2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套学案：3.3.3　函数的最大（小）值与导数 Word版含解析

1、3.3.3函数的最大(小)值与导数自主预习·探新知情景引入城市街道路灯是一道亮丽的风景线，路灯的设计既要考虑景观效果，又要实用和节能，因此路灯的高度、路灯之间的距离与道路的宽度等等要有合适的比例，才能取得最好效果若要取得良好效果，则设计人员需要一定的数学知识新知导学1函数yf(x)在闭区间a，b上取得最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是_一条连续不断_的曲线，那么它必有最大值和最小值2求函数yf(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数yf(x)在_(a，b)_内的极值(2)将函数yf(x)的_各极值_与端点处的_函数值f(a)、_f(b)_比较，其中_最大_的

2、一个是最大值，_最小_的一个是最小值预习自测1若函数f(x)x42x23，则f(x)(b)a最大值为4，最小值为4b最大值为4，无最小值c最小值为4，无最大值d既无最大值，也无最小值解析f(x)4x34x，由f(x)0得x±1或x0.易知f(1)f(1)4为极大值也是最大值，故应选b2函数yx2cos x在0，上取最大值时，x的值为(b)a0 bcd解析y12sin x，由y>0可知0<x<，由y<0可知<x<，所以函数在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，故yx2cos x在x时取得最大值3函数f(x)x33x3在区间3,3上的最小值为(d)

3、a1b5c21d15解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x11，x21.f(1)5，f(1)1，f(3)15，f(3)21.f(x)在区间3,3上的最小值为15，故选d4函数f(x)sin xcos x在x，上的最大值为_，最小值为_1_.解析f(x)cos xsin x，令f(x)0，即cos xsin x，x，x.f()，f()1，f()1，f(x)在区间，上的最大值为，最小值为1.5求下列函数的最值(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解析(1)f(x)4x34x.令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时

4、，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值4极小值3极大值45当x3时， f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23.f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时， f(x)最小值12；x1时， f(x)最大值2，即f(x)的最小值为12，最大值为2.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向利用导数求函数的最大值与最小值典例1 求下列函数的最值：(1)f(x)3xx3(x3)；(2)f(x)sin 2xx.思路分析在求闭

5、区间a，b上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可解析(1)f(x)33x23(1x)(1x)令f(x)0，得x1或x1.x1和x1是函数f(x)在，3上的两个极值点，且f(1)2，f(1)2.又f(x)在区间端点的取值为f()0，f(3)18，比较以上函数值可得f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x.又x，2x，2x±.x±.函数f(x)在上的两个极值分别为f，f.又f(x)在区间端点的取值为f，f，比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min.规律总结求

6、函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f (x)，解方程f (x)0；第三步列出关于x，f(x)，f (x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较跟踪练习1_设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解析由题意，知f(x)的定义域为.(1)f(x)2x.当x1时，f(x)0；当1x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减(2)由(1)知f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为fln2.又fflnlnln

7、0，所以f(x)在区间上的最大值为fln.命题方向含参数的函数最值问题典例2 (2020·云南元谋一中期中)已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求f(x)在该区间上的最小值解析(1)f(x)3x26x9令f(x)<0，得x<1，或x>3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)，单调递增区间为(1,3)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)>f(2)在(1,3)上f(x)>0.f(x)在(1,2)上单调递增又由于f(x)在2，1)上单调递减，f(1

8、)是f(x)的极小值，且f(1)a5f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2.f(1)a57，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.规律方法已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决跟踪练习2_若f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值是3，最小值是29，求a、b的值解析f (x)3ax212ax3a(x24x)令f (x)0，得x0，x4.x1,2，x0.由题意知a0.(1)若a>0，则f (x)、 f(x

9、)随x变化的情况如下表：x(1,0)0(0,2)f (x)0f(x)最大值3当x0时，f(x)取最大值f(0)b3.又f(2)8a24a316a3，f(1)7a3>f(2)，当x2时， f(x)取最小值，16a329，a2.(2)若a<0，则f (x)，f(x)随x变化的情况如下表：x(1,0)0(0,2)f (x)0f(x)最小值29当x0时，f(x)取最小值f(0)b29.又f(2)16a29，f(1)7a29<f(2)，当x2时，f(x)取最大值，即16a293，a2.综上：，或.学科核心素养函数最值的综合应用 函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参数的取值范

10、围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助导数求值典例3 (2020·山东潍坊高二月考)已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，且x1,2时，f(x)<c2恒成立，求c的取值范围思路分析本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关键是求出函数f(x)在1,2上的最大值解析(1)f(x)3x2xb, f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则f(x)0有实数解，即方程3x2xb0有实数解，112b0，解得b.故b的

11、取值范围为(，(2)由题意，得x1是方程3x2xb0的一个根，设另一个根为x0，则，解得.f(x)x3x22xc, f(x)3x2x2.当x(，1)时， f(x)<0；当x(1,2和1，)时， f(x)>0.当x时， f(x)有极大值c.又f(1)c，f(2)2c，当x1,2时， f(x)的最大值为f(2)2c.当x1,2时， f(x)<c2恒成立c2>2c，解得c<1或c>2，c的取值范围是(，1)(2，)规律方法对于根据不等式恒成立求参数的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成mf(x)或mf(x)的形式，然后利用导数求出函数f(x)的最

12、值，则由结论mf(x)max或mf(x)min即可求出参数m的取值范围跟踪练习3_(2018·全国文，21)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当a1时，f(x)e0.解析(1)解：f(x)，f(0)2.因此曲线yf(x)在(0，1)处的切线方程是2xy10.(2)证明：当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1.当x<1时，g(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g(x)>0，g(x)单调递增所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.易混易错警示没有准确把握条件

13、致误 典例4 设l为曲线c：y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线c在直线l的下方错解(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1.所以l的方程为yx1.(2)由(1)知yx1是曲线f(x)在点(1,0)处的切线，又当x2时，有f(2)<1，故切线l上的对应点(2,1)，在曲线c上的点(2，)的上方，曲线c上除切点(1,0)外都在曲线l下方辨析(1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线c相切，则c上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误错因可能是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致正解(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1.所以l的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线c在直线l的下方等价于g(x)>0(x>0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0<x<1时，x2