完整版矩阵证明题文档良心出品

1、矩阵证实题简单应用题水平:1. 试证：设 A, B, AB均为n阶对称矩阵,贝U AB =BA.2. 试证：设 A是n阶矩阵,假设 A3 = 0,那么| A1 = I + A +A2 .3. 矩阵 A =】B + I,且A2 = A,试证B是可逆矩阵,并求 B .24. 设n阶矩阵A满足A2 = I , AA= I,证实A是对称矩阵.5. 设A, B均为n阶对称矩阵,那么 AB+ BA也是对称矩阵.6. 设Ak=0,其中A为方阵木为大于1的某个正整数,证实E-A-1=E+A+A2+ Ak-1.7. 假设A为非退化矩阵,并且AB=BA试证：A-1B=BA-1.8. 设A.B为n阶矩阵,且 A为对

2、称矩阵,证实 BTAB也是对称矩阵,9. 设A.B都是n阶对称矩阵,证实 AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.10. n阶方阵A满足A2-3A-2E=0,其中A给定,证实 A可逆.11. 设A、B均为n阶方阵,且A2=A,B2=B,证实A+B 2=A+B的充分必要条件是 AB=BA=0.12. 假设A为非退化矩阵,并且AB=BA试证：A-1B=BA-1.13. 设A是n阶方阵,且A+E 2=0,证实A可逆.14. 设矩阵 A可逆,证实A*-1=| A-1| A.参考答案1.试证：设 A, B, AB均为n阶对称矩阵,贝U AB =BA.1.证 由于 AT = A, BT = B, (AB

3、)T = AB 得 3 分所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 得 5 分2.试证：设A是n阶矩阵,假设A3 = 0,贝U I A1 = I + A十A2 .2.证由于 (I A)(I +A + A2)得2分=I A A2 - A - A2 - A3 =I -A3= I所以(I A)* = I +A +A2得5分3.矩阵 A =】(B + I),且A2 = A,试证B是可逆矩阵,并求 B .23.证 由于 A2 =1(B +I )2 =1(B2 +2B + I),且 A2 = A,即441 O1一(B2 +2B + I) =(B + I),得 3 分42得B2 = I ,所以B

4、是可逆矩阵,且B h = B .得5分4.设n阶矩阵A满足A2 = I , AAT = I,证实A是对称矩阵4.证由于A = AI = AAAt = IAt = At 得 4 分所以A是对称矩阵.得5分5.设A, B均为n阶对称矩阵,贝U AB+ BA也是对称矩阵.5. 证由于 AT = A, B T = B ,且(AB +BA)t =(AB)t +(BA)t得 2 分=btat atbt=BA + AB = AB + BA得 5 分所以AB+ BA是对称矩阵.6. 设Ak=0,其中A为方阵木为大于1的某个正整数,证实(E-A)-1=E+A+A2+ Ak-1.6. 证：由于AO .所以EMk=

5、E,得2分又由于E4k=(E-A)(E A A2 : !；Ak).即(EM)(E A A2m EAk)=E所以 (EA)可逆.且 (EK)=E0A2+HAk彳5分7. 假设A为非退化矩阵,并且AB=BA试证：A-1B=BA-1.7 .证：由于A为非退化矩阵,并且AB=BA ,所以两边右乘 A得：ABA=B ,得3分再两边左乘 A,得：BA=AB得5分8. 设A.B为n阶矩阵,且 A为对称矩阵,证实 BTAB也是对称矩阵.8. 证：由于A=A,所以(BTAB)BT(BTA)BTATBTA得 4 分从而btab是对称矩阵得5分9. 设A.B都是n阶对称矩阵,证实 AB是对称矩阵的充分必要条件是AB

6、=BA.9. 证：充分性：由于AT.BT=B.且AB毛A.所以(AB)TmBA)TXTBTMB .即AB是对称矩阵,得3分必要性：由于A=a .bt=b .且(AB)TAB .所以ab=(ab)t=btat=ba.得 5 分10. n阶方阵A满足A2-3A-2E=0,其中A给定,证实 A可逆10. 证：由 A2-3A-2E=0 可得：A(A-3E)=2E ,得 3分即 aNEKe2所以A可逆,且aJQ)一得5分211. 设A、B均为n阶方阵,且A2=A,B2=B,证实(A+B) 2=A+B的充分必要条件是 AB=BA=0.12. 假设A为非退化矩阵,并且AB=BA试证：A-1B=BA-1.13

