定积分和微积分基本定理知识梳理

1、定积分和微积分根本定理【考纲要求】1. 了解定积分的实际背景,了解定积分的根本思想,了解定积分的概念及其根本定理.2. 正确计算定积分,利用定积分求面积.【知识网络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数f (x)在区间a, b上连续,用分点a = X.< x1< 为< Xj << Xn = b将区间a b 等分成n个小区间,在每个小区间xj,x上任取一点 X =1,2,n),作和式nn b a ., ,In=Z f(4)Ax=2： 土史门弓),当nT*时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间a,b上的定积分.记作(bf(x)

2、dx ,即(bf(x)dx = lim Z 土%(乌),这里,a与b分别叫做积分下 aan',i=i n限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.要点诠释：(1) 定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零；(2) 用定义求定积分的四个根本步骤：分割；近似代替；求和；取极限要点二、定积分的性质bb(1) kf(x)dx = ki f (x)dx ( k 为常数),a- ab、bb(2f(x)二 f2(x) Idx = f(x)dx 二f2(x)dx,aaabcb(3) i f(x)dx = f(x)dx+i f (x)dx

3、(其中 a<c<b),a- a- c(4) 利用函数的奇偶性求积分：假设函数y = f (x)在区间I-b,b】上是奇函数,贝U f (x)dx = 0 ;b假设函数y = f(x)在区间I-b,b】上是偶函数,贝U J： f (x)dx = 2 j f (x)dx.要点三、微积分根本定理如果 F'(x)= f(x),且 f(x)在 a,b 上连续,那么广 f (x)dx=F(b)F(a),其中 F(x)叫做 f (x)的一 -a个原函数.由于IF(x)+c' = f(x), F(x)+ c也是f(x)的原函数,其中c为常数.一般地,原函数在a,b上的改变量F(b)

4、F(a)简记作F(x)a.因此,微积分根本定理可以写成形式：bha f (x)dx =F(x) a =F(b) F(a).要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算要点四、定积分的几何意义设函数f(x)在区间a,b】上连续.在a,b上,当f (x)芝0时,定积分f f (x)dx在几何上表示由曲线 y= f (x)以及直线x = a,x = b与 x轴围成的曲边梯形的面积；如图(1)所示.图在a,b】上,当f(x)罚时,由曲线y = f (x)以及直线x = a,x = b与x轴围成的曲边梯形位于 x

5、轴下b方,定积分f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值； a在a,b】上,当f (x)既取正值又取负值时,定积分j f(x)dx的几何意义是曲线 y= f(x),两条直线x =a,x =b与x轴所围成的各局部面积的代数和.在x轴上方的面积积分时取正号, 在x轴下方的面积积分时,取负号.如图(2)所示.图要点五、应用(一)应用定积分求曲边梯形的面积1.如图,由三条直线 x=a , x=b(a<b), x轴(即直线y = g(x) = 0)及一条曲线 y = f (x)(f(x)芝0)围成的曲边梯形的面积：S =p f(xg(x)dx ;f(x)dx =y7：0y = JW2.如图

6、,由三条直线 x=a , x=b(a<b), x轴(即直线y = g(x) = 0)及一条曲线 y = f (x)bbb(f(x)0)围成的曲边梯形的面积：S= J f(x)dx=J f (x)dx= J g(x) - f (x)dx ;y = /W3.如图,由曲线 y1 = f1(x) y2 = f2(x) f1(x)芝f2(x)芝0及直线x = a , x = b(a<b)围成图形的面积公式为:S = fi(x)dx- f2(x) = fi(x)dx-f2(x)dx.aaa光=fiWo34.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1) 画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像

7、；(2) 借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限；(3) 写出定积分表达式；(4) 求出平面图形的面积.(二)利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(t)(v(t)芝0)在时间区间a,b上的定积分,即 S = v(t)dt. a变力作功物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x =b (a <b),那么变力F(x)所作的功 W = J F (x)dx .a【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分 例1.运用微积分定理求定积分0(cosx e')dx.-JI71

8、(1) f (sin x cosx)dx ;/、2,21、,(2) J(xx + )dx;1x【解析】(1) . (cos x - sin x)'=sin x- cos x,(sin x - cos x) dx = ( - cos x- sin x)23-,x x2 1(2) .(一 一一 十ln x) = xx +,2,2 1 ,x2 x3 .1 (x-x2 )dx= (;r In x)x 23(3) . (sin x +ex)=cos x+ex,0(cos x e )dx= (sin x e )【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分根本定理,其关键是找出使得F'(x) =

9、 f (x)的原函数F(x).通常我们可以运用根本函数的求导公式和四那么运算法那么从反方向求F(x),即利用求导函数与求原函数互为逆运算.举一反三：【变式】计算以下定积分的值:JI(1)(x+sinx)dx,1 x 8(2)°(8x-x8)dx1 2【解析】(1) £2 (x+sm x)dx =(§x -cosx)(2) J(8x -x8)dx = (8-七)七ln8 9 0 3ln 2 92JI18【高活课堂：定积分和微积分根本定理 394577典型例题四】例 2.求"1 -sin 2xdx【解析】31 ,o2、1 sin2xdx = °2、

