第二讲 一阶微分方程初等积分法(之一)

1、第二章第二章 一阶微分方程的初等积分法一阶微分方程的初等积分法Integrated Method of First Order ODE 初等积分法初等积分法/Integrated Method/：通过积分求解常通过积分求解常微分方程的一种方法，其特点是微分方程的解可微分方程的一种方法，其特点是微分方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式来表示。用初等函数以及初等函数的积分形式来表示。),(yxfy 0),( yyxF方程类型方程类型/Classifications/：Ch.2 Integrated Method of First Order ODE本章内容本章内容/Main Contents

2、/2.1 2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换2.2 2.2 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法 2.3 2.3 恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子 2.4 2.4 一阶隐式方程与参数表示一阶隐式方程与参数表示 2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换 Separable 1st-Order ODE & Transform 1 变量分离方程变量分离方程/Variables Separated ODE/2 可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型/Classifications of Variable Separated Equation/本节

3、要求本节要求/Requirements/1 熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。 2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求更广泛类型方程的解。 变量分离方程 与变量变换 特点变量分离方程解法举例齐次方程可化为变量分离的类型可化为齐次方程的类型内容提要内容提要/Main Contents/1 变量分离方程变量分离方程/Variables Separated ODE/Variables Separated ODE/( ) ( ) (2.1)dyf xydx)(),(yxf分别是 x 与 y 的已知连续函数。其中 特点特点),(yxfdxdy中的 f ( x, y )可表示

4、成)()(),(yxfyxf一般的一阶方程 yxdxdy例例kRR 解法步骤解法步骤 /Solving Steps/Solving Steps/如果0)(y(1)(1) 分离变量 dxxfydy)()(2)(2) 两边积分 dxxfydy)()(2.2)用G(y)，F(x)分别表示)()(1xfy及的某一个原函数(3)(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C因为将 y 视为 x 的函数，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，)()(1xfdxdyy)()(yxfdxdy所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。如果存在iy直接验证得: ，使得kiyi, 2 , 1 , 0)( i

5、yy 为方程(2.1)的常数解。 分离变量方程（2.1）的解为kiyyCxFyGi, 2 , 1 ,)()(解解 1 分离变量 xdxydy2 两边积分xdxydy22222cxy3 yxdxdy例例1 1 求解方程01)(yycyx22（c 为任意正常数）或者2xcy求通解解解0y时(1) 分离变量xdxydycos2通解中，因而方程还有解 y = 0cxdxydycos2cxysin1（3） 求解方程 xydxdycos2并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解。例例2 2 cxysin1（c为任意常数） 为方程的通解。注意注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在(

6、2) 两边积分求特解 将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1则满足所给条件的特解为:1sin1xy所以，原方程的解为0sin1ycxy (1) (1) 齐次方程齐次方程/Homogeneous Equation/Homogeneous Equation/ (2) (2) 可化为齐次方程的方程类型可化为齐次方程的方程类型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/ (3) (3) 其他类型其他类型 /others/others/2 2 可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型/Classific

7、ations of Variable Separated Equation/Classifications of Variable Separated Equation/(1) (1) 齐次方程齐次方程/Homogeneous Equation/Homogeneous Equation/形式形式：)(xygdxdy g (u)为 u 的连续函数一般方程的右端函数 f (x,y) 是x，y 的零次齐次式。即 )(),(xygyxf0 ),()()(),(0kyxfxygkkxkygkgkxf 或 f (x,y) 可表示成以为整体变量的函数。xy特点特点：解法解法 (1) 作变量变换 uxy 即

8、y=ux（2）对两边关于 x 求导udxduxdxdy（3）将上式代入原方程，得)(ugudxdux整理 )(1uugxdxdu.(2.3) 变量可分离方程变量可分离方程（4）求解方程(2.3),若其解为:0),( ),(cxucxu或(5) 原方程的通解为: 0),(),(cxxycxxy或udxduxdxdyuuudxduxtanxudxdutan.(2.4)xdxudutandxxuud1sinsincxulnsinlnc( 为任意常数)例例3 3 求解方程xyxydxdytan解解令uxyxyu或,cxulnsinlnc( 为任意常数)xeucsinxeucsin 令 cec 得: S

9、inu = cx （c 为非零任意数）另当 tanu = 0 时，u = 0即 u = 0 也是方程(2.4)的解故 （2.4）的通解为 sinu= cx（c 为任意常数）代回原来的变量，原方程的通解为:cxxysinxudxdutan 可化为齐次方程的类型可化为齐次方程的类型 /Classifications of /Classifications of Homogenous/Homogenous/形式：222111cybxacybxadxdy(2.5) 2 , 1,icbaiii均为常数，且21,cc不同时为零. 1.若02211baba 即2121bbaa设 kbbaa21212121,

10、kbbkaa则原方程可化为:)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdy令ybxau22dxdybadxdu22)(22ufbadxdu（变量分离方程，即可求解） 2.若02121bbaa则00222111cybxacybxa .(2.6)有唯一的解:),(令yYxX)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdyYyXx 或则方程 (2.5) 化为：dXdY为齐次方程, 即可求解。)(2211XYgYbXaYbXadXdYdxdy222111)()()()(cYbXacYbXa)()(2222211111cbaYbXacbaYbXa(1) 解代数方程组 0

11、0222111cybxacybxa.(2.6)其解为:yx,(2) 作变换 YyXx,将方程(2.5)化为齐次方程YbXaYbXadXdY2211(3) 再作变换XYU 将其化为变量分离方程特别地，当时，方程(2.5)的求解方法02121bbaa(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。类似的方法，可求解更广泛的方程 P.37)(222111cybxacybxafdxdy例例4 4 求解方程31yxyxdxdy.(2.17)解解 解方程组0301yxyx得 x = 1, y = 2 令21YyXxYXYXdXdY.(2.18)再令 uXYXYu即YXYXdXdY.(2.18)即(2.18)可化为:duuuuXdX2211两边积分，得:cuuX12lnln22因此ceuuX22) 12(udXduXdXdY uuudXduX11 uuuuuuudXduX1)1 (111 )21 ()21 (2122uuduu记1cec并代回原变量，得:122) 12(cuuX并代回原变量，得:1222cXXYY122) 1()2)(1(2)2(cxyxy此外，容易验证:0122 uu即0222XXYY也是方程(2.18)的解。cxyxxyy26222 其中 c 为任意常数。 因此原方程(2.17)的通