完整版高数笔记全

1、第一章函数、极限和连续§ 1.1 函数一、主要内容函数的概念1. 函数的定义：y=f(x), x C D定义域：D(f), 值域:Z(f).2.分段函数F(x,y)= 0 y=f(x)一1 (x)f(x) xg(x) x3. 隐函数：4. 反函数：y=f定理：如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；那么它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的. 函数的几何特性1.函数的单调,性:y=f(x),x当x1 V x2时,假设f(x那么称f(x)x= 4 (y)=f -1 (y)C

2、D,xi、x2 D1) v f(x 2),在D内单调增加()；假设 f(x 1) > f(x 2),在D内单调减少()；假设 f(x 1) V f(x 2),那么称f(x)在D内严格单调增加()；那么称f(x)DiD2假设 f(x 1) > f(x 2),那么称f(x)在D内严格单调减少()2. 函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3. 函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x e (-8, +8)周期：T最小的正数4. 函数的有界性：|f(x)|< M , x C (a,b)根本初等函数1. 常数函数：y=

3、c , (c为常数)2. 藉函数：y=x n , (n 为实数)3. 指数函数：y= ax , (a > 0、a乒 1)4. 对数函数：y=log a x ,(a > 0、a 乒 1)5. 三角函数:y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=secx , y=cscx6. 反三角函数: y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x复合函数和初等函数1. 复合函数：y=f(u) , u= ()(x)y=f © (x) , x X2. 初等函数：由根本初等函数经过有限次的四那么运算(加、减、乘、除)和

4、复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函 数§ 1.2极限一、 主要内容极限的概念1.数列的极限lim ynn称数列yn以常数a为极限;或称数列yn 收敛于a.定理：假设 yn的极限存在yn必定有界.2.函数的极限:当x时,f (x)的极限:lim f (x) A¥. u 、Alim f (x) Alim f (x)Ax ')x当xx0时,f(x)的极限:lim f (x) Ax x0lim f (x) A左极限： x x°lim f (x)右极限：X冷函数极限存的充要条件:limf(x) A定理：X X0lim f (x)X X0lim f (x)X

5、X0无穷大量和无穷小量 lim f(x)称在该变化过程中 f(x) 为无穷大量.X再某个变化过程是指:2.无穷小量：lim f (x)X0, XX0, XXo称在该变化过程中 f(x) 为无穷小量.3.无穷大量与无穷小量的关系:定理:lim f (x) 0limf(x)0)4.无穷小量的比较:lim0,lim假设lim 一 0,那么称3是比a较高阶的无穷小量;假设lim(C为常数),那么称6与a同阶的无穷小量;lim一假设,那么称3是比a较低阶的无穷小量. 一 定理：假设：11,2-2那么lim12lim -12假设lim 1,那么称6与a是等价的无穷小量,记作：6a；两面夹定理1.数列极限存

6、在的判定准那么：设：ynxnZn3=1、2、3)且 lim yn lim zannlim x a那么：nn2.函数极限存在的判定准那么：设：对于点X0的某个邻域内的一切点点X0除外有：g(x) f(x) h(x)且 lim g(x) lim h(x) Alim f (x) A那么：x x0极限的运算规那么假设：lim u(x) A, lim v(x) B那么: limu(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A BAB (lim v(x) 0) lim u(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A Bu(x) lim u(x)lim v(x) lim v(x)推论

7、lim ui(x) u2(x)Un(X)lim u1(x) lim u2(x)lim un(x)d lim c u(x)lim u(x)Jim u(x)nlim u(x)n两个重要极限, sin x1啊0了sin (x)0(x)1 x2lim(11)xxx§ 1.3连续一、主要内容函数的连续性xm0(11x)xi.函数在冷处连续:f (x)在xo的邻域内有定义,.lim y1O x 0>时(冷x)f(x0)f (X0)左连续:lim f (x)x x0f(X0)右连续:lim f (x)X X0f(X.)2.函数在X. 处连续的必要条件:定理：f (x)在X.处连续f (x)在

