勾股定理全章复习与巩固基础知识讲解

1、勾股定理全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题 【知识网络】【要点梳理】 要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 C的平方.（即：a2 b2 c）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要已知直角三角形的两边，求第三边； 利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题;应用是：（1）（2）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题这样的两个命题叫做互

2、逆如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c，满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤:（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C ；Q99999（2 ）验证C与a b是否具有相等关系，若 a b c，则 ABC是以/ C为直角的直角三角形，反之,3.勾股数则不是直角三角形满足不定方程X22 2y z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）显然，以X、y、z为三边长的三角形一定是

3、直角三角形 .常见的勾股数：3、4、5;5、12、13; 8、15、17 : 7、24、25;9、40、41.如果（a b c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1. 较小的直角边为连续奇数；2. 较长的直角边与对应斜边相差 1.23.假设三个数分别为 a、b c,且a b c,那么存在a b c成立.（例如中存在 72 = 24+ 25、92 = 40+ 41 等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题

4、设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8,求第三边的长.【答案与解析】 解：设第三边为X 当X为斜边时，由勾股定理得 X26282 所以 X Vo2 82 736 647100当x为直角边时，由勾股定理，得x262 82 所以 X62 764 36728277 所以这个三角形的第三边为10或2 J7 【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边.举一反三：【变式】在 ABC中，AB= 15, AC= 13，高AD= 12 .求 ABC的周长.【答案】解

5、：在 Rt ABD和 Rt ACD中,由勾股定理，得 BD2 AB2 AD2152 12281 同理 CD2 AC2 AD213212225 CD 7255 . 当/ ACB> 90°时， ABC的周长为： 当/ ACB< 90°时， ABC的周长为：BC= BA CD= 9 5 = 4.AB+ BC+ CA= 15+ 4 + 13= 32 .BC= BD+ CD= 9 + 5 = 14.AB+ BC+ CA= 15+ 14 + 13= 42.综上所述： ABC的周长为32或42.2、如图所示， ABC中,/ ACB= 90°,AC= CB M为 AB

6、 上一点.求证：AM 2 BM 2 2CM【思路点拨】欲证的等式中出现了作 CDIAB【答案与解析】证明：过点C作CDL AB于D./ AC = BC, CDL AB, AD = BD.aM、CM,自然想到了用勾股定理证明，因此需要/ ACB= 90°, CD = AD= DBAM2 BM22AD DMAD2DMAD2 2AD DMDM 2 AD22ADDM DM 22 22(AD2 DM 2)2(CD2 DM2)在 Rt CDM中,CD22DM CM2 AM 2 BM222 2CM 2.【总结升华】 欲证明线段平方关系问题， 首先联想勾股定理， 从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段

7、的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.举一反三：【变式】已知， ABC中, AB= AC D为BC上任一点，求证：AB2 AD2 BD CD .【答案】解：如图，作 AMl BC于 M / AB= AC, BM= CM, 则在 Rt ABM中:AB2 AM2 BM2在 Rt ADM中:AD2 AM2 DM 2由一得： AB2 AD2 BM2 DM 2 BM DMBMDMDF=1,请你判定 BEF的形B匸、eF、bF,根据勾股定理的逆定理判断即可.【答案与解析】解： BEF是直角三角形，理由是：在正方形 ABCD中, AB=4, AE=2, DF=1,/ A=/ C=/ D=90

8、 , AB=AD=DC=BC=4DE=4- 2=2, CF=4- 1=3,由勾股定理得： bE'=aB'+A=42+22=20, EF2=dE'+dF2=22+12=5, BF2=BC2+CF=42+32=25 , bE'+ef2=bf2,/ BEF=9O ,即 BEF是直角三角形.【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键 是求出 bE'+ef2=bF2.举一反三：【变式】如图所示，已知 ABC中，/ B= 22.5 ° , AB的垂直平分线交 BC于D, BD= 6丿2 ,AEl BC于E,求AE的长.

9、【答案】解：连接AD/ DF是线段AB的垂直平分线,ad = BD= 6忑,/ BAD=/ B= 22.5又/ ADE/ B+/ BAD= 45°, AE± BC,/ DAP 45°,. AE = DE由勾股定理得： AE2 DE2 AD2,2AE2(672)2 , AES、S?、S3表示，则不难证明 S S(1)女口图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S3 -ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用cS、5、S3表示，那么5、5、Ss之间有什么关系?(不必证明) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用

10、S、S2、S3之间的关系并加以证明.S、S2、S3表示，请你确定CA AB的长分别为Rt ABC的三边BCfl解：设a、b、c,则 a2 b2(1)S1S2S3 ；Si S2 S3 .证明如下:显然，s1 c2，4S2逅a2，4S3逅b2，4所以 S2 S3(a42b2)也c42Si.5、如果 ABC的三边分别为 a b、c，且满足 断 ABC的形状.【答案与解析】a2 b2 c250 6a 8b 10c，判解：由 a2 b2 c2506a8b10c，得：a2 6a 9b28b162 c10c 250 (a3)2(b4)2(c5)20- (a3)20,(b 4)20,(c5)2 0a3, b4

11、, c 5.- 324252,2 ab22c .,在证明中经常要8c mAcm3ctu【思路点拨】 将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况.【答案与解析】解：如图所示.因为两点之间线段最短,所以最短的爬行路程就是线段AB的长度.在图中，由勾股定理,得 AB232 112130 .在图中，由勾股定理,得 AB26282100 .因为130> 100,所以图中的 AB的长度最短，为10cm，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10 cm .【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解.举一反三：【变式】（郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，