人教版圆与圆的位置关系 圆的全章复习

1、圆与圆的位置关系 圆的全章复习一. 本周教学内容： 圆与圆的位置关系 圆的全章复习学习目标 1. 掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r2及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。 2. 在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。 3. 在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。 4. 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。 当两圆内切时，连心线垂直于公切线。 当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。 5. 公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁

2、则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。 6. 如图内公切线长（外离时） 外公切线长（外离、外切、相交时） d 圆心距R 大圆半径r 小圆半径Rr 7. 公切线条数 内含0条 内切1条 相交2条 外切3条 外离4条 8. 圆的全章复习 （1）圆的基础知识 圆的有关概念： 弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。 圆的确定 圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。 注意：作图（两边中垂线找交点），外心的位置，外心到三角形各顶点距离等 圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性 2. 圆与其它图形 （1）点与圆 三种 （2）直线与圆 一条直线与圆 三种

3、两条直线与圆 三条直线与圆 三角形内切圆与圆外切三角形 三角形内心（角平分线交点）位置永远在三角形内部 到三角形各边距离相等 四条直线与圆 圆外切四边形两组对边的和相等 （3）两圆与直线 两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。 两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。 两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。 3. 定理 （1）垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；知2求3。 （2）圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。 （3）与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角 （4）切线的判定、

4、性质： 判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线， “连垂切” 或作垂直证dr 性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。 常见“切连垂” （5）和圆有关的比例线段： 相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理 4. 和圆有关的计算 （1）求线段 直径、半径 垂径定理：求弦长、弦心距、拱高 切线长、公切线长（外公切线长，内公切线长） 直角三角形内切圆半径 任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系 等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2 与圆有关的比例线段、弦长、切线长等 （2）求角 圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角 5. 常见辅助线 半径、直径、弦

5、心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线 6. 圆中常见图形 直角三角形 等腰三角形 圆内接四边形 相似三角形【典型例题】 例1. 已知半径分别为R和r（Rr）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则R：r等于（ ） A. B. C. D. 解：连结O1A、O2B、O1O2（如图所示），则O1AAB，O2BAB，O1O2过点P且平分APC，过点O2作O2EO1A，则O2EAB O1O2E=O1PA=45°， O1O2E是等腰直角三角形。 ， ， ， ，故选C。 点拨：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题。 例2. 如图所示，O1与O2内切于点A，并且O1的半径是O2

6、的直径，O1B为O1的半径，交O2于点C，AD是公切线，O1AC=50°，则BAD=（ ） A. 50°B. 40°C. 25°D. 20° 解：O1A是O2的直径， ACO1=90° 又O1AC=50° O1=40° 又DA是两圆的公切线，DAB和DAC分别是O1、O2的弦切角， 故选D。 点拨：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新。 例3. 已知两圆的半径分别为8和6，如果两圆的圆心距为14，则两圆的公切线条数有_。 解：由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和，则两圆外切，

7、共有3条公切线，故应填3。 例4. 两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm，则外公切线长为_。 解：如图所示，连结O1A、O2B，过点A作ACO1O2，则BAC=30°，AC=O1O2=10cm， 在RtABC中， ， 故应填cm。 点拨：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键。 例5. 已知两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长分别为15和，则其内公切线和连心线所夹的锐角等于_。 解：如图所示，过点O1作O1CAB，交O2B的延长线于C， 两圆的周长分别为15cm和10cm， 两圆的半径分别为， ， 又 在RtO

8、1CO2中， sinO2O1C=， O2O1C=30°，故应填30°。 例6. 如果两圆外切，切点为M，外公切线AB，切点为A、B，则AMB_。 解：如图所示，过点M作两圆的公切线交AB于点C， AB是两圆的公切线， CA=CM=CB CAM=CMA CBM=CMB， CAM+CMA+CBM+CMB=180° CMA+CMB=90° 即AMB=90°，故填90° 点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。 例7. 如图所示，O和O'相交，且点O在O'上，公切线AC、BD分别切两圆于A、B、C、D四点，求证：AB是O

