第九讲 不定积分计算

1、第九讲不定积分的计算 一、不定积分的第二类换元法二、不定积分的分部积分法一、第二类换元法一、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)( 第九九讲 CxF)()()()(ttft1.定理定理 设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(x

2、fxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式2. 适用题型：适用题型：,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat1) 根式代换根式代换 ：被积函数中含有简单根式如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp例例1. 求.21d3xx解解: 令,23xu则,23uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC机动 目录 上页

3、 下页 返回 结束 例例2. 求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则ta

4、axa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 三角代换三角代换:例例5. 求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 xa1C例例6.

5、求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:被积函数含有22ax 时, 除采用1shc

6、h22tt采用双曲代换taxsh消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考书上 P201-P202 )taxch或22ax 或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外, 还可利用公式原式21) 1(22ta221a例例7. 求.d422xxxa解解: 令,1tx 则txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0时当 x42112tta Cata2223) 1(23当 x 0 时, 类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)倒代换法倒代换法:小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1

7、 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 根式代换根式代换三角代换三角代换xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d

8、)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 .32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求例例9. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P203 公式 (23) )例例10. 求.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x(

9、P203 公式 (22) )2521xCx512arcsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求.1d2xex解解: 原式xxee21dCexarcsin(P203 公式 (22) )例例12. 求.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttd)1(12132例例13. 求.2) 1(d23xxxx解解: 原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct ar

10、csinCxxxx1121) 1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、分部积分法分部积分法由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九九讲 例例1. 求.dcosxxx解解: 令,xu ,cosxv 则, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xv 则原式xx cos2xx

11、xdcos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.dlnxxx解解: 令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cosxu xev 原式xe

12、xsinxxexdcos再令,cosxu xev , 则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂三指反对幂三指” 的顺序, 前者为 后者为u.v例例5. 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 2

13、1机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数例例6. 求.dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 则,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxxtan机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC机动 目录 上页 下页 返回 结束 令例例8. 求.)(d22nnaxxI解解: 令,

14、)(122naxu, 1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22

15、221212)(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例例10. 求.d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部令,arctanxt 即,tantx 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)

16、cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan机动 目录 上页 下页 返回 结束 xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctanvu内容小结内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后v3. 题目类型

17、 :分部化简 ;循环解出;递推公式4. 计算格式 :vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求xxId)ln(sin解解: 令,lnxt 则texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21可用表格法求多次分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 uexexuudd,例例12. 求.d)(ln43xxx解解: 令则原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue441

18、3ue4414ue4415原式原式 =ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1.下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxd11) 1322. 求下列积分:) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin5机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法 ,xx22sin