10、sin2 x cos2x 2sin xcosxdxJI31JI212x20 32xln231sin x cos x dx =|sin x- cos x dx + jjsin x - cos x dx= 4 (cos x - sin x)dx一2 (sin x - cosx)dx4JI冗=(sin x +cosx)子 +( cosx sin x) % 4=2 -1 -12=2 2 -2【总结升华】化简被积函数是积分的前提,直到最简为止举一反三：【变式】计算以下定积分的值.(1) j x(4 - x) dx ;(2) f(x-1)3dx;(3)(V7 + _)2dx;11.x一33221 3 32

11、0【解析】(1)x(4 -x)dx = f (4x-x )dx=(2x -x )=一,口口、33/o、23 .2/3214332 X21(2) (x -1) dx =(x -3x3x -1)dx =(打x -x - x) -.-212211 227(3) (.x 顷下)dx=(x2 )dx= qx2x In x) |i=；ln2.例3.求定积分；3-X , x 0,1f (x) = 、x, x 1,2 ,求函数f(x)在区间0,3】上的积分；2x, x 2,3【解析】31231323 x° f (x)dx = ° f (x)dx,I f (x)dx,！ f (x)dx =

12、° x dx,i、xdx,i 2 dx一冬七上12 3 ln2【总结升华】当被积式为分段函数时,应分段积分.举一反三：3【变式】求定积分：x1dx;J0I0I电【解析】j x Tdx = x1dx + x1dxj(1-x)dx +(x-1)dx1 2 1123= x=x |0x -x |12 2=1 2登22类型二：利用定积分的几何定义例4.2021河南商丘模拟求定积分:J0 J4 - x2 dx ;【解析】设y = . 4-x2 ,那么x2 y2 =4 一 .一 11(y芝0,0 <x2)表示一个圆, 42<由定积分的概念可知,所求积分就是11圆的面积,420,0-2-

13、x【变式】求定积分:'Edx【解析】设y = j16-x2,贝U x2+y2 =16y芝0,0三x?2表示如图的曲边形,2其面积s =S扇形 S、. = "2'、3, ：3故 2 16匚x2dx = 2"2.,3.-3利用定积分求平面图形面积类型三：例5.2021山东淄博一模如下列图,曲线y = x2- 1, x= 2,阴影局部的面积为A.22.0 x -1 dxB.22I (x2 -1 )dxC.220 x -1 dxD.120 x -1 dx 1 1 -x dx【答案】A【解析】由曲线y=|x21|的对称性,所求阴影局部的面积与. 一一 , 一 2 2、

14、,如以下列图形的面积相等,即x -1 dx,选A.是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤【总结升华】求平面图形的面积表达了数形结合的思想, 是：(1) 画出图形,并把图形适当分解为假设干个根本的曲边梯形；(2) 找出相关曲线的交点坐标,即解方程组,确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限)(3) 确定被积函数,即解决“积什么的问题,是解题的关键；(4) 写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；(5) 计算各个定积分,求出所求的面积.【高清课堂：定积分和微积分根本定理394577典型例题一】举一反三：1 一1 【变式1】由直线x=- , x = 2,曲线y=一及x轴所围图形的面积为().A .

15、15 b . 17C. -ln2 D . 2ln 2442 2 121【解析】S = h dx = ln x 1 = In 2 ln() = 2ln 2 2 x22【答案】Dg(x)=x2【变式2】(2021江西宜春月考)函数f(x) = x3 x2+ x+ 1,求其在点(1,2)处的切线与函数 围成的图形的面积.【解析】.(1,2)为曲线f(x) = x3 x2+ x+ 1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,那么 k = f' (1) = 3x2- 2x+ 1= 2,.过点(1,2)处的切线方程为 V 2= 2(x 1),即 y = 2x.y= 2x与函数g(x) = x2围

16、成的图形如图：由y=x可得交点A(2,4).y =2x- y= 2x与函数g(x) = x2围成的图形的面积_22S = .0 2x-x dx= x2 1 3一一 x3类型四：利用定积分解决物理问题例6.汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以匀减速度a = 1.8米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间,32 1000 . 一. . 一.当t =0时,汽车速度v0 =32公里/小时=3000米/秒整8.88米/秒.3600刹车后汽车减速行驶,其速度为V(t) =V0 - at =8.88 -1.8t.当汽车停车时,速度 V(t)=0,故从V(t) =8.88到V(t) = 0用的时间t =8.88-0财493秒.1.8于是在这段时间内,汽车所走过的距离是4.93(8.88 -1.8t)dt4.93S=0 V(t)dt=01 2 4 93=(8.88t 1.8,一t )|0 全 21.90 米.2即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.【总结升华】解决实际应用问题,解题的关键是弄清事物变化开展的规律,再根据规律变化找到相应 的函数式.举一反三：【变式1】一物体在力F(x)=3x+4的作用下,沿着与 F相同的方向,从 x=0处运动到x = 4处,求力F所做的功