坐标系与参数方程

1、选彳4-4 坐标系与参数方程第一节突破点(一)平面直角坐标系以下列图形的伸缩变换根底联通抓主干知识的“源与“流设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换4：y点P(x, y)对应到点P (x' , y'),称.为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变 换.考点贯穿抓高考命题的“形与“神典例求椭圆, + y2= 1,经过伸缩变换£1=x,2 '后的曲线方程.=y考点平囿直角坐标系卜图形的伸缩变换12x,x=2x ,得到iay=y ._x24x 2将代入 x+y2=1,得4x一+y' 2=1,即 x 2+y' 2= 1. 442因此

2、椭圆x+y2= 1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2= 1.4方法技巧应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点 P的坐标(x, y)与变换后的点P 的坐标(X, Y),再利用伸缩变换公式X= axfa>0 i< I ,建立联系.Y= by(b>0 j(2)变换后的曲线方程 f(x, y)=0, 一般都要改写为方程 f(X, Y)=0,再利用换元法 确定伸缩变换公式.x = 3x,2y = y.X= axa>0 ,求 a,LY= byb>0水平练通抓应用体验的“得与“失 1.在同一平

3、面直角坐标系中,伸缩变换换所得的点A'的坐标.x = 3x,2,求直线l： y=6x经过4： i变换后所得到的直线l'的方程.2y = y3,求双曲线C: x29=1经过4： *x3x变换后所得曲线 C'的焦点坐标.642y =y4,将圆x2+y2=i变换为椭圆x- + y= 1的一个伸缩变换公式为 4b的值.突破点(二)极坐标系根底联通抓主干知识的“源与“流1.极坐标系的概念(1)极坐标系如下列图,在平面内取一个定点 O,点O叫做极点,自极点 O引一条射线 Ox, Ox叫 做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就

4、建立了一个极坐标系.(2)极坐标一般地,没有特殊说明时,我们认为 p> 0,.可取任意实数.3点与极坐标的关系一般地,极坐标P,.与p,时2k兀KC Z表示同一个点,特别地,极点O的坐标为0,肌长R,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定p>0,0W 9< 2兀,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 p,表示； 同时,极坐标p, 0表示的点也是唯一确定的.2.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标x, y极坐标p,0互化公式x= pcos 0, y= psin 9<p2=x2+y2, ytan 0= #xw0)考点贯穿抓高考命题的“形与“神考点一极坐

5、标与直角坐标的互化1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且极轴与x轴正半轴是台重合,假设上述两个都重合,那么极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边向乘P或同时平方构造 pcos仇psin 0,的形式,一定要注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式x及p2=x2+y2将极坐标|y= psin 0方程转化为直角坐标方程2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标1直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x,y分别用pcos apsin.代替即

6、可得到相应极坐标方程.2求直角坐标系中的点x, y对应的极坐标的一般步骤：第一步,根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离,即计算p；第二步,根据角.的正切值tan 0= Xxw0求出角0假设正切值不存在,那么该点在y轴上,问题即解.例1在极坐标系下,圆O: p= cos 0+ sin 0和直线 l：(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；当0 (0,兀时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.方法技巧1 .应用互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点.(2)以x轴的正半轴为极轴.(3)两种坐标系规定相同的长度单位.2 .直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的

7、角的意义, 角.的表示方法具有周期性, 故点M的极坐标(p,a的形 式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.当限定长0,2兀时,除极点外,点 M的极坐标是唯一的.(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角.应注意判断点 M所在的象限(即角.的终边的位置),以便正确地求出角Q长0,2兀)值.考点二极坐标方程的应用例2 (2021福州五校联考)曲线C的极坐标方程为p22皿pcose+j :- 2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.(1)假设直线l过原点,且被曲线 C截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程；(2)假设M是曲线C上的动点,且点 M的直角坐标为

8、(x, y),求x+y的最大值.易错提醒用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示 时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.水平练通抓应用体验的“得与“失1 .考点一、二直线l的极坐标方程为2psin"+4；=/,点 A的极坐标为Ag道,求点A到直线l的距离. .3 .考点二在极坐标系中,直线p(sin 0- cos 0)=a与曲线 2cos 0- 4sin 0相交于 A,B两点,假设|AB| = 243,求实数a的值.4 .考点一、二(2021洛阳统考)圆Oi和圆.2的极坐标方程分别为p= 2, p-22pcos . 4

9、 尸 2.(1)将圆Oi和圆.2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.全国卷5年真题集中演练一一明规律x= acost.1(2021全国乙卷)在直角坐标系xOy中,曲线Ci的参数方程为 f(t为参数,y= 1 + asin ta >0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2： P= 4cos &(1)说明C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0=co,其中00满足tan00=2,假设曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.2. (2021新课标全国卷I )在直角坐标系xOy中,直线Ci：

