均值不等式和柯西不等式专项训练

1、均值不等式应用.均值不等式常用类型1. 1假设 a,b R ,那么 a2b22ab2假设 a,b R,那么 ab22b (当且仅当a b时取“=)2.1假设 a,bR*,那么 a_ Vb2 假设 a,b R*,那么 a b 2疝当且仅当 a b 时取“=223假设a,bR*,那么ab 史上 当且仅当a b时取“=213.右x 0 ,那么x 2 当且仅当x 1时取« ="； x1假设x0,那么x2 当且仅当x1时取 =x假设x0,那么x12即x 1 2或x 1-2 当且仅当a b时取“=xxx3 .假设ab 0,那么亘b b a2 (当且仅当a假设ab 0,那么a b 2即a

2、 - b a b a.2.24 .假设 a,b R,那么 ?2 a_b_ 22a b .2或一一-2 (当且仅当a b a(当且仅当a b时取“=)b时取“=)注：(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求 它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大(2)求最值的条件“一正,二定,三相等(3)均值定理可以用来求最值、比较大小、求变量的取值范围、证实不等式、解决实际问题.二.应用(一)求最值1 .直接应用21 一例.求函数y= 3x +歹的值域.2 .应用技巧一：凑项5例.x -,求函数v 4x 2 的最大值.4y4x 53 .应用技巧二：凑系数例

3、.当口 犬C 4时,求y x(8 2x)的最大值.4 .技巧三： 别离例.求y , 7x 10(x 1)的值域.x 15 .技巧四：亦可使用换元6 .技巧五：注意：在应用最值定理求最值时,假设遇等号取不到的情况,应结合函数a , f x x -的x单调性.例：求函数 yx2 47.条件求最值(1) .假设实数满足a b 2,那么3a 3b的最小值是.11(2) .假设log 4 x log4 y 2 ,求一 一的最小值.并求x,y的值x y(3) . a>0, b>0, ab(a+b) = 1,求 a+b 的最小值.(4) .x, y为正实数,3x + 2y=10,求函数 W= 声

4、2y的最值.(二)利用均值不等式证实不等式2221 .a,b,c为两两不相等的实数,求证： a b c ab bc ca2 .正数 a, b, c 满足 a+ b+c=1,求证：(1 - a)(1 - b)(1 -c) > 8abc(三)均值不等式与恒成立问题19例：x 0, y 0且一 一 1,求使不等式x y m恒成立白实数 m的取值范围.x y(四)均值定理在比较大小中的应用：1 a b、例：假设 a b 1, P qlga lgb,Q -(lg a lg b), R lg(),那么 P,Q,R 的大 小关系2 2是_三.课后检测,一,1 一1 .求函数y = x+-的值域. x2

5、 .设0 x 3 ,求函数y 4x(3 2x)的最大值.23 .0 x 1,求函数y 7x(1 x)的最大值. 194 .x 0, y 0,且一 一1,求x y的最小值. x y5 .假设x, y R且2x y 1,工工的最小值 x y6 .a,b, x, y R且刍b 1, x y的最小值x y27 .x, y为正实数,且x 2 + y2 =1,求x5 + y 2的最大值.1 ,一8 .a, b为正头数,2b+ab+a=30,求函数y= 的取小值. ab1119 . a、b、c R ,且 a b c 1.求证：1 一 1 一 18abc10 .求函数y 2x1 芯2"x( x 5)

6、的最大值.22柯西不等式、二维形式的柯西不等式(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(a,b,c,d R,当且仅当 ad bc时,等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1)va2 b2 vc2 d2 ac bd (a, b, c, d R ,当且仅当 ad bc时,等号成立.)(2)Va2 b2 Jc2 d2 ac bd (a,b, c, d R,当且仅当 ad bc时,等号成立.)(a b)(c d) (Vac 新d)2(a,b,c,d 0 ,当且仅当ad bc时,等号成立.)三、二维形式的柯西不等式的向量形式一 .(当且仅当一是零向量,或存在实数k,使-k一时,等号成立.)借

7、用一句革命口号说：有条件要用；没有条件,创造条件也要用.比方说吧,对aA2 + bA2 + cA2 ,并不是不等式的形状,但变成 (1/3) * (1A2 + 1A2 + 1A2) * (aA2 + bA2 + cA2) 就可以用柯西不等式了.根本方法(1)巧拆常数:例1：设a、b、c为正数且各不相等.求证:22abb(2)重新安排某些项的次序:例2： a、b为非负数,a + b=1, x,x2R求证:(ax1 bx2)(bxax2) X1X2(3)改变结构:例 3、假设 a > b > c求证:(4)添项:例 4： a,b,c R求证:检测题【1】、设a ( 2,1,2), bb

8、之最小值为；此时b【2】 设 a (1,0,2), b (x, y, z),假设 x2 y2 z2 16,那么 a b 的最大值为 4 9 36【3】设a、b、c为正数,求(a b c)(一 )的取小值4.设x, y, z R,且满足x2 y2 z2 5,那么x 2y 3z之最大值为 【5】、设x,2y, z R, x【6】、设x,y, z R, 2x y2z 25 ,试求x22z 6 ,试求x【7】设a,b, c均为正数且【8】、设a, b, c均为正数,且a2b4c 9,那么一a3c 2,那么【9】、设x, y, z生最小值时,R,假设(x1)2 (y2)22y2y9b2 b2z的最大值与

9、最小值.z2之最小值.之最小值为c3之最小值为c【10】ABC度?2y,此时a2z之范围为何又3x y 2z发3x设三边长为【11】.设(x之三边长x, y, z满足2y + z = 0 及 3x + y2z = 0 ,那么 ABC之最大角是多少2z 0x： y： z =z = 7k那么最大角度之cos_(3k)222(5k)(7k)2(3k)(5k)x, y,16(y 2)25(z43)21,求x y z之最大值,最小值.1)216(y 2)2(z 3)21由柯西不等式知42 ( - 5 )2)22 (-3)2)2.25(x2)25 |x yz 2|z之最大值为7,最小值为12.求 2sinJ3 cossin cos cos的最大值与最小值.答.最大值为2石,最小值为2?2【详解】 令向量 a (2sin , <3 cos ,