完整版线性系统的根轨迹法下

1、4-23在带钢热轧过程中,用于保持恒定张力的限制系统称为环轮,其典型结构图如图4-47所示.环轮有一个0.6m0.9m长的臂,其末端有一卷轴,通过电机可将环轮升起, 以便挤压带钢.带钢通过环轮的典型速度为10.16m/s.假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比,且设滤波器时间常数T可略去不计.要求：(1) 概略绘出0<Ka<*时系统的根轨迹图；(2) 确定增益Ka的取值,使系统闭环极点的阻尼比匚>0.707 .电机滤波器放大器发电机电机轧车昆2s+1-Ka1+ _0.25-1沁Ts+10Es+1s + 1s(b)图4-47轧钢机限制系统解此题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择

2、.(1)绘系统根轨迹图电机与轧车昆内回路的传递函数G1 s =0.25s s 10.250.252s 0.5令T =0,系统开环传递函数为0.5Ka s 0.522s s 0.5 s 1K2s s 0.5 s 1式中,K*=0.5Ka.概略绘制根轨迹图的特征数据为：渐近线：交点与交角二3=专=-0.625a = 45, -135l：别离点：由112-!= 0d d 0.5 d 1解出d =-0.212.根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程s(s 十 0.5"+1 f + K*=s4 2.5s3 2s2 0.5s K =0列劳思表4 s123s2.50.52 s1.8K*1 s0.92.5K

3、*1.80 sQ令0.92.5K* = 0,得 K*=0.36.令1.8s2 K = 0代入s = j®及K* = 0.36,解出© =0.447.交点处Ka = 2K = 0.72系统概略根轨迹图如图(a)所示.(2)确定使系统匚芝0.707的Ka在根轨迹图上,作 匚=0.707阻尼比线,得系统主导极点si,2 =-0.155 j0.155利用模值条件,得§处的K* = 0.0612 ；别离点d处的K* = 0.0387.由于Ka =2K*,故取 0.0774 < Ka <0.1224,可使 0.707 玄<1 ；取 Ka?0.0774,可使.

4、芝1.MATLAB验证(b)所示；系统根轨匚=0.707时,系统主导极点及增益和根轨迹别离点处系统增益如图迹图如图(c)所示.分别令 Ka为0.05,0.11, 0.4 和 0.8,系统的单位阶跃响应如图(d)所示.Ka= 0.11时,系统动态性能.% =2.17%,ts= 27.6s.：=2%Ka= 0.4时,系统动态性能.% =53.2%,ts= 57.9s.=2%MATLAB 程序：exe423.m%建立等效开环传递函数模型G=zpk(, -0 -0.5 -1 -1, 1);%绘制相应系统的根轨迹z=0.707;figure (1)rlocus(G);sgrid(z,'new&#

5、39;)取阻尼比为0.707axis(-0.5 0.1 -0.3 0.3)figure (2)K=0.0612;hold on;rlocus(G,K)最正确阻尼比对应的根轨迹增益阻尼比为0.707时,系统的闭环特征根axis(-1.5 0.5 -1 1)rlocus(G);% Ka=0.05 , 0.11, 0.4, 0.8 时的阶跃响应Ka=0.05;Ka可相应设置numc=0.5*Ka;denc=1 2.5 2 0.5 0;num, den=cloop(numc, denc);系统闭环传递函数roots(den);系统闭环极点sys=tf(num, den);t=0:0.01:120;fi

6、gure(3)step(sys,t);grid on;Rod Lddus0.150.05-0.6Systerur Ga 0612D住片也1»1弗&33Frequency frad sec); 0.219-0 3-0.2-D.1Real/胃惶0.05&rjE 4.03170,1-Pofer 0.11 Diimpiug: 1 0.15-0.2-Overshoot 0F L-0.25-07Q7 J* -Q.d0.1图(b)确定；=0.707以及别离点处的 Ka (MATLAB), I -15-14)500.5Real Arfs864202466 o.o.o.o.4J.-0.

7、-0IQs-xv Mu 依£一图(c)轧钢机系统根轨迹图(MA TLAB)StWlHinM. .SlEpfteinnse.a0.60.4.20ITme (sec)o.e060.4D.20I(1) Ka =0.0512(2) Ka=0.11100120B 6 o.a.D.22D 4060 Tma (sec)902 1 o&=&饵12020 JD BO 80100120Time ( sec )(4) Ka =0.8(3) Ka =0.4图(d)轧钢机系统时间响应(MA TLAB)4-24图4-48(a)是V - 22鱼鹰型倾斜旋翼飞机示意图.V -22既是一种普通飞机,又