10、 x=-2,圆C2： (x-1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Ci, C2的极坐标方程；一,.一一、,兀>.一,、.,、, 一 . 一(2)假设直线C3的极坐标万程为 0= 4( pC R),设C2与C3的父点为M , N,求CaMN的面 积.课时达标检测 (2021山西质检)在极坐标系中,曲线 C的方程为 -1+22 0,点R(2>/2,力(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程 化为直角坐标方程, R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点,以 PR为对角线的矩形 PQRS的一

11、边垂直于极轴,求矩形 PQRS周长的最小值,及此时 P点的直角坐标. (2021 南京*II拟)直线 l: pBin.4/= 4 和圆 C： p= 2kcose+；,(kw 0),假设直线 l上的点到圆C上的点的最小距离等于 2.求实数k的值并求圆心 C的直角坐标.6,圆C: x2+y2=4,直线l: x+ y=2.以.为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同 的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；2(2)P是l上的点,射线 OP交圆C于点R,又点Q在OP上,且满足|OQ| |OP|=|OR| , 当点P在l上移动时,求点 Q轨迹的极坐标方程.7 . (2021贵州联考)在

12、一个极坐标系中点C的极坐标为2, 3；(1)求出以C为圆心,半径长为 2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点,Q(5,m),M是线段PQ的中点,当点P在圆C上运 动时,求点 M的轨迹的普通方程.x= 2cos 6,8 .在平面直角坐标系中,曲线Ci的参数方程为?为参数),以原点O为y= sin极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 0=3与曲线C2交于点d,；j(1)求曲线Ci的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)极坐标系中两点 A(m,%),

13、 B P2,团+2 ；,假设A, B都在曲线Ci上,求的值.第二节参数方程本节主要包括2个知识点:1.参数方程；Z参数方程与极坐标方程的综合问题突破点(一)参数方程根底联通抓主干知识的“源与“流1.参数方程般地,在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数:0=坏) 并且对于t的每一个允许值,由方程组 y= g(t >x ft ) 所确定的点 M(x, y)都在这条y= g t曲线上,那么方程对于参数方程而言,3=华 ) 就叫做这条曲线的参数方程, 变数t叫做参变数,简称参数.相 y= gt直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.直线、圆、椭圆的参数方

14、程(1)过点M(x°, y°),倾斜角为 &的直线l的参数方程为iX= xp+ tcos a,y= yg+ tsin(t为参数).(2)圆心在点M0(X0, y0),半径为r的圆的参数方程为x= X0+ rcos 9,|y= y0+ rsin 0(.为参数).x = acos,为参数.ly= bsinI考点贯穿抓高考命题的“形与“神参数方程与普通方程的互化1 .参数方程化为普通方程根本思路是消去参数, 常用的消参方法有： 代入消元法；加减消元法；恒等式(三角的或代数的)消元法；平方后再加减消元法等.其中代入消元法、 加减消元法一般是利用解方程的技巧,三角恒等式消元法

15、常利用公式sin2(3)椭圆$+ 卜1(a>b> 0)的参数方程为时cosj仁1等.2 .普通方程化为参数方程(1)选择参数的一般原那么曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时,可以唯一确定x, y的值；(2)具体步骤第一步,引入参数,但要选定适宜的参数t;第二步,确定参数t与变量x或y的一个关系式x=f(t)(或y= Mt);第三步,把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x, y)=0,求得另一关系 y= g(t)(或x=少,问题得解.例1将以下参数方程化为普通方程.x_lX- t)(1)<,(t为参数)；y=t ,t2-122 .

16、2 八x = 2+ sin 0, (2)f(.为参数).y= 1 + cos 20易错提醒(1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x, y的取值范围,保证消参前后的方程的一致性.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中x, y的取值范围的影响.考点二直线与圆锥曲线的参数方程及应用1 .解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路如下：第一步,把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.2 .当直线经过点P(xo, yo),且直线的倾斜角为“,求直线与圆锥曲线的交点、弦长问x= xo+ tcos a,题时,可以把直线

17、的参数方程设成(,. (t为参数),交点A, B对应的参数分别y= y0+ tsin为t1, t2,计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t1+t2, t1 t2,得到|AB|=|t1- 勾=4«1+ G4t1 t.例2(2021豫南九校联考)在直角坐标系x= 2+ tcos a, y= ,73+ tsin a(t为参数)与曲线C:x= 2cos 0, y= sin 0xOy中,设倾斜角为a的直线l:(.为参数)相交于不同的两点 A, B.假设a=*求线段AB的中点M的坐标; 3(2)假设|PA| |PB|=|OP|2,其中P(2,小),求直线l的斜率.方法技巧1.解