8、X.处极限存在3. 函数在X.处连续的充要条件:定理 XHx)f(x.)lim f (x) lim f (x)f (x0)X X0XX04. 函数在a,b上连续:f (x)在a, b上每一点都连续.在端点a和b连续是指:limx af (X) f (a)左端点右连续;limx bf(X) f(b)右端点左连续.a+ .b-5. 函数的间断点：假设 f(x) 在x.处不连续,那么X.为 f(x) 的间断点.间断点有三种情况:io)x( f在X.处无定义;lim f (x)/、存任;20 X X.'' *左力30)x(f在x0处有定义且Xinx°f(x)存在lim f (

9、x) f(x.) 但 x x0','7两类间断点的判断：1.第一类间断点：lim f (x) lim f (x)特点：x x.和x x.都存在.lim f (x)可去间断点：x x.'7存在,但x吧f(x)f(x0)或)x(f在xo处无定义.2.第二类间断点:lim f (x) lim f (x)特点：x x.和x x.至少有一个为8,lim f (x) 或x x.振汤不存在°lim f (x) lim f (x)无穷间断点：XX.和X 冲至少有一个为8 函数在Xo处连续的性质i. 连续函数的四那么运算:lim f (x)设Xx0f(Xo)g(x)f(xo)

10、g(xo)limf (x) g(x)x x°f(x°) g(x°)f (x0) g(x.)iim g(x)x x0,-f (x) lim 30 x x0 g(x)2. 复合函数的连续性:y f(u), u (x), y f (x)耽(x)(x0),ulin?x0)f(u) f (x0)lim f (x) flim (x) f M)贝 u x x0x x03. 反函数的连续性：y f (x), x f 1(x),y°f(x°)11lim f (x)f(x°)lim f (y) f (y°)x x0y y.函数在a, b上连续的

11、性质i.最大值与最小值定理：+Mf (x)在a,b上连续 y t、f(x)f (x)在a,b 上一定存在最大值与最小值.-M2.有界定理:f(x)在a,b上连续 f(x)在a,b上定有界.3. 介值定理:f (x)在a,b上连续(a,b)内至少存在一点,使得：f( ) c,推论：f(x)在a,b上卧且f(a)与f (b)异号在(a,b)内至少存在一点f()0.4. 初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的.第二章一元函数微分学§ 2.1导数与微分一、主要内容导数的概念i 导数：y f (x)在x0的某个邻域内有定义,lim旦x 0 xlimxf(X0 x) f(Xo) 0x

12、limx x0f(x)xf (x.)X0y x x°f (x°)dydxx0f (x°)2.左导数：lim 旦X x0 xf (x°)x0定理:那么:右导数:f (x°)limx x°f(x) f(x°)x x°f (x)在x°的左(或右)邻域上连续在其内可导,且极限存在;(x0)limx x0(x)(x°)limx x°(x)3.函数可导的必要条件:定理：f (x)在x.处可导f (x)在x°处连续4,函数可导的充要条件:定理:X X0f (Xo)存在f (X0)f (X0

13、),5,导函数：yf (x), x (a,b)f(x)在(a,b)内处处可导.6,导数的几何性质:f(X.)是曲线y f (x)上点M Xo,y.处切线的斜率oX0求导法那么1, 根本求导公式：2, 导数的四那么运算:y f (X.)10 (u v) u v302o (u v) u v u vf (x)表示复合函数对自变量 X求导;f (X)表示复合函数对中间变量(X )求导.4.高阶导数：f (x), f (x),或 f(3)(x)f(n)(x) f(n 1)(X) , (n 2,3,4 )函数的n阶导数等于其n-1导数的导数. 微分的概念1.微分：f (x)在x的某个邻域内有定义,y A(

14、x)x o( x)其中A(x)与x无关,o( x )是比x较局o( x) clim '0阶的无穷小量,即：x 0 x那么称yf(x)在x处可微,记作：dy A(x) xdy A(x)dx(x0)2.导数与微分的等价关系：定理：f (x)在x处可微f (x)在x处可导且：f (x) A(x)3.微分形式不变性:dy f (u)du不管u是自变量,还是中间变量,函数的微分dy都具有相同的形式.§ 2.2中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理：f(x)满足条件:10在a,b上连续；20在(a,b)内可导3°f(a)f (b).在(a,b)内至少存在一点 ,使