8、是一种直升机.当飞机起飞和着陆时,其发动机位置可以如图示那样,使 V -22像直升机那样垂直起降；而在起飞后,它又可以将发动机旋转90,切换到水平位置,像普通飞机一样飞行.在直升机模式下,飞机的高度限制系统如图4-48(b)所示.要求：(1) 概略绘出当限制器增益Ki变化时的系统根轨迹图,确定使系统稳定的Ki值范围；(2) 当去Ki =280时,求系统对单位阶跃输入r(t)=1(t)的实际输出h(t),并确定系统的超调量和调节时间(A = 2%);(3) 当Ki =280, r(t )=0时,求系统对单位阶跃扰动N s = s 的输出hn(t )；(4) 假设在R(s)和第一个比较点之间增加一

9、个前置滤波器-0.5Gp s = 2ps2 1.5s 0.5试重作问题(2).(b)限制系统图4-48 V-22旋翼机的高度限制系统解 此题属于应用根轨迹法设计系统参数的综合性问题,其中包括引入前置滤波器,以 抵消闭环零点的不利影响,改善系统性能.(1)绘制系统的根轨迹图由图4-48(b),系统开环传递函数2K1 s 1.5s 0.5G s =s 20s 1 10s 1 0.5s 1K s 0.5 s 1式中s s 0.05 s 0.1 s 2K =0.01K渐近线：交点与交角七=一0.325a =90别离点:d d 0.05 d 0.1 d 2d 0.5 d 1d - -0.022根轨迹与虚

10、轴交点：闭环特征方程s s 0.05 s 0.1 s 2 K s 0.5 s 1 =0整理得s4 2.1&30.305 K s20.01 1.5K s 0.5K = 0列劳思表0.305 K0.5K2.150.01 1.5K0.3 0.302K0.5K0.003-0.622K0.453K 20.3 0.302K0.5K2令 0.453( K*) -0.622K* + 0.003 =0,解得K,= 0.005 ,K； =1.368令(0.3 + 0.302K*)s2+0.5K* = 0,代入 s=忡、K及K2,解得饥=0.09 ,2 =0.977绘出系统概略根轨迹图,如图a所示.s2 1

11、.5s - 0.5图(a)1=0概略根轨迹图s 20s 1 10s -1 0.5s 1由于Ki =100K*,因此使系统稳定的 K1值范围为：0CK1 <0.5以及K1 >136.8.应用MATLAB软件包,得到系统根轨迹图如图(b)所示.Root Locus：1.55 0 50.AeJIDCESyslM】：sysGflmr J,34Pole; 0.00129 + 0 97iDamp所叩 00133 .好Er 口可仲砂：100 mqEcy f拍响：.97Syst&flr 咿 Gh诚队0叫91 Poh: 6.37e-O06 - 0.0901 i Damping: 了师e-W5

12、 .曹 ftra/jw.承F陆伸如虾f房困品cj: 0.090 J-1.5 L,L5-1D.500.5Real 心 Iss2 - 1.5s - 0.51.5图(b) 1+Ki: =0 根轨迹图 (MATLAB)s 20s 1 10s 1 0.5s 1(2) 当K =280时,确定系统单位阶跃输入响应应用MA TLAB软件包,得到单位阶跃输入时系统的输出响应曲线,如图(c)-(1)中虚线所示.由图可得.% =92.1%,显然,系统动态性能不佳.ts = 43.9s：=2%当Ki =280时,确定系统单位阶跃扰动响应应用MA TLAB软件包,得到单位阶跃扰动输入下系统的输出响应曲线,如图 (c)-

13、所 示.由图可见,扰动响应是振荡的,但最大振幅约为0.003,故可略去不计.单位阶跃输入响应(2)单位阶跃扰动响应图(c) V-22旋翼机的高度时间响应(MATLAB)(4)有前置滤波器时,系统的单位阶跃输入响应(K1 = 280)无前置滤波器时,闭环传递函数2.8 s 0.5 s 11 S 432s4 2.15s3 3.105s2 4.21s 1.405有前置滤波器 Gs= 05 时,闭环传递函数ps2 1.5s 0.5,J 2 s = Gp sL 1 s 14 一 s4 2.15s3 3.105s2 4.21s 1.4可见,中1s 与中2s有相同的极点,但 中1s有-0.5和-1两个闭环零

14、点,虽可加快响 应速度,但却极大增加了振荡幅度,使超调量过大；而 2(s)的闭环零点被前置滤波器完全对消,因而最终改善了系统动态性能.应用MATLAB软件包,得有前置滤波器时系统的单位阶跃响应如图(C)-(1)中实线所示,其.%=7.08%,ts=25.8s (A = 2%)MATLAB 程序：exe424.m%建立等效开环传递函数模型G=zpk(-0.5 -1, 0 -0.05 -0.1 -2, 1);%绘制相应系统的根轨迹figurerlocus(G); axis( -1.5,1.5,-1.5,1.5);%系统输入时间响应%原系统K=280;num1=K 1.5*K 0.5*K;den1=

