利用导数解决恒成立问题

1、实用标准文档利用导数求函数最值 基础知识总结和逻辑关系函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤和方法1) 确定函数的f(x)的定义区间;2) 求f'(x)，令f'(x)0 ,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根;3) 把函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x)的定义区间分成若干个小区间;文案大全4) 确定f'(x)在各个区间内的符号，由f'(X)的符号判定函数f x在每个相应小区间内的单调性.函数的极值求函数的极值的三个基本步骤1)求导数f '(x)；2)求方程f'(x)0的所有实数根

2、;3)检验f'(x)在方程f'(x)0的根左右的符号，如果是左正右负(左负右正) ，则f(x)在这个根处取得极大(小)值求函数最值1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;2)将极值与区间端点函数值f(a), f (b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.利用导数证明不等式1)利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时，则该函数在该区间上单调递增(或 递减).因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.

3、具体有如下几种形式:直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增(减)区间，自变量越大，函数值越大(小)，来证明不等式成立.把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目2)利用导数求出函数的最值(或值域)后，再证明不等式导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构 造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得 该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题解题方法总结和题型归类利用导数研究含参变量函数的恒成立问题 1) 其中关键是根据题目找到给定区间上恒

4、成立的不等式，转化成最值问题。2) 首先找不等式。一般来说，有以下五类题型: 在某个区间上“单调递增减”：表明f(x) 0 ( f(x) 0 )恒成立;“无极值点”，表明f(X)0恒成立或f(X)0恒成立;“曲线y f(x)在曲线y g(x)上方(下方)”表明 f(x) g(x) 0( f(x) g(x) 0)恒成立;“无零点”：表明f(x) 0恒成立或f(x) 0恒成立;标志词：“任意”,“所有”,“均有”,“恒成立”等等，此时题干已给出不等式例1 :设函数f(x) = ax3 3x + 1 ( xC R)，若对于任意x 1,1，都有f(x) >0成立,则实数a的值为?【解析】若x =

5、 0，则不论a取何值，f(x) >0显然成立;当 x>0,即卩 x (0,1时，f (x) = ax3 3x+ 1>0 可化为 a>4-4.设 g(x) = Ap.则 g(x)= 31-2x所以g(x)在区间0, 2上单调递增，在区间1, 1上单调递减，因此g(x)max= g 2 =4,从而a>4.31当x<0,即x 1,0)时，同理aw一rg(x)在区间1,0)上单调递增, g(x)min= g( 1) = 4，从而 aw 4,综上可知a= 4.【点评】首选考虑参量分离。得到a F(x)或a F(x),然后求F(x)的最值【答案】a= 4.【难度】*【题

6、】设函数f (x) = (x a)21nx , a R(I)若x = e为y f (x)的极值点，求实数 a ;(n)求实数a的取值范围，使得对任意的x (0,3 e，恒有f(x) w4e2成立.注：e为自然对数的底数.【难度】*例2：已知a R,函数f(x) = ( x2 + ax)ex ( x R, e为自然对数的底数).(1)当a= 2时，求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(一1,1)上单调递增，求a的取值范围.【解析】(1)当 a= 2 时，f(x) = ( x2 + 2x)ex,所以 f (X)= ( 2x+ 2)ex + ( x2 + 2x)ex2x=(x + 2

7、)e .令 f (x)>0，即(一x2 + 2)e x>0，因为 ex>0, '八，、，-.-、x所以x2 + 2>0,解得Q2<x<72.所以函数f(x)的单调递增区间是2，旧. 因为函数f(x)在(一1,1)上单调递增， 所以f (X)>0对x ( 1,1)都成立.因为 f (X)= ( 2x+ a)ex + ( X2+ ax)ex2x=X + (a2) x+ ae ,所以X + (a 2) X + ae0 对 x ( 1,1)都成立.因为 e >0,所以一X + (a 2)x + a>0 对 x ( 1,1)都成立,2 2X

8、十 OxX 十 1 11即a-=一十丄一1 = (X十1)-二对x ( 1,1)都成立.x+ 1X 十 1X 十 1令 y= (X十 1) X十贝y y'= 1十一 >0.''> X十 1'x+1所以y= (x+ 1) 在(1,1)上单调递增,X十I所以y<(1 十 1) 2，即 a>|.因此3a的取值范围为a>【点评】数在某区间上单调递增（减）时，函数的导数在这个区间上大 （小）于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况,这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇

9、到的，值得特别注意.【答案】a的取值范围为【难度】*例3：已知函数f （X2 alnx 2 (a 0).X（I）若曲线f（X）在点P（1, f（1）处的切线与直线 yX 2垂直,求函数f（X）的单调区间;（n）若对于（0,）都有f （X 2（a1）成立，试求a的取值范围;【解析】（I）直线y2的斜率为1.函数f（X）的定义域为（0,因为所以f (X)牛X2f(X) In X 2. f (x)X2所以f (1) 纟2X，121X 22 .X1，所以(X)0 解得 X 2 ;（X）0解得0 X所以f（X）的单调增区间是(2,）,单调减区间是(0,2).(II)f (X)电旦X Xax2X22 ,由