18、决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位 置关系来解决问题.2,对于形如|X-X0+at, t为参数的直线的参数方程,当a2 + b2wl时,应先化为标V= yo+ bt准形式后才能利用 t的几何意义解题.水平练通 3.考点二2021关6州模拟将曲线Ci： x2+y2=1上所有点的横坐标伸长到原来的 田倍纵 坐标不变得到曲线C2, A为Ci与x轴正半轴的交点,直线 l经过点A且倾斜角为30°,记l 与曲线Ci的另一个交点为 B,与曲线C2在第一、三象限白交点分别为 C, D.1写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；2求 |AC|BD|.X= 3+ t

19、COS a, .考点二设直线l的参数方程为It为参数,a为倾斜角,圆C的参y= 4+ tsin ax= 1+ 2cos 0,数万程为 0为参数.y= 1+ 2sin 01假设直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率；2假设直线l与圆C交于两个不同的点,求直线 l的斜率的取值范围.突破点(二)参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起,考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：(1附题时,易将直线与圆白极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的二形式."(2彩用解析法解决实际问题时,要注意选取直角

20、坐标系还是极坐标系,建立极坐标系要'注意极点、极轴位置的选择,注意点和极坐标之间的“一对多关系 :(3那曲线方程,常设曲线上任意一点P(p,昨利用解三角形的知识,列出等量关系式,特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起,解决取值范围或,最值问题.(4港数方程和普通方程表示同一个曲线时,要注意其中x, y的取值范围,即注意两者的等价性.考点贯穿抓高考命题的“形与“神缙点参数方程与极坐标方程的综合问题X= 一 1 + COS a,典例(2021长沙*II拟)在直角坐标系xOy中,曲线Ci的参数方程为1 y= sin a(a为参数),以原点O为极点,X轴正半轴为极轴

21、,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为p(COS.+ ksin 0)=- 2(k 为实数).(1)判断曲线C1与直线l的位置关系,并说明理由；(2)假设曲线C1和直线l相交于A, B两点,且|AB| = >/2,求直线l的斜率.方法技巧处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用p和.的几何意义,直接求解,能到达化繁为简的解题目的.X= 3+ Vl0cos a,1 .曲线C的参数方程为?(a为参数

22、),以直角坐标系原点为极点,y= 1+ 10sinx轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；(2)假设直线的极坐标方程为 sin 0- cos仁:,求直线被曲线C截得的弦长.2 .在极坐标系中,圆 C的方程为p= 2acos 0(aw0),以极点为坐标原点,极轴为 x轴正x= 3t+ 1,半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为(t为参数).y= 4t+ 3(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；(2)假设直线l与圆C恒有公共点,求实数 a的取值范围.1. (2021全国甲卷)在直角坐标系 xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2= 25.(1)以坐

23、标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C的极坐标方程；x = tcos a,_(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A, B两点,|AB| = V10,求y= tsinl的斜率.X=M3C0S a,2. 2021全国丙卷在直角坐标系 xOy中,曲线 Ci的参数方程为"a为j= sin a参数.以坐标原点为极点,以X轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 psin0+ 4 ；= 2V.1写出Ci的普通方程和 C2的直角坐标方程；设点P在Ci上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时 P的直角坐标.X= tcos a,3. 2021新课标全国卷n 在直

24、角坐标系xOy中,曲线Ci： it为参数,tw 0,|y= tsin其中0w a兀在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2： p= 2sin 0, C3： p=2 J3cos 0.1求C2与C3交点的直角坐标；假设Ci与C2相交于点 A, C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.4. 2021新课标全国卷I22曲线C: +1=1,直线I：x=2+t,y= 2-2tt为参数.1写出曲线C的参数方程,直线I的普通方程；2过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线,交I于点A,求|PA|的最大值与最小值.5. (2021新课标全国卷H )在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为

25、极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为 p= 2cos 0, 0(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l: y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数 方程,确定D的坐标.x= 4+ 5cost,6. (2021新课标全国卷I )曲线 Ci的参数方程为5(t为参数),以坐y=5+5sin t标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 p= 2sin 0 .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(p>0,0< 0< 2兀)T复3x= 2 2 t,曲线C2的极坐标方程1. (2021郑

26、州模拟)曲线C1的参数方程为 y=%,为P= 2j2cos.；,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.2.在极坐标系中,三点 O(0,0), A2, 2 B?&, 4,.(1)求经过点O, A, B的圆Ci的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2的参数方程为x= 1 + acos 0,?(.是参数),假设圆Ci与圆C2外切,求实数a的值.y= 1 + asin 0x= 2cos 0,3. (2021太原*II拟)在平面直角坐标系 xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立=sin 0.的极坐标系中,直线l的极坐标方程为 9=4(pC R),曲线C的参数方程为(1)写出直线