15、0 0 1 0;num2=1;den2=100 215 30.5 1;numc, denc=series(num1,den1,num2,den2);numr, denr=cloop(numc,denc);sysr=tf(numr, denr) ;t=0: 0.01:80;figurestep(sysr,t); hold on;%添加前置滤波器numf=0.5;denf=1 1.5 0.5;num, den=series(numr,denr,numf,denf);sys=tf(num, den);step(sys,t); grid%系统扰动时间响应K=280;numh=K 1.5*K 0.5*K

16、;denh=0 0 1 0;numg=1;deng=100 215 30.5 1;numn,denn=feedback(numg,deng,numh,denh);sysn=tf(numn, denn)figurestep(sysn,t); grid4-25在未来的智能汽车-局速公路系统中,聚集了各种电子设备,可以提供事故、堵塞、路径规划、路边效劳和交通限制等实时信息.图4-49(a)所示为自动化高速公路系统,图4-49(b)Ka和速度反响系数 Kt的取0.5,单位阶跃响应的超调量小给出的是保持车辆间距的位置限制系统.要求选择放大器增益值,使系统响应单位斜坡输入R( s )= 1/s2的稳态误差

17、小于于10%,调节时间小于 2s(A=5%).R s(b)车辆间距限制系统图4-49智能汽车-高速公路系统解 此题应用等效根轨迹技术及MATLAB 设计软件包,确定多个系统参数的取值.设计过程中,需要综合运用劳思稳定判据、稳态误差计算法、主导极点法以及动态性能估算法 等知识.(1)稳定性要求由图4-49 (b)知,速度反响内回路传递函数KaG1 s :s 3 s 7KtKa开环传递函数KaG s =2s s2 10s 21 KtKaKa21 KK21+KtKa *21+KtKa 式中,速度误差系数KaKv21 KtKaKa闭环传递函数s =2s s2 10s 21 KtKaKaKas3 10s

18、221 KtKa s Ka首先,Kt和Ka的选取应保证闭环系统具有稳定性.列劳思表如下:1021 KtKaKa10 21 KtKa -Ka10Ka由劳思稳定判据知：使闭环系统稳定的充分必要条件是Ka A0,10 21 KtKa -Ka 010也即Ka 0,21Kt 0.1 -K2稳态误差要求根据系统在单位斜坡输入下的稳态误差要求Ka导出Ka 0.5-Kt21由于要求Ka A0,故应有0.5 KtA0,因此要求21Kt : 0.5 -K从系统稳态性能稳定性与稳态误差考虑,Kt和Ka的选取应满足Ka 021210.5 -Kt 0.1 -KaKaaa由于Kt A0,故应有Ka A42.于是,Kt和K

19、a选取时应满足的条件可进一步表示为Ka 42210 Kt :：: 0.5 -Ka,一-21 一,一Ka的最终确定,可根据对系统显然,取Kt =0.25 , Ka? 一=84是一组允许值.0.5 - Kt动态性能要求去选取.(3) 动态性能要求对于二阶系统,假设取阻尼比匚=0.6,那么.% =9.5%： 10%由于要求故应保证汀1.75°在s平面上,作了根轨迹.在根轨迹图上,等效根轨迹方程ts3.5：2：=5%；=0.6和.1.75扇形区,令 心=0.25 , Ka从0t*,作系统Ka的最终确定应使闭环极点位于扇形区域内.闭环特征方程32D s)=s 10s21s0.25Ka s 4)

20、=01 K ss ；4s 7 =.式中,K*=0.25Ka.根轨迹参数:渐近线：别离点：由解出七=-3a = -90d = 1.78.=0.664-22S2-4-6概略根轨迹图图(a) 1 0.25K系统等效根轨迹如图(a)所示.图中,复数根轨迹分支与匚=0.6阻尼比线的交点为Si,2 = 2.5 士 j3.33&点处的根轨迹增益 K*=21.5,相应的KKa860.25Kv一匕一 =2.02421 5根据模值条件K * = 21.5,可以确定第三个闭环极点S3 = -4.92.此时系统的近似性能.% = 9.5% ： 10%35ts =一 =1.4s ：2.0s=5%2.511ess = 0.494 ；： 0.5Kv2.024满足全部设计指标要求.基于MATLAB软件包,图(b)给出匚=0.6时的根轨迹增益,用以确定Ka值；车辆间距 限制系统根轨迹图,如图(c)所示,图中三角形表示 匚=0.6时系统的闭环极点.(4) 设计指标验证由于实际系统为无有限零点的三阶系统, 调量.这里仅验证设计指标中的动态性能.作 入响应,如图(d)所示.负实极点& = -4.92会增大系统阻尼, 减小超MATLAB仿真,可得实际系统的单位阶跃输由图(d)可得系统的动态性能.% = 5% ；ts =1. 6 1A=2% )即.%