20182019高中数学空间向量与立体几何2空间线面关系的判定二垂直关系学案苏教版选修21

1、3.2.2空间线面关系的判定(二)一一垂直关系学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.问题导学恻习新知充实基础知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a=(ai,a2,a3),直线m的方向向量为b=(bi,3b3),则l，n?ab=0?aibi+a2b2+a3b3=0.知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l的方向向量为邛=。3,1,平面a的法向量为2=3,2,2!；则直线l与平面a的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为科1=2科2,所以科1/科2,即直线的方向向量与平

2、面的法向量平行，所3以直线l与平面a垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l的方向向量与平面a的法向量共线？l，a.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直？直线与平面平行或直线在平面内.(3)直线l的方向向量与平面a内的两相交直线的方向向量垂直？l，a.梳理设直线l的方向向量a=(ai,bi,ci),平面”的法向量科=(a2,a,C2),则l，“?a/医？a=k(kR).知识点三向量法判断面面垂直思考平面a,3的法向量分别为(ii=(xi,yi,zi),2=(X2,y2,Z2),用向量坐标法表小两平面a,3垂直的关系式是什么？答案XiX2+yiy2+ZiZ2=0.梳理若平面a的法向量

3、为(i=(ai,bi,ci),平面3的法向量为Y=(a2,b2,C2),则a_L3?科-LY?林,v=0?ai&+bib2+CQ=0.思考辨析判断正误已知点P是平行四边形ABC所在的平面外一点，如果丽=(2,1,4),而=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).判断下面结论的对错:1.APLAB(V)2.APLAD(V)3.A先平面ABCD勺法向量.(，)4. AP/Bb(x)题型探究类型一证明线线垂直例1如图，已知正三棱柱ABC-ABC的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点，N是侧棱1CC上的点，且CN=4CC求证：ABLMN证明设AB的中点为Q连结OC彳OO/AA.以O为坐标原点

4、，OB所在直线为x轴，OC由已知得A12,0,0J,B；,0,0,C0,券0,启迪思维探究重点所在直线为y轴，O所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.Nb坐4)吗0,1)M1,坐0i44M1坐4；右=(1。1)，肃.1-1-.MN。AB=一一+0+=0.44.MlNLAB,.ABMN反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系一写出点的坐标一求直线的方向向量一证明向量垂直一得到两直线垂直.跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AC=3,BC=4,AB=5,AA=4,求证：ACBC.证明.直三棱柱ABC-ABC底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,.ACLBCACBCGC

5、两两垂直.如图，以C为坐标原点，CACBCC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(3,0,0),C(0,0,4),B(0,4,0),:AC=(-3,0,0),BC=(0,4,4),.-.AC-BCT=0,ACLBC.类型二证明线面垂直例2如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是BB,DB的中点.求证：EF，平面BAC证明方法一设正方体的棱长为2,以D为坐标原点，DADCDB的方向为x轴z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).1.EF=(1,1,2)-(2

6、,2,1)=(-1,-1,1).AB=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),AC=(0,2,0)(2,0,0)=(-2,2,0).而EF 人声=(-1,-1,1)(0,2,2)=(1)X0+(1)X2+1X2=0.EF-AC=(-1,-1,1)(-2,2,0)=2-2+0=0,EFAB,EFLAC又ABAAC=A,AB?平面BAGAC?平面BAC，EH平面BAC方法二设AB=a,AD=c,AA1=b,rnr-1,-、1,-1,-1,、则EF=EB+BFBB+BD)=2(AA+BC)=-(AA+AD-AB=/(-a+b+c),_.;AB=AB+AA=a+b,2.EF人声=；(a+b+c

7、).(a+b)=2(b2-a2+ca+cb)=2(|b|2|a|2+0+0)=0.EFAB,即EFAB,同理，EFBC又ABABC=B1,AB?平面BAC,BC?平面BAC，EH平面BAC反思与感悟用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)基向量法：设出基向量，然后表示直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示；利用数量积计算.(2)坐标法：建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示；求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行.跟踪训练2如图， 在长方体ABCPABCD中，AB=AD=1,AA=2,点