10、f（X）0解得X2-;由f（X）0解得a2所以f （X）在区间（2,a '2）上单调递增，在区间（0, ）上单调递减.a实用标准文档所以当2x 2时，函数f(x)取得最小值,aymin2f F).因为对于ax (0,)都有f(x)2(a 1)成立,f(|) 2(a1)即可.则Ia22(a1).由aln? a解得 a20 a-e所以a的取值范围是(0，-).e【点评】此题直接求最值。此时不等式一般形如f (x) A 或 f (x)A，直接求f (x)1)文案大全的最值。【答案】a的取值范围是(0,-)e【难度】*例4：已知函数f(X)ln(1x) mx.(I )当m 1时，求函数 f(x

11、)的单调递减区间;(II )求函数f(x)的极值；(HI )若函数f (x)在区间0,e2 1上恰有两个零点,求m的取值范围.【解析】(I)依题意，函数f (x)的定义域为 1,当 m 1 时，f (x)ln(1 x) x ,1f (x)宀 11 x0，即01 x1由 f (X) 0 得11 x解得x 0或x 1,又 Q x 1 , x 0f (x)的单调递减区间为(0,(II ) f (x)1-m , (xx(1) m 0 时,f (x)0恒成立f(x)在(1,)上单调递增，无极值.实用标准文档文案大全所以从而(III )m 0时,f(X)在由于丄11m111,-1上单调递增，在1'

12、mm1f ( 1) m In m 1 -m由(II )问显然可知，f(X)极大值1,上单调递减,0时，f (x)在区间0,e21上为增函数,在区间0,e21不可能恰有两个零点.10分当m 0时，由(II )问知f(x)极大值=f(1m1)，又 f (0)0 ,0为f(X)的一个零点.11分若f(x)在0,e恰有两个零点，只需f(e2 1)0丄1me21【点评】22 m(e丄2 e1)2 m 1 e2113分首先考虑参量分离。得到a F (x)或 aF(x)，然后求F(x)的直接求最值。此时不等式一般形如f(x) A或f(x) A，直接求f (x)的最值。【难度】*例5：已知函数f (x) ln

13、 x ax 匕二 1 . x(I)当 0 a一时，讨论函数f (x)的单调性;2(n)设 g(x)x2 2bx 4，当a -时，若对任意x (0,2) , f(x) g(x)恒成立,4求实数b的取值范围.2了的疋、/T、上/、11 a ax X (1 a)【解析】：(I) f(X) a 2XXax (1 a)(x 1)(X0)令 f/(x)0Xi1 a ,X2a12 时，f(X)1 1a 一时，一2 ,f (X)在(0,)上单减(n)当 aa在(0,1)和(，a在(1,J)上，fa1,1a时，3, f(x)4 a)上，有(X)0 ,f(X)0，函数f(X)单减,函数f(X)单增1In X -X

14、42 14x由(I)知，函数 f(X)在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增1所以函数f (X)在(0,2)的最小值为f(1)12若对任意X1 (0, 2)，当X2 1,2时，f (X) g(X)恒成立,只需当X 1,2时,gmax(X)g(1)所以g(2)121211分11411所以实数b的取值范围是,).4代入解得13分【点评】注意如果条件改为“f(x1) g(X2)”恒成立，怎么样解答，还可以移项构造新函数吗?【答案】11b的取值范围是,)4【难度】例6：设(I)求I的方程;(II)证明：除切点(1 , 0)之外，曲线C在直线I的下方【解析】(I)设 f x巴，则f'xX1 I

15、n X2Xl为曲线C： y 在点(1 , 0)处的切线. X所以f' 11 .所以L的方程为(n)令1 f X，则除切点之外，曲线 C在直线L的下方等价于x >00, x 1 .x满足1 =0，且当0 < x < 1时,当X > 1时，X2X21 In XX =2X2X 1<0,1 nx<0,所以g X <0,故g X单调递减;1>0,lnx>0,所以g x >0,故g x单调递减.所以g x > g 1=0 X 0, X 1 .所以除切点之外,曲线 C在直线L的下方.【点评】构造函数，转化直接求最值。此时不等式一般形如

16、f(x) A或f(x) A ,直接求f (x)的最值。【答案】(I)【难度】*【题】已知函数f(x)2ax (a 2)x ln x . (I)当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程;(n)当a>0时，函数f(x)在区间1 , e上的最小值为-2，求a的取值范围;(川)若对任意X1,X2 (0,), X1 X2，且 f(X1)+2x,f(X2 )+2x2恒成立，求 a 的取值范围.：【难度】*【题】己知函数f(X)x3 2a X2 (a 1)x 5是R上的单调增函数，求实数a的3取值范围.【难度】*【题】已知函数 f(x)1 2 2-X2ex 3e In x b在(x。,。)处的切