条件3点p(x，y)是第二象限的点的充要条件是(b)ax<0，y<0bx<0，y>0cx>0，y>0dx>0，y<0解析p(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.4设p：x<3，q：1<x<3，则p是q的(c)

3、a充分必要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件解析因为x|1<x<3x|x<3，所以p是q的必要不充分条件5从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空(1)“x210”是“|x|10”的_充要条件_.(2)“x<5”是“x<3”的_必要不充分条件_.解析(1)设ax|x2101,1，bx|x|101,1，所以ab, 即“x210”是“|x|10”的充要条件(2)设ax|x<5，bx|x<3，因为ab，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件关键能力·攻重难题

4、型探究题型一充分条件、必要条件及充要条件的判断例1 (1)对于任意的x，yr，“xy0”是“x2y20”的(a)a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件(2)设四边形abcd的两条对角线为ac，bd，则“四边形abcd为菱形”是“acbd”的(a)a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件(3)设a，b是两个集合，则“aba”是“ab”的(c)a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析(1)由x2y20，得x0且y0，由xy0得x0或y0，即“xy0”“x2y20”(2)若“四边形abcd为菱形”，显然对角线垂直；但“

5、acbd”推不出“四边形abcd为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形所以“四边形abcd为菱形”是“acbd”的充分不必要条件(3)abaab“aba”是“ab”的充要条件归纳提升充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：确定谁是条件，谁是结论尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件(2)命题判断法：如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件【对点练习】 设a、b为两个互不相

6、同的集合命题p：x(ab)；命题q：xa或xb则p是q的_ _条件(b)a充分必要b充分不必要c必要不充分d既不充分又不必要解析若命题p：x(ab)成立，命题q：xa或xb一定成立；若命题q：xa或xb成立，但是x不一定是ab中的元素，所以p是q的充分不必要条件题型二充要条件的证明例2 设x，yr，求证：|xy|x|y|成立的充要条件是xy0.分析解析充分性：如果xy0，则有xy0和xy>0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，所以等式成立当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|xy|x

7、y，|x|y|xy，所以等式成立当x<0，y<0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，所以等式成立总之，当xy0时，|xy|x|y|成立必要性：若|xy|x|y|且x，yr，则|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|·|y|，所以|xy|xy，所以xy0.综上可知，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件归纳提升充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚

8、充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论【对点练习】 证明：abc是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc，这里a，b，c是abc的三条边解析(1)充分性(由a2b2c2abacbcabc为等边三角形)：因为a2b2c2abacbc，所以2a22b22c22ab2ac2bc，即(ab)2(ac)2(bc)20，所以ab，ac，bc，即abc，故abc为等边三角形；(2)必要性(由abc为等边三角形a2b2c2abacbc)：因为abc为等边三角形，所以abc，所以a2b2c23a2，abacbc3a2，故a2b2c2abacbc.综上可知，结论得证题型三根据充分条件、必要条件求

9、参数的取值范围例3 已知p：4<xa<4，q：(x2)(x3)<0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为(b)a(1,6)b1,6c(，1)(6，)d(，16，)分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围解析设q，p表示的范围分别为集合a，b，则a(2,3)，b(a4，a4)因为q是p的充分条件，则有ab，即所以1a6.故选b归纳提升根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合mx|p(x)，nx|q(x)；(2)根据以下表格确定集合m与n的包含关系：条

10、件类别集合m与n的关系p是q的充分不必要条件mnp是q的必要不充分条件mnp是q的充要条件mnp是q的充分条件mnp是q的必要条件mn(3)根据集合m与n的包含关系建立关于参数的不等式(组)(4)解不等式(组)求出参数的取值范围【对点练习】 设p：实数x满足x24ax3a2<0，ar；q：实数x满足x2x60或x22x8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解析由p得(x3a)(xa)<0，当a<0时3a<x<a，由q得2x3或x<4或x>2，则x<4或x2，设p：a(3a，a)，q：b(，4)2，)，又p是q的充

11、分不必要条件，可有ab，所以a4或3a2，即a4或a，又a<0，所以a4或a<0，即实数a的取值范围为(，4.误区警示误将充分条件当作充要条件例4 给出下列各组条件：p：ab0，q：a2b20；p：xy0，q：|x|y|xy|；p：m>0，q：方程x2xm0有实根；p：x>2或x<1，q：x<1.其中p是q的充要条件的有(a)a1组b2组c3组d4组错解因为ab0a0或b0，所以pq，故p不是q的充要条件因为xy0，所以x，y是同号或者为0，故pq，所以p是q的充要条件14m，当m>0时>1，方程x2xm0有实根，所以pq，所以p是q的充要条件p

12、：x>2或x<1，pq，p不是q的充要条件综上，p是q的充要条件的有2组，故选b错因分析误将充分条件当作充要条件，当pq时，我们只能判断p是q的充分条件，只有pq与qp同时成立，才能称p是q的充要条件正解对于由pq知，p一定不是q的充要条件对于，由|x|y|xy|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy0，故是充要条件对于，方程x2xm0有实数解，判别式14m0，即m，所以qp，p是q的充分不必要条件对于，因为pq，所以p不是q的充要条件，故只有是，故选a方法点拨对于两个条件a，b，若ab成立，则a是b的充分条件(b成立的充分条件是a)，b是a的必要条件；若

13、ba成立，则a是b的必要条件，b是a的充分条件；若ab，则a，b互为充要条件解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性学科素养充分条件、必要条件的证明充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点例5 已知a，设二次函数ya2x2axc，其中a，c均为实数证明：对于任意x0,1)，均有y1成立的充要条件是c.分析本题是关于充分条件、必要条件的证明由于所学知识有限，只能利用一些等式性质，一次函数，二次函数的基本性质进行论证，本题揭示的是二次函数的最小值问题与系数c的关系解析因为a，所以函数ya2x2axc的对称轴方

14、程为x，且0<1，所以yc.先证充分性：因为c，且yc1，所以得y1.再证必要性：因为y1，所以只需c1即可，从而c，即结论得证归纳提升充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性()，也可以直接证明充要性课堂检测·固双基1“ab>2c”的一个充分不必要条件是(d)aa

15、>c或b>cba>c或b<cca>c且b<cda>c且b>c解析由a>c且b>c可推得ab>2c，但当ab>2c时，不一定能推得a>c且b>c，故选d2若“x<a”是“x3或x1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(b)aa3ba1c1a3da3解析因为“x<a”是“x3或x1”的充分不必要条件，故a1.3写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件_两组对边分别平行_充要条件_一组对边平行且相等_(写出你认为正确的两个充要条件)4若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是_m>2_.解析因为“x>2”是“x>m”的必要不