双因素试验的方差分析

1、第二节双因素试验的方差分析进行某一项试验,当影响指标的因素不是一个而是多个时,要分析各因素的作用是否显著,就要用到多因素的方差分析 .本节就两个因素的方差分析作一简介 .当有两个因素时,除 每个因素的影响之外,还有这两个因素的搭配问题 .如表9-7中的两组试验结果,都有两个表 9-7(a)因素A和B,每个因素取两个水平表 9-7(b)A、AiA2Bi3050B2i0080表9-7 a中,无论B在什么水平Bi还是B2,水平A2下的结果总比 A下的高20; 同样地,无论 A是什么水平,B2下的结果总比Bi下的高40.这说明A和B单独地各自影响 结果,互相之间没有作用.表9-7b中,当B为Bi时,A

2、2下的结果比Ai的高,而且当B为B2时,A1下的结果比 A2的高；类似地,当 A为Ai时,B2下的结果比Bi的高70,而A为A2时,B2下的结果比 B1的高30.这说明A的作用与B所取的水平有关,而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响,而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用,记作A X B.在双因素试验的方差分析中,我们不仅要检验水平 A和B的作用,还要检验它们的交互作用.1 .双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A, B作用于试验的指标, 因素A有r个水平Ai,A2,Ar,因素B有s个水 平Bi,B2,Bs,现对因素A, B的水平的每对组合

3、Ai,Bj,i=i,2,r； j=i,2,s都作tt>2次试 验称为等重复试验,得到如表9-8的结果：表9-8因BiB2Bs,素AiXiii, Xii2,XiitXi2i ,Xi22,Xi2tXisi, Xis2,XistA2X2ii, X2i2 ,X2itX22i ,X222,X22tX2si, X2s2,X2stArXrii, Xri2,XritXr2i, Xr22 ,Xr2tXrsi, Xrs2 ,Xrst设 XjkN口,b2, i=i,2,r； j=i,2,s；k=i,2,t,各 xijk独立.这里科 ij, b2均为未知参数.或写为Xijk = : 小,j =i,2,r; j

4、=i,2,s, 2(9.i6),嘛 N(0,.),k=i,2,t,#时相互独立.i=1,2,-,r,1 r s Lij,rs i 4 j j1 r一 二一' ' ,j=1,2,- -,s,r i 4%=出.一也,i=1,2, - r, Bj=N. -N,j=1,2, §于是W ij =+ a i+ 3 j + 丫 ij.(9-17)称科为总平均,a i为水平Ai的效应,3 j为水平Bj的效应,丫 j为水平Ai和水平Bj的交互 效应,这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的.易知Z %=0,工 3 =0,i 4j 二rZ Zj =0, j=1,2,s,1 1s'

5、、：ij =0, i=1,2,r,j 1这样(9. 16)式可写成xijk = N + a i + P j + 4 + &ijk , rsrsZ % =0, Z Pj 0, Z % = 0, Z ,I = 0,ijm坦j 工(9.18)2 一一一标N(0尸),1 =1,2,r; j =1,2,s;k=1,2,t,各qjk相互独立.其中W,ai,3j,Yij及b2都为未知参数.(9. 18)式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素 A, B及交互作用AXB是否显著.要检验以下3个假设：j Hoi ：% =% =% =0,Hii :%,%,=%不全为零.'H

6、o2 : A =P2 d =Ps =Q尸12书,鼠=Bs不全为零.H03 : *1 = y 12 ='s =0,用1371了12,=%不全为零.记类似于单因素情况,对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的Xj.= 1£xjjk,i=1,2,r； j=1,2,s,t k 41stxi'xijk ,仁1,2,r,st j 1 k 4_1r JX<j = 1 "' Xijk ,rt i 4 k Jj=1,2,s,r s t 2St=Z Z Z (& -x).i =1 j 4 k=1不难3证X, X蝙X. Xj 分别是,i -,j,ij的无

7、偏估计.由Xijk-1=(XijF%)ij <X-X -( X.j-X_(XTij-X.i- X.,j)x1< i< r,1< j< s,1< k< t 得平方和的分解式：St=Se+Sa+SB+Sxxb,(9.19)其中r s tSe=£££ (乂派一招.2,i 1 j T k =1rSA=stZ (Xq X)2 , i 1sSB=rtZ (X. X)2, jTr sSaX B= t 乙(%Xi g X <j * x)i W j =1SE称为误差平方和,Sa, Sb分别称为因素 效应平方和.A, B的效应平方和,S

8、AX B称为A, B交互当 H01： 口 1= " 2= - = a r=0 为真时,一 SaSea (r -1)Lrs(t -1)1F(r-1,rs(t-1);当假设H02为真时,Fb=SbSe(s-1) rs(t -1)iF(s-1,rs(t-1);当假设H 03为真时,SabSeFaxb=A -rEi F(r-1)(s-1),rs(t-1).(r -1)(s-1)l.rs(t -1)1当给定显著性水平a后,假设H01, Ho2, H03的拒绝域分别为：FA-F.(r-1,rs(t-1);Fb - F.(s -1,rs(t -1);(9.20)Fab -F.(r - 1)(s-1