9、的切线。 证明：连结OA、OB、OC、OD，过点O作OEAB于E， AC、BD是公切线， AC=BD 又OC=OD，ACO=BDO=90° AOCBOD，CAO=DBO DBO=EAO，CAO=EAO 又AO=AO，ACO=AEO=90° ACOAEO，OE=OC AB是O的切线。 点拨：本题利用圆心到直线的距离等于半径判定直线是圆的切线。 例8. 两圆外切，两条外公切线所成的角是60°，公切线长等于，求两圆的半径。 解：如图所示，过点A作AEO1O2，设O1和O2的半径分别为r和R。 在RtABE中，AB= BAE=30°，AE=O1O2=R+r，BE

10、=Rr， 解这方程组，得R=3cm，r=1cm， 两圆的半径分别为3cm和1cm。 点拨：本题涉及的知识点较多，要注意各知识点之间的联系，正确解题。 例9. 如图所示，O1与O2内切于A，过A作大圆的弦AD、AE分别交小圆于B、C，求证：AB·AE=AC·AD 证明：过点A作两圆的外公切线AF， FAB=ACB， FAB=AED， ACB=AED BCDE， AB：AD=AC：AE， 即AB·AEAC·AD 点拨：当两圆外切或内切时，公切线是常添的辅助线，然后利用有关的角相等，找到解题思路。 例10. 如图所示，两圆内切于点C，O1的弦AB切O2于点E，

11、CE的延长线交O1于D，求证：AE·CDBD·AC 证明：过点C作两圆的公切线CF， 则FCEDBC 又AB是O2的切线， FCE=AEC， AEC=DBC， 又A=D， AECDBC， AE：BD=AC：CD， 即 AE·CD=BD·AC 点拨：作公切线，通过相似，证明结论。 例11. 如图所示，半径分别为r和R的两圆O1和O2互相外切，从切点到两圆外公切线的距离为d，求证： 证明：过点O1作O1EAB，交O2B于E，交PC于D， 由题意知， PDO2E， ， ， ， ， 两边同时除以dRr，得 ， 即 点拨：通过引辅助线，构造相似三角形，找到证题思路

12、 例12. 如图所示，设两圆交于P、Q两点，过Q作一直线交两圆于A、B，过A、B各作所在圆的切线，设它们相交于一点M，求证A、M、B、P四点共圆。 证明：连结PQ、PA、PB，则 MAB=APQ， MBA=BPQ， M+MAB+MBA=180° M+APQ+BPQ=180° 即M+APB=180° A、M、B、P四点共圆。 点拨：证明四点共圆的方法有许多种，请同学们自己总结一下。 例13. 如图所示，以ABC的一边BC为弦的圆交AB、AC于点D、E，经过A、D、E三点的圆的圆心为O，求证：AOBC。 证明：连结DE，过A作O的切线AM，则AOAM，MAD=AED。

13、 又四边形BCED内接于圆， AED=B MAD=B AMBC AOBC 点拨：本题是一个富于思考的问题，还有很多推广。例如，设N是ABC的外心，其余条件不变，则有ANDE，此时，所作切线是ABC的外接圆上经过点A的切线。（答题时间：90分钟）一、选择题（本题共60分，1-4题每题3分，5-16题每题4分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，考生要按规定要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。 （1）方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，0，1B. 2，8，1 C. 2，8，1D. 2，0，1 （2）一元二次方程的根为 A.

14、 B. C. D. （3）若点A（x，y）在坐标轴上，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. （4）正比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为（ ） A. 2B. 1C. D. 2 （5）方程的两个根为，那么的值为（ ） A. 3B. C. D. 3 （6）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值是（ ） A. 1B. 0C. 1D. 2 （7）点P关于原点对称的点的坐标为（3，1），则点P的坐标为（ ） A. （3，1）B. （3，1） C. （1，3）D. （3，1） （8）函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. （9）直线在平面直角坐标系中大致的位

15、置是（如图1）图1 （10）在RtABC中，C=90°，若，则（ ） A. B. C. D. 3 （11）在RtABC中，C=90°，若，则cosA=（ ） A. B. 1C. D. （12）下列命题中，正确命题的个数为 等弧对等弦 平分弦的直径垂直于这条弦 直径是圆中最长的弦 同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等 A. 1B. 2C. 3D. 4 （13）如图2，O中，直径AB弦CD于点E，AE=8cm，EB=2cm，则弦CD的长为（ ）图2 A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm （14）如图3，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CD切O于点D，A=30&