15、得f ( )0.f ( ) f(x)10在a,b上连续, 20在(a,b)内可导;在(a,b)内至少存在一点,使得：)f(b) f(a)0罗必塔法那么：(0,型未定式)定理:f (x)和 g(x)满足条件:lim f (x) 0 (或)x aiolimg(x) 0 (或);x a2o在点a的某个邻域内可导,且g (x) 0；lim也3°X a( ) g (x)A,或lim 冬 lim那么：x a( ) g(x) x a(注意：°法那么的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限.2°假设不满足法那么的条件,不能使用法那么.0_即不是 0型或 型时,不可求导.3

16、°应用法那么时,要分别对分子、分母求导,而不是对整个分式求导.4°假设f (x)和g (x)还满足法那么的条件,可以继续使用法那么,即:lim 旦x a( ) g(x)lim旦为lim皿x a( )g (x) x a( ) g (x)A 或5°假设函数是型可采用代数变形,化成0 "假设是1,0°0型可采用对数或指数变形,化成0°或一型.导数的应用1. 切线方程和法线方程:M (x°, y°)设：y f (x),切线方程：y y0y y0法线方程：J J 02. 曲线的单调性： f (x) 0 x (a,b)f (x

17、) 0 x (a,b)f (x) 0 x (a,b)f (x°)(x x°)1(x x°), ( f (x°) 0) f (x.)f (x)在(a,b)内单调增加;f (x)在(a,b)内单调减少;在(a,b)内严格单调增加；f (x) 0 x (a,b)在(a,b)内严格单调减少3. 函数的极值：极值的定义：设f (x)在(a, b)内有定义,X0是(a, b)内的一点;假设对于X0的某个邻域内的任意点X X0,都有：f(x0)f (x)或f(xo)f (x)那么祢 f(x0).(x)祢x0为f(X)的极大值点(或极小值点).极值存在的必要条件：10.

18、 f (x)存在极值f (x0)20.f (x0)存在.f (X0) 0定理:x0 f ( x).称为 /的驻点极值存在的充分条件：定理一：10. f (x)在x0处连续；20. f (x0).或f (x0)不存在;30.f (x)过x0时变号f (x0)是极值;x0是极值点.当x渐增通过X.时,f(x)由(+)变(.);那么f (x"为极大值;当x渐增通过x0时,f(x)由(一)变(f (x);那么/为极小值.10.f(Xo) 0；20.f M存在.*.f (x0)是极值;X0是极值点o假设 f(x0)0,那么 fE)"值;半)0,那么f(Xo注意：驻点不一定是极值点,极

19、值点也不一定是驻点.4 .曲线的凹向及拐点：假设f (x)0, xa,b；那么f(x)在(a,b)内是上凹的(或凹的),(U)假设f (x)0, xa,bf(x)在(a,b)内是下凹的(或凸的)10 f (xo) 0,xo, f (xo)称2o.f (x)过x.时变号.为f(x)的拐点.5.曲线的渐近线：水平渐近线：假设 lim f (x)Ax或 lim f (x)Ax铅直渐近线：假设 lim f (x)x C或 lim f (x)xCy A 是 f (x)的水平渐近线.x C 是 f (x)的铅直渐近线.第三章一元函数积分学§ 3.1不定积分一、主要内容重要的概念及性质：1.原函数

20、：设：f(x),F(x), x假设：F (x) f(x)那么祢F(x)是f(x)的一个原函规并称F(x)C 是 f(x)的所有原函数其中C是任意常数.2.不定积分:f(x)的所有原函数的全体,称为函数f(x)的不定积分；记作:f (x)dx F(x) C其中:f(x)称为被积函数;f (x)dx称为被积表达式;x称为积分变量.3.不定积分的性质：f(x)dx f (x)或 d f (x)dx f (x)dxf (x)dx f (x) C或：df(x) f(x) Cfl(x) f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx分项积分法kf (x)dx k f (x)dx