7、. 设A是n阶方阵,且(A+E) 2=0,证实A可逆.14. 设矩阵 A可逆,证实(A) -1=| A-11A.综合应用题水平:1. 设n阶方阵A = E -必,其中a #0是n维列向量,证实：(1) A =A的充要条件为aTa =1 ;(2)当aTa= 1时,矩阵A不可逆.2. 设n阶方阵A满足A2 A2E =0,证实：(1)矩阵A可逆；(2)矩阵A 2E与A+E不同时可逆.3 .如果A=1(B + E),证实A2-A的充要条件是 b2=e.24. 设矩阵A可逆.证实其伴随阵 A*也可逆.且(A*)=(A)*.5. 设矩阵A、B及A七 都可逆.证实A郴'也可逆.并求其逆阵,6. 假设

8、方阵A满足A2 +2A4E =0 ,证实A E可逆,并求出 AE的逆矩阵.参考答案1.设n阶方阵A = E ao(T,其中a #0是n维列向量,证实：(1) A2=A的充要条件为aTa =1 ；(2)当aTa = 1时,矩阵A不可逆.1. 证：(1) A2 = E_aa T T +0(0(/)aT ,得 2 分故A2 = A的充要条件为aTa = 1 ；得4分(2)由(1)得 A2=A,假设 A 可逆,A(A2)=AA,那么A = E,矛盾.得8分2. 设n阶方阵A满足A2 A2E =0,证实：(1)矩阵A可逆；(2)矩阵A 2E与A + E不同时可逆.112.证：(1) A(A E)=2E,

9、 A = (A E);得 4 分2(2) |A2 A2E|=|A2E| A + E |=0 , |A 2E| 与 |A + E| 至少有一个为零.得8分3 .如果A=】(B + E),证实A2-A的充要条件是 B2-E.221 _3.证：(必要性)弋 A =A,A= (B+E),2B2=E.1 12 B 2B E 日二一(B+E) = (B+E)=,化简即得:2 442_1 _(充分性)B =E,A=(BE)2212A =(B E)4B2 2B E 2B 2E=A44114.设矩阵A可逆.证实其伴随阵 A*也可逆.且(A*) =(A广.14.证：由A可逆可知：|A|#0,|A| = #0,|A

10、 |=|A|口#0,即A,A也可逆.|A|得4分*11*1*11AA = A A =| A| E, A (A ) =(A )A =|A |E.(A*)=A/| AUA-1)* 二| A| EA = A/| A|所以(A*)=(A.*得8分5. 设矩阵A、B及A七 都可逆.证实A布也可逆.并求其逆阵,5. 证：由于111111/曰 c 八A (MB)B =B A =A.得 2 分而Aa(MB)BJL是三个可逆矩阵的乘积 .所以AW(A+B)B可逆.即A+B,可逆、得6分佻招'尸=*入+8归尸书/郴)-.得8分6. 假设方阵A满足A2十2A4E =0 ,证实A E可逆,并求出 AE的逆矩阵

11、.6. 证：由 A2+2A4E=0 可得 A2A + 3A3E=E ,得 2 分即(A E)(A+3E) =E 得 6 分所以A E可逆,且(A E)=(A+3E)得8分开展应用题水平：1 .设A为m x n矩阵,证实：存在 n x s非零矩阵B ,使AB = 0的充分必要条件为秩r (A) < n.A O2. 试证实：r |=r(A) +r(B)B_3. 设A为n阶满秩方阵(n> 2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n 2A.4. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为 A* .证实：n 1(1)假设|A|=0 .那么|A*|=0；(2)|A*|=jA|.5 .设A为mxn矩阵,