16、#176;，则C=（ ）图3 A. 40°B. 30° C. 20°D. 10° （15）如图4，O中，弦AB、ED的延长线交于点C，C=45°，的度数为30°，则的度数为（ ）图4 A. 60°B. 75° C. 105°D. 120° （16）如图5，向高为a的圆柱状的水瓶中匀速注水，注满为止。下面图象中（图6）能表示出注水量v与水深h之间的函数关系的是（ ）图5图6二、填空题（本题共12分，每小题4分） （1）如图7，PA切O于点A，PB切O于点B，APB=90°，OP=2，则O

17、的半径长为_。图7 （2）如图8，ABCD是O的内接四边形，AD是直径，CBE=50°，则COD=_。图8 （3）一根弹簧的原长是12cm，它能挂的重量不能超过15kg，并且每挂重1kg，弹簧就伸长，则弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式为_，自变量x的取值范围是_。三、（本题共17分，第1题5分，第2题7分，第3题5分） （1）计算： （2）用换元法解方程： （3）解方程组：四、列方程或方程组解应用题（本题6分） 某企业响应政府号召，为节约用水，自建污水净化站。1月份净化污水3000吨，3月份净化污水增加到3630吨，求这两个月污水净化量平均每月增长的百分率是多少？五

18、、（本题5分） 如图9：有一位同学用一个自制的有30°角的直角三角板估测学校旗杆的高度。他将30°角的直角边水平放在高1.2m的支架CD上，使得三角板的斜边与旗杆的顶点A在一条直线上，此时量得支架到旗杆的底部的水平距离BD长为18m。图9 求：旗杆AB的高度（精确到0.1m，）六、（本题7分） 在平面直角坐标系xOy内，点A的坐标为（2，0），点B是正比例函数上的一点。 （1）求出使OAB为轴对称图形的点B的坐标； （2）对于（1）中所得的OAB是否存在对称轴与y轴平行的情况，若存在，你能找到一点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形为中心对称图形吗？若能，求出点C的坐标，写

19、出直线AC的解析式；若不能，请你说明理由。七、（本题6分） 锐角三角形ABC中，BC=2，ABC的面积为2，tanB、tanC是一元二次方程的两个根。 求：m的值。八、（本题7分） 已知：如图10，AB为O的直径，点D是圆上一点，点C是的中点，且DEAB于E，交弦AC于F，分别延长线段ED和AB，与过点C的O的切线交于点H、G。图10 （1）找出图中与线段CH相等的线段，并证明； （2）证明：AD·HE=HG·AE； （3）若BG=2，求：HD的长。参考答案一、选择题（本题共60分，1-4题每题3分，5-16题每题4分） 1. A2. C3. D4. A5. A 6. C7

20、. D8. D9. B10. A 11. C12. B13. C14. B15. D 16. B二、填空题（本题共12分，每小题4分） （1） （2）80° （3）三、（本题共17分，第1题5分，第2题7分，第3题5分） （1）解：原式 （2）解：设， 则原方程可化为 去分母得 解得 当 解得 经检验是原方程的根。 （3） 解：由得 ， 把代入整理得 解之得 把； 把 所以原方程组的解是四、列方程或方程组解应用题（本题6分） 解：设这两个月污水净化量平均增长的百分率是x 根据题意得 解之得 但不合题意，故舍去。 答：这两个月净化污水的量平均增长的百分率为10%五、（本题5分） 解：过C作CEAB于E， 四边形CDBE是矩形 CE=BD=18，ACE=30° 在RtACE中， CD=BE=1.2， 答：旗杆AB的高度约为11.6m。六、（本题7分） （1）解：如图1所示，符合题意的B点有四种情况。图1 （I）等腰三角形以点B1为顶点，即B1O=B1A 过点B1作B1Dx轴于点D，则OD=DA=1 点B1在正比例函数的图象上， 点B1的坐标为（1，） （II）等腰三角形以O为顶点，即OA=OB2=2 过点B2作B2D1x轴于点D1， 点B2在正比例函数的图象上， 设点B2的坐标为（x，）