21、71;为非零常数)4. 根本积分公式：换元积分法：(又称“凑微元法)1.第一换元法：f(x) (x)dx凑微元f(x)d (x)f(t)dt F(t)(x) C令 t (x)F回代t (x)常用的凑微元函数有：,1 -、 dx d(ax)1O a1d(ax ab)(a,b为常数,a0)mx dx20m 1dxa(m 1)d(axm1 b)30 e'dxd(ex)1d(aex b)aaxdx"Ea0,a 1)4o-dx xd(ln x)5o sindxd(cosx) cosxdx d(sin x)d(cot x)sec2 xdx d(tan x) csc2 xdx6odx2xd

22、(arcsin x)d(arccos x)rJ7dx2.第二换元法：f (x)dxd (arctan x)d(arc cot x)f(t)(t)d(t)f(t)dxF(t) CF 1(x) C反代t 1( x)第二换元法主要是针对含有根式的被积函数, 其作用是将根式有理化.一般有以下几种代换：1o xtn,n为偶数时,t 0n/一(当被积函数中有x时)2o x asint,(或x acosx), 0 t ;(当被积函数中有Jax 一时)3o x atan t,(或x acott), 0 t 7, (0 t 7)(当被积函数中有*ax 一时)4o x a sect,(或 x acsct), 0

23、t -2, (0 t -2)(当被积函数中有Jxa 一时)日分部积分法：1. 分部积分公式：udv u v vduu vdx u v u vdx2. 分部积分法主要针对的类型： P(x)sin xdx, P(x)cosxdx P(x)exdx P(x)ln xdx P(x)arcsin xdx,P(x)arccosxdxP(x)arctan xdx,P(x)arccot xdx eax sin bxdx,eax cosbxdx其中 P(x) a°xn3.选u规律：n 1a1xan (多项式)在三角函数乘多项式中,令P(x)其余记作dv;简称“三多项选择多在指数函数乘多项式中,令 P(

24、x) u其余记作dv;简称“指多项选择多.在多项式乘对数函数中,令 In x选反三角函数 "多反选反. 可任选一函数 “指三任选.其余记作dv;简称“多对选对在多项式乘反三角函数中,为u,其余记作dv;简称在指数函数乘三角函数中,为u,其余记作dv;简称简单有理函数积分：右f(x)1.有理函数：其中P(x)和Q(x) 是多项式.2.简单有理函数:f(x)P(x)1 xf(x)P(x)1 x2f(x)P(x)(x a)(x b)f(x)P(x)(x a)2 b§ 3.2定积分二主要内容(一).重要概念与性质1.定积分的定义:f(x)O a x1 x2 xi-1E i xi x

25、n-1 b xf (x)dxlimii1f( i)n定积分含四步：分割、近似、求和、取极限.定积分的几何意义：是介于x轴,曲线y=f(x),直线x=a,x=b之间各局部面积的代数和.x轴上方的面积取正号,yx轴下方的面积取负号.+-2.定积分存在定理:设：yf(x)a,b假设：f(x)满足以下条件之一1 . f (x)连续,x a,b ;2 . f (x)在a,b上有有限个第一类间断 点;3.f (x)在a,b上单调有界;假设积分存在,那么积分值与以下因素无关:1与积分变量形式无关,即bf(x)dx bf(t)dt;aa2与在a,b上的划分无关,即a,b可以任意划分；3与点i的选取无关,即i可

26、以在x, i,x,上任意选取积分值仅与被积函数f (x)与区间a,b有关.3.牛顿莱布尼兹公式:a*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理,其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题.原函数存在定理：4.假设F(x)是连续函数f (x)在a,b上的任意一个原函数:bh那么：f (x)dx F(x)； F (b) F(a)假设f (x)连续,x a,b ,x那么：(x) a f (t)dt, x a,b(x)是f (x)在a,b上的一个原函数,X且：(x) ( f(t)dt) f(x) a5. 定积分的性质：设f(x), g(x)在a,b上可积,贝U:bb1 kf (x)