12、B为n阶矩阵,且r(A)=n,试证：(1)假设 AB=O,贝U B=O ; (2)假设 AB=A 贝U B=E.6. 设 A、B 为 mxn 矩阵,贝U r(A+B) S(A)+r(B).7. 如果A是n阶矩阵(n *2),且r( A) = n -1,试证r (A*) =1参考答案1 .设A为m x n矩阵,证实：存在 n x s非零矩阵B ,使AB = O的充分必要条件为秩r (A) < n.1.证：充分性：l r(A) <n,二Ax = 0存在一个根底解系咯,j = 1,2,s;其中s=n r(A),令B =( P1,用,Ps),易知B就是 Ms非零矩阵.得5分 必要性：设B

13、=(&,处,更),因B是ns非零矩阵,故至少有一个 加 是非零向量.AB =O,贝U Pj , j二Ax = 0有非零解,即r (A) ： n.得10分2.试证实:rAP.1B= r(A) r(B)= 1,2,s都是线性方程组 Ax = 0的解.2.证：设A的列向量组为 ,%,.,%,其极大无关组为 ai1ai2,.(is,即r(A) = s设B的列向量组为01,日2,.,队,其极大无关组为 , 0 j2,., Bjt,即r(B)=t将七,.,为g的列向量昭",那么昭",5是血 的极大无关组；将j. ",.,九扩充为星的列向量"1,屋2, .,

14、j那么吗1问2, .,"t 也是|° '的极大无关组；易知口i1,%；,.,%;叫1,叫2,.,斜；线性无关. 一一得4分|Bj j j设|A ° '列向量组的极大无关组为告,Y2,.,Yr,即r'|A °=rOB_p B_贝U任意"必可由向量组otj；,心2,.,0( Eji,E；2,.,片线性表示,而任意的 心、们'都是|A °的列向量,均可由丫1,丫2,.,七线性表示；故向量组 P B 一"%2,.,g Eji,Ej2,.,Ejt 与向量组",.,?等价.一一得 8 分所以 r

15、=s+t,即 r|A °=r(A)+r(B).得 10 分!.B-3.设A为n阶满秩方阵(nA 2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n 2A.3. 证：AA*=A*A=| A|E,.(A*)(A*)*=|A* |E得4 分*两边左乘 A 得A(A )(A ) = A| A | E ,即 | A| E(A ) =| A | A得8分又由于A为n阶满秩方阵(n>2),即| A |孝0 , | A* |=|A|n.所以(A*)*=|A| n 2A.得10分4. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为 A* .证实：n _1(1) 假设 |A|=0.那么 |A*|=0；(2)|A*|=

16、|A|.4 .证：(1)用反证法证实,假设|A*| #0 .那么有A*(A*)壬.由此得1_1_A =A A*( A*) =| A| E(A*) =O所以A*=O.这与|A*| #0矛盾,故当|A|=0时.有|A*| F.得5分一二 1(2) 由于A = A* .那么AA* =| A| E.取行列式得到|A|A| A*| =|A|n . n _1假设 |A|#0 .那么 |A*| =|A|；假设|A| =0 .由知| A*| =0 .此时命题也成立.因此|A*| =|A|n.得10分5 .设A为mn矩阵,B为n阶矩阵,且r(A)=n,试证： (1)假设 AB=O,贝U B=O ; (2)假设

17、AB=A 贝U B=E.5. 证：(1)设B的列向量组为：日1,日2,., Pn ,显然任意 %都是齐次线性方程组 AX=0的解向量.由于r(Am：)=n,所以AX=0只有零解,即所有 Bj =0.故B=O.得5分(2)假设 AB=A 贝U AB-A=O , A(B-E)=O由(1)的结论可知(B-E)=O,即B=E.得10分6. 设 A、B 为 m><n 矩阵,那么 r(A+B)乌(A)+r(B).6.证：设A的列向量组为 ,%,.,%,其极大无关组为 1,%2,.,0(治,即r(A) = s设B的列向量组为 携,知,.,麻,其极大无关组为Eji,Ej2,.,Ejt,即r(B)=t得2分设A+B列向量组为0(1 +,(2 + P2,.,an + En,其任意一个向量 ot k + P k可由 向量组 Ctii,0(i2,., Qis Ej1, Pj2,., Pjt 线性表示,即向量组 口1 +01,口2 +02,.,Qn +Dn 可由向量组电电八户治E ji, E j2,., Ejt线性表示. 得8分所以(：、 f 七, W,., ：'n