完整数值分析学期期末考试试题与答案A,推荐文档

1、期末测试试卷A卷2007学年第二学期测试科目： 数值分析测试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分123456得分评阅人、判断题每题 2分,共10分100011,用计算机求而时,应根据n从小到大的顺序相加.n 1 n2.为了减少误差,应将表达式 J2001 J1999改写为.2进行计算.; 2001.19993,用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确.4,采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确.5,用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关,与常数项无关.二、填空题每空 2分,共36分1,数a的有效数为0.

2、01 ,那么它的绝对误差限为 ,相对误差限为 1012.设 A 021 ,x1305,叫 A|11" Axl 3,f (x)2x5 4x* * 3 5xUf 1,1,0, f 3, 2, 1,1,2,3 ,4.为使求积公式阵U的乘积,即 A LU,假设采用高斯消元法解AX B,其中A 4三、计算题(第13、6小题每题8分,第4、5小题每题7分,共46分) 一-3 一.- .1.以Xo2为初值用牛顿迭代法求方程f (x)x 3x10在区间(1,2)内的根,要求 证实用牛顿法解此方程是收敛的； 给出用牛顿法解此方程的迭代公式,并求出这个根(只需计算x1,x2,计算结果取到小数点后4位).

3、 ,那么21L , U ；假设使用克劳特消元法解 AX B,那么 U11 ;假设使用平方根方法解 AX B ,那么111与u11的大小关系为 (选填：>, <,=,不一'定).V x V8,以步长为i的二阶泰勒级数法求解初值问题,的数值解,其迭代公式为v(0) 12.给定线性方程组x1 0.4x2 0.4x310.4xi X2 0.8x320.4xi 0.8x2 x33(1) 分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式;(2) 试分析以上两种迭代方法的敛散性.(3) 知函数y f(x)在如下节点处的函数值x-1012y1430(1) 建立

4、以上数据的差分表；(2) 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P2(x) ,并计算y(1.1)的近似值;(3) 采用事后估计法计算(2)中近似值的截断误差(结果保存四位小数).4.如下数据表,试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式.x-1012y12505 .函数y f (x)在以下节点处的函数值,利用差商表求f (3)和f (3)的近似值.X134y2186 .写出前进欧拉公式、后退欧拉公式,并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解以下 常微分方程的数值解.22y X yy(0) 0(0 x 1, h 0.2)四、8分n+1个数据点Xi,yii 0,1,2,L ,n,请用多种方法建立这些数

5、据点之间 的函数关系,并说明各种函数的适用条件.期末测试答案及评分标准A卷2007学年第二学期测试科目：数值分析一、判断题：每题2分,共10分1. X 2. V 3. X 4. X 5. X二、填空题：(每空2分,共36分)1. 0.005或 0.5 10 2 , 0.52. 5, .26,15 3. 0,24. 1,0,1,35. (A)A6. (M ) 14202,1,8.y n 1yn(xnyn )2 (1 xnyn)或 yn 11.5Xn2.5yn 0.5, n0,1,2,L三、解做题第14小题每题8分,第5、6小题每题7分,共46分1. (1)证实：f (x) x3 3x 1,由于a

6、) f(1)3 0, f(2)1 0,b) f (x)3x2 3 0 (x (1,2),c) f (x) 6x 0(x (1,2),即 f (x)在(1,2)上不变号,d) 对于初值x02 ,满足f (2) f (2)0,所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的.2解：牛顿迭代法的迭代公式为2.Xn 1取初值Xo 2进行迭代,得Xnf(Xn)f (Xn)XiX2Xn 3xn 1Xn2 73xn 31.8889,1.8795.(k 1)Xi0.4x2k)0.4x3k)1(k 1)X20.4x(k)0.8x3k)2(k 1)X30.4x(k)0.8x2k)3Gauss-Seidel迭代公式为(k 1)X

7、i0.4x2k)0.4x3k)1(k 1)X20.4x(k 1)0.8x3k)2(k 1)X3c 4 (k 1)0.4xic c (k0.8x21)3(2 ) Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.4解：1 Jacobi迭代公式为0.40.40.40.80.83 0.960.256 0 ,即(0.8)(0.40.505)(0.40.505)0,从而得 1-1.0928, 2 0.8000, 3 0.2928或由单调性易判断必有一个大于的特征根,因此迭代矩阵的谱半径等于必大于所以Jacobi迭代法发散.Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.80.40.80,展开得(2