9、),rs(t -1).经过上面的分析和计算,可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9方差来源平方和自由度均方和f比因素ASar-1-Sa =-1FSaFa=Se因素BSbs-1s-1OQ I UJIS ISIIOQLL交互作用Sax b(r-1)(s-1)QSaxb1-1)lSAxBFax b=Se误差Sers(t-1)Se=4rs(t -1)总和Strst-1在实际中,与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算St, Sa, Sb, Sab,Se.r s t,己 T = X X XXjk ?i 1 j J kJ tTij = Z xjk , i=1,2,r; j=1,2,s, k 1

10、s tTi =£ £ Xjk , i=1,2,r, j =1 k 3r tT j =Z Z xjk , j=1,2,s, i W k £即有(9.21), =178.44, rstc 1 12SA=- T蜻st idy =15.44,r s t22 I _ St匚匚匚Xijk2 -: i 4 j 4 k_1rst 1 r 2 T 2sa=/ t；t, st i 4rst& =-i TUrt j 3rst1 r s 2 T 2SA>B =-£ 工 Tij S SA SB , t i4 j4 rstI SE = ST - SA - SB _ S

11、a B.例9. 5用不同的生产方法不同的硫化时间和不同的加速剂制造的硬橡胶的抗牵拉 强度以kg cm-2为单位的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间A,加速剂B以及它们的交互作用AXB对抗牵拉强度有无显著影响.表 9-10140 c下硫化 时间秒加速剂甲乙丙4039, 3641, 3540, 306043, 3742, 3943, 368037, 4139, 4036, 38解按题意,需检验假设H01 ,H02,H03.r=s=3, t=2, T.,Tij,TiT.j.的计算如表 9-11.加速剂Tij .硫化时间甲乙丙Ti40758078233607681792

12、3680707974223Tj221240231692表 9-112r s tST= - - -xijki 1 j m k TSb=1Z T.：=30.11,rt jd rst1/ . s 丁 2T:- cSAX B= 一乙乙 Tj.- SA - SB =2.89,t i t j f rstSe=St-Sa-Sb-Saxb=130,得方差分析表9-12.表 9-12方差来源平方和自由度均方和F比因素A 硫化时间15.4427.72因素B 加速剂30.11215.56Fa=0.53交互作用AXB2.8940.7225Fb=1.04误差130914.44Faxb=0.05总和178.44由于 F0

13、.i02,9=3.01>Fa,F0.i02,9>Fb,F0.i04,9=2.69>Faxb,因而接受假设 H0i,H02,H03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中,如果对每一对水平的组合Ai,Bj只做一次试验,即不重复试验,所得结果如表9-13.表 9-13因素A因素BB1B2BsA1X11X12X1sA2X21X22X2sArXr1Xr2Xrs这时可£Xijk,SE=0,SE的自由度为0,故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析但是,如果我们认为 A, B两因素无交互作用,或交互

14、作用对试验指标影响很小,那么可将SAX B取作Se,仍可利用等重复的双因素试验对因素A, B进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由9. 18式,x =1+% + Pj +1 rs9.22E % =0,£ % =0,'id：j=1岛 N0,Q2,i =1,2,111,r;j =1,2,川,s,各,相互独立.要检验的假设有以下两个:'H01：%=豆2=一 二口r=0,但11：%,%I=%不全为零.% ： 3 =3 =£ =0,H 12"凡,=久不全为零.1?1 /xij , xi - Xij , X . xij ,平方和分解公式为:

15、St=Sa+Sb+Se ,(9.23)r ss其中St='、v(%-又)2,Sa=s-(xit-x)2,i 4 j 4j 4sr sSb (X. -X)2,Se - '、(Xj -Xi,-XX)2,j 1i 4 j 4分别为总平方和、因素A, B的效应平方和和误差平方和 .取显著性水平为a,当H01成立时,(s-1)SaFa=A F(r-1),(r-1)(s-1),SeH01拒绝域为Fa> F“(r-1),(r-1)(s-1).(9.24)当H02成立时,FB=(1SBSe-F(s-1),(r-1)(s-1),H02拒绝域为(s-1),(r-1)(s-1).(9.25)Fb>F得方差分析表9-14.表 9-14方差来源平方和自由度均方和f比因素A 因素B 误差Sa sbSer-1s-1(r-1)(s-1)Sa Sa=- r -1q SbSb=s-1SeSe=E(r-1)(s-1)Fa= Sa/ SeFb= Sb/Se总和Strs-1例9. 6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值单位：kg m cm-1,表9-15列出了试验的数据冲击值,问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著a =0.01表 9-15铜含量冲击值试验温度0.2%0.4%0.8%20 c10.611.614.50C7.011