8、P为DD的中点.求证： 直线PB，平面PAC?小证明如图，以D为坐标原点，DCDA而的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,0,0),则A(2,0,0),A1(2,0,1),Q0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,2,A(0,1,0),P(0,0,1),B(1,1,2),PO(1,0,1),PA=(0,1,1),PB(1,1,1)，BC=(0,-1,-2),BA=(-1,0,-2).PB,PC(1,1,1),(1,0,一1)=0,所以下上的即PBXPC又PB-PA=(1,1,1)(0,1,1)=0,所以P百，PA即PBPA又PAHPC-P,PAPC?平面P

9、AC所以PB,平面PAC类型三证明面面垂直例3在三棱柱ABGABG中，AAL平面ABCABIBCAB=BO2,AA=1,点，求证：平面AEC，平面AACC证明由题意知直线ABBCBB两两垂直， 以点B为坐标原点， 分别以BA直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，E为BB的中BCBB所在故M=(0,0,1),A(3=(-2,2,0),ACf=(-2,2,1),电，2,0,设平面AAGC的法向量为m=(x,y,z),z=0,12x+2y=0.令x=1,得y=1,故ni=(1,1,0).设平面AEC的法向量为n2=(a,b,c),n2,AC=0,则一JI2AE=0,令c=4,得a=1,b

10、=-1,故n2=(1,1,4).因为n1n2=1X1+1X(1)+0X4=0,所以n1n2.所以平面AEC1平面AACC.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3如图，底面ABC比正方形，AS,平面ABCD且AS=ARE是SC的中点.求证:平面BDEL平面ABCD证明设AB=BC=C&DA=AS=1,以A为坐标原点，ABADAS勺方向为x轴，y轴，z2a+2b+c=0,即一1-2a+=0.s则R1,0,0),R0,1,0),A(0,0,0),S(0,0,1),E：1,1连结

11、AG设AC与BD相交于222点Q连结OE则点O的坐标为匚，10:22因为AS=(0,0,1),OE=0,0,2,所以OE=2的所以OBAS又因为AS!平面ABCD所以OEL平面ABCD又O白平面BDE所以平面BDEL平面ABCD达标检测检测评你达标过美1 .若直线11的方向向量为a=(2,4,4),l2的方向向量为b=(4,6,4),则11与12的位置关系是.(填“平行”“垂直”)答案垂直解析因为a b=2X4+(4)X6+4X4=0,所以l1l2.2 .若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面a的法向量为科=(2,0,4),则l与a的位置关系是.(填“平行”“垂直”)答案垂直解析,a/l

12、a.3 .平面a的一个法向量为F(1,2,0),平面3的一个法向量为n=(2,1,0),则平面a与平面3的位置关系是.(填“平行”“垂直”)答案垂直解析.(1,2,0)(2,1,0)=0,，两法向量垂直，从而两平面垂直.4 .已知平面a与平面3垂直，若平面”与平面3的法向量分别为科=(1,0,5),丫=(t,5,1),则t的值为.答案5解析:平面a与平面3垂直，平面a的法向量科与平面3的法向量Y垂直，科-Y=0,即(一1)Xt+0X5+5X1=0,解得t=5.5.在菱形ABCDK若说是平面ABCD勺法向量，则下列等式中可能不成立的是.(填序号)加曲PA1CD应的PCLAB答案解析由题意知PAL

13、平面ABCP所以PA与平面上的线AB,CDTB垂直，正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BDL平面PAC故PCLBD正确.规律与方法1证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向