27、dx k f (x)dxaa2ba f(x)dxab f(x)dx3bbbf (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx aaa4af (x)dx a05baf(x)cbf (x)dxf (x)dx (a cac6b1dx bab)a7 f (x) g(x), (a x b)bb那么 f (x)dx g(x)dxaa估值定理:bm(b a) f (x)dx M (b a) a其中m, M分另U为f (x)在a,b上的最小值和最大值9积分中值定理：；;:；假设f (x)连续xa,bU：必存在一点a, b ,使 a f (x)dx f ( ) (b a)(二)定积分的计算：1. 换元积分设

28、f (x)连续,x a,b, x (t)假设(t)连续,t ,且当t从 变到 时,(t)单调地从a变到b,()a, ( ) b,2.3.4.b .那么：f (x)dx分部积分budva广义积分f (x)dx定积分的导数公式x -1'( f(t)dt)xa2a(x)f (t)dtxbvduaf (x)dxf(x)(x)(t)dtf(x)dx(x)32(x)f (t)dtx1( x)2(x)2(x)f i(x)i(x)三定积分的应用1.平面图形的面积：1 由 y f (x) 0,a,b,(a b)与x轴所围成的图形的面积yf(x)ba f(x)dx2 由 yif (x),y2g(x), (

29、fg)与x a, x b所围成的图形的面积bs a f(x) g(x)dx3 由 xi (y), x2(y),(与y c, y d所围成的图形的面积ds (y) (y)dyc4 .求平面图形面积的步骤： .求出曲线的交点,画出草图； .确定积分变量,由交点确定积分上下限; .应用公式写出积分式,并进行计算.2.旋转体的体积1 曲线 yf (x) 0,与x a, x得旋转体的体积:2.由曲线x得旋转体的体积：及x轴所围图形绕x轴旋转所(x)dx0 ab(y) 0,与 yd 2Vyc 2(y)dy第四章多元函数微积分初步§ 4.1偏导数与全微分一.主要内容：.多元函数的概念3. 二元函数

30、的定义：z f (x,y) (x,y) D定义域：D(f )4. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面. (而一元函数是平面上的曲线). 二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(xo,y0)的某个领域内有定义.(点(x0, y0)可除外)2 lim f(x,y) Ay yo那么称z f (x, y)在(x0,y0)极限存在,且等于A2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义.2 lim f (x,y) f(x0,y°)x x.y y°那么称z f (x, y)在(x0, y0)处连续.偏导数：定

31、义：f(x,y),在(x0,y°)点f (Xox,yo) f (x°,y.)fx(Xo,y() lim x 0xfy(x°,y°)lim."*y； f(X0,y0)fx(xo,yo), fy(xo,yo)分别为函数 f (x, y)在(x°,y.)z f (x, y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：f (x,y)zfx(x,y)Zxxxf(x,y)zfy(x,y) 一Zyyy.全微分：1.定义：z=f(x,y)假设 z f (x x,y y) f (x,y) A x B y o()其中,A、B与x、 y无关,o ()是比 v x

32、2y2较高阶的无穷小量.那么:dz df (x,y) A x B yf(x,y)在点(x,y)处的全微分.D.3. 全微分与偏导数的关系定理：假设 fx(x,y), fy(x, y)连续,(x,y)贝U: z f (x, y)在点(x, y)处可微且dz fx(x, y)dx fy(x, y)dy.复全函数的偏导数：1.设：z f (u,v),u u(x, y),v v(x, y)z f u(x, y),v(x, y)那么：足二旦k Axuxvxzzuzvyuyvy2.设 y f (u,v),u u(x),v v(x)y fu(x),v(x) dyy duy dvdxu dxv dx(六) .隐含数的偏导数：1设F (x, y,z) 0, z f (x, y),且Fz 0zFx zFzf (X),且 Fy 0那么 Z=,32 设F (x, y) 0, y.那么包 Adx Fy(七) .二阶偏导数：2z / z、fxx(x,y) 2 一()x x x2fyy(x,y) 2 一(土)y y