8、 0.8320.128) 0,解得 10, 20.628,30.204,迭代矩阵的谱半径小于1,所以Gauss-Seidel迭代法收敛.3. 解：1建立差分表xyy2 y3y113041421332202分(2)建立牛顿后插公式为32P2(x)0 (x2)x2)(x1)3(x 2)(x2)(x1)xa0a1 ,Ya2 4那么所求近似值为P2(1.1) 2.79 3分(3)根据前三个节点建立牛顿后插公式为(1)14P2(x) 3 -(x 1) x 1)x3 (x 1) 2x(x 1)2x2 x 4那么P2(1)(1.1) 2.68根据事后误差估计法R2(x)P2(0.9) P2(0.9)x 1故

9、截断误差0.9R2(1.1)(2.79 2.68)0.04712.1 3分24.解：设所求二次最小平方逼近多项式为1250P2(x) a. ax a?x .根据数据,得4 268M M 2 68 , M Y 46 1分846 2分a21.5.6 8 18建立法方程组为4 2 6 a02 6 8 al6 8 18 a2解得a0 3.5, a11.5, 1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为R(x) 3.5 1.5x 1.5x2. 1分5.解：设P2 (x)为节点数据的插值二次多项式.构造如下差商表：xy一阶差商二阶差商1282543172P23, 3P24,3,33P2(3)P23, 3P23,

10、3,33耳 2分由于二次多项式的二阶差商为常数,又P2(x)是f (x)的插值函数,故有5P24,3,3P23,3,3- 2分P24,3,3P23,3753 42因此得9P213,3万,由于f (k)(x) k!Pnx,.2,4.x, k 1从而得.9f (3) P23,3 2,f (3) 2啊3,3,3 5. 2分226.解：前进欧拉公式：yn 1yn h f (Xn, yn)Yn0.2Xn0.2 Yn 1分22后退欧拉公式：yn 1 ynh f (Xn 1,yn 1)Vn0.2Xn 10.2 yn11 分预估时采用欧拉公式*22yn 1Vn0.2Xn0.2yn 1分校正时采用后退欧拉公式

11、2*2yn 1yn 0.2Xn 1.2 yn 1 1分由初值 x0 0,y0 0,h 02知,节点分别为 X 0.2i, (i 1,2,3, 4,5)当 X10.2,*22y1V. 0.2X0 0.2y00,2* 2y1y0 0.2X10.2 y10.008, 1分当 x2 0.4,*22y2 y1 0.2x10.2y10.0160,2*y2y1 0.2x2 0.2 y20.0401. 1分当 X30.6,*22y3y20.2x20.2y20.0724,2*2y3y20.2 x30.2y30.1131. 1分当 X40.8,*22V4V30.2X30.2 y30.1877,2*2y4y30.2

12、 x40.2y40.2481. 1分当 小 1.0,*22y5y40.2 x40.2y40.3884,2*2y5y4 0.2x5 0.2 y50.4783.四、(8分)答：1、可以建立插值函数：(1) Newton 根本差商公式Pn(x) f(x0) (x 乂.)"/. (x x0)(x x)f x2, %?0L (x Xo)(X Xi)L (x xn 1) f xn,L , Xi, x. 1分(2) Lagrange插值多项式Ln(x) a0 f (X0) af(x1) L a, f (Xi) L an f (Xn)其中ai0,1,L ,n).(x x°)L (x Xi 1)(x Xi 1)L (x Xn)(Xi x°)L (Xi Xi 1)(XiXi 1)L (Xi Xn) 1分这两类插值函数的适用条件是：n不太大；而且要求函数严格通过数据点. 2分2、可以建立拟合函数:Pm(X)a0八八 2a1xa2xLmamX其中系数a0,a1,a2,L ,an满足法方程组 M MA M Y,1X0X0K1x1x12KKKKK1XnXnKmX0mX1,Aa.f(X0)y0a1、/f(X1)y1,YLLLamf(Xn)yn1分拟合函数的适用条件是: 数据点本身的误差较大.n比较大,而且并不要求函数严格通过数据点,或者.F3 f (