14、量即可.课时过点练注重双基强化落实一、填空题1.设直线l1,12的方向向量分别为a=(2,2,1),b=(32,m,若li，l2,则m=.答案10解析因为ab,故ab=0,即一2X3+2X(2)+m=0,解得m=10.2 .若平面a,3的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,1,2),并且a，3,则X的值为.答案10解析因为a_L3,则它们的法向量也互相垂直，所以a b=(-1,2,4)(x,1,2)=0,解得x=-10.3.已知直线l的方向向量为e=(1,1,2)，平面&的法向量为n=C，入，一1(入CR).若2la,则实数入的值为.1答案2一一，-1121解析.la,.ell

15、n,丁=1,入=一储24.已知点火0,1,0),R1,0,1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA1平面ABC则点P的坐标为.答案(1,0,2)解析由题意知AB=(1,1,1),AC=(2,0,1),AP=(x,-1,z),又PAL平面ABC所以有AE3-AP=(-1,-1,1)(x,-1,z)=0,得一x+1-z=0,AtAP=(2,0,1)(x,-1,z)=0,得2x+z=0,联立得x=-1,z=2,故点P的坐标为(一1,0,2).5 .在正方体ABCD-AiGD中，若E为AC的中点，则下列结论成立的是.(填序号)CE!BDA6BDADLBC;CDLBE答案解析以D点为坐标原点，D

16、ADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),Q0,1,0),D(0,0,0),A(1,0,1),C(0,1,1).CE=1-J0(-1,1,0)，E2,BD=(-1,-1,0),人3=(1,0,-1),.CEE-Bb=(-1)x(1)x:1；+0 x1=0,.CELLBD显然ACBD故只有正确.6 .已知点P是平行四边形ABC而在平面外一点，若AB=(2,1,4),AD(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则给出下列结论：APABAPIAD;AP是平面ABCD勺一个法向量；AP/BD其中正确的结论是.(填

17、序号)答案解析因为AB-AP=2X(1)+(1)X2+(4)X(1)=22+4=0,则ABAh即APIARAP-AD=(-1)X4+2X2+0=0,则APAD即APAD又ABHAD=A,.APL平面ABCD故AP是平面ABCD勺一个法向量._一一BD=AD-AB=(4,2,0)(2,1,-4)=(2,3,4),所以血BD不平行.7.如图，在长方体ABCDABCD中，AB=2,AA=*AD=272,P为CD的中点，M为BC的中点.则AMUfPM勺位置关系为.出PCi答案垂直解析以D点为坐标原点，分别以DADCDD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,依题意可得D(0

18、,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0),A(22,0,0),M/，2,0). PU(也2,0)-(0,i,V3)=(-.AEAD,AE1DF,即AE!AiD,AELDF,又AiDADF=D,AD,DF?平面AiDF,.AE平面ADF.12.如图，在正方体ABCD-ABCD中，用向量法证明:，日1,1,0),D(0,0,1),B(1,1,1),C(0,1,0),A(1,0,0),C(0,1,1)(1)AD=(-1,0,-1),DBi=(1,1,0),，一，,、DC=(0,1,-1),.AE=10,1,21AD1=(-1,0,0),有=0,2,TI?.AEE(1)平面ABD/平面CBD;(

19、2)AC,平面ABD证明以D为坐标原点,DADCD5的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则0,0,0),Ai(1,0,1)设平面AiBD的一个法向量为ni=(xi,yi,zi),ni,AiD=0,则即A八ViZi=0.?AiB=0,-令zi=i,得xi=i,yi=i.平面AiBD的一个法向量为ni=(-i,i,i).设平面CBD的一个法向量为n2=(X2,y2,Z2),n2,DBi=0,则；n2-DC=0,令y2=i,得X2=i,Z2=i,n2=(i,i,i),ni=n2,即niIIn2.平面AiBD/平面CBD.(2)又混=(i,i,i),ACf/ni.AC是平面AiBD的法向量, AC，平面ABDi3.如图，在四棱锥PABCW,底面ABCD1矩形，PAL底面ABCDPA=AB=i,AD=g点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在BC边的何处，都有PE!AF证明以A为坐标原点，ADABAP的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,