余弦定理教学设计

1、余 弦 定 理教学设计、教学内容分析人教版普通高中课程标准实验教科书必修（五）（第2版）第一章解 三角形第一单元第二课余弦定理 。通过利用几何法、向量的数量积法、坐 标法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“已知两边一角”和三边”解三角形问题，并体会转化划归思想、方程思想，激发学生探究数学， 应用数学的潜能。、学生学习情况分析在必修四学生已经学习了三角函数、 向量基本知识， 在上一节课又学了正弦 定理，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用几何法、 向量的数量积法、坐标法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。学习的最终目的就是应用， 特别是正余弦定理在测

2、量高度， 距离，角度等方面有 广阔的应用，而总体上学生应用数学知识的意识不强， 创造力较弱， 为此本节课 从始至终都以学生的探索为主。 设计时在发掘出余弦定理的结构特征、 表现形式 的数学美，考虑激发学生热爱数学的思想感情； 从具体问题中抽象出数学的本质， 应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践， 自主探索， 合作交流， 深刻地理解基本结 论的本质， 体验数学发现和创造的历程， 力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进 行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引 导者、合作者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动

3、合作，提高学生 的数学思维能力， 发展学生的数学应用意识和创新意识， 深刻地体会数学思想方 法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。四、教学目标、知识与技能1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握余弦定理的两种表示形式 及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2. 能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题3. 通过三角函数、 余弦定理、向量数量积、坐标等多处知识间联系来体现事 物之间的普遍联系与辩证统一 .、过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题三、情感、

4、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积、 坐标等知识间的关系，来理解 事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;难点：向量方法证明余弦定理.六、教学过程:教学 环节合作探究活动学情分析与设计意图学习目标:1.掌握余弦定理及其证明方法.任务型教给出任务2.初步掌握余弦定理的应用.学，让学生明确自学习重点与难点:己的任务，也便于自我检查。重点：余弦定理及其应用.难点:证明余弦定理.知识回顾三角形的正弦定理内容及其变形.回顾旧知,正弦定理的作用.防止遗忘问题：在 ABC中，已知边a

5、, b,/ C为直角,求边c.从学生熟悉的直角三角形开变式1：在 ABC中，已知边a，b，/ C为锐角,求边创设引入c.变式2:在 ABC中，已知边a，b，/ C为钝角,求边c.始，便于问题的思路的展开，也为后面引申提供转化思路.得到在一般三角形中的结论：2 2=a +b -2ab cosC引导学生从提出问题你能够有更好的方法证明吗?相关知识入手，从帮助学生从向量知识、坐标法等方面进行分析讨不同侧面选择思路进行证明论,引发学生的积极讨论。利用向量法推导余弦定理：uLT r uur r uun u 如图：设 CB =a,CA =b,AB = C,首先复习巩合作探究1由三角形法则有c = a-bb

6、r 2 r r r r r r_c =c c =(a -b )fa -bC*r r r r uu r=a a+b b-2a b=a2 + b2 -2abcosc即： ABC中：c2 =a2 +b2 -2abcosccBa固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已利用坐标法推导余弦定理:建立直角坐标系,则 A(0,0), B(ccosA, csinA),C(b,O).所以由线段的端点想到两点之间合作 探究2的距离，并由此利用坐标法证明，凸显了数学思路，指导方法.a2 =(ccosA-b)2 +(csi nA)2= c2cos A+c2sin2 A-2bccosA

7、 + b22 2=b +c -2bccosA2 2 2余弦定理：a =b +c -2bccosA2 2 2b = a +c -2accosB知识归纳比归纳 概括2 2 2c =a +b -2abcosC较，发现特征，加文字叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两强识记边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。观察余弦定理的结构，指明了三边长与其中一角使学生明确结构 分析四个量，利用方程思想知三求一，进一步理解余弦定对应关系，树立方理的作用.程思想，解决“边、角、边”问题知识 联系,2, 2 2 b + c -a cos A =余弦定理的推论：解决“边、2bc边、边”知识 应用2丄 22co

8、sB = a +c b2ac2 “2cosC = a +b -c2ab问题应用数学知例 1. ABC中,已知 a= 5, b= 5近，乂C =135，识求解问题加强求边c.变式引申1：在 ABC中，已知 a= 8，b= 7, 乂B =60°，求边计算器的运算功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定c.理知识，发现两种例2. ABC中，已知a= 2,知识方法在解三求最大角.角形中的综合应形是变式引申2:用,尤其是余弦定在ABC中，若 a=2，b= 4,c= 5，则此三角理的方程思想求（钝角/锐角/直角）解问题优越于余弦定理。用准确的量怎样利用已知条件判断三角形的形状?化关系去解决问a2+ b

9、2方法 应用a2+ b2+ b22<c ,则 ABC是锐角三角形2=c ,则 ABC是直角三角形2>C ,则 ABC是钝角三角形2 2 21.在 ABC中，满足 a +b -c =ab，求/ C.题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。继续深化正弦、余弦定理，并知识 深化2.在 ABC 中，若 si nA:si nB:si nC=3:2:4，求让学生初步发现cosC.“边、边、角”问题解法.应用是数学大海中有两岛屿A、B，已知两岛屿之间布满暗礁,的最终目的，以此知识 探究船只无法直线来往，请你借助测角仪，用今天所学的题去巩固所学知知识，设计一个方案，测量 AB之间的距离

10、。识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。课堂 小结1、余弦定理各能解决哪些类型问题?2、从本课中你学到了哪些知识和方法?通过知识回顾，使学生各自体会收获。作业 设计1、设计最后一问题的方案。2、第10页A组3、4题问题巩固知识多角度看待七、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联 系，又要使学生明确本课学习的重点， 将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完 整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生因此本课运用联系的观点，从正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在 型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。 本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等 与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了 更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系， 重视数学思想 的教学，