几种常见的放缩法证明不等式的方法_第1页
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1、几种常见的放缩法证实不等式的方法一、放缩后转化为等比数列.例 1. bj 满足：加芝1,屏书=bn2 (n2)bn+3(1)用娄攵学归纳法证实：bn n(2)Tn11= +11, 一+ +,求证：Tn ： 13 b1 3 b23b33bn2解：(1)略bn.1 3=bn(bn -n) 2(如 3)又.bn _ n*bn+ +3 M2(bn +3) , n = N迭乘得：bn 2nd(b! 3) _2n1点评：把握“ bn +3这一特征对“ bn* =bn2 (n 2)bn +3进行变形,然后去掉一个正项,这是不等式证实放缩的常用手法.这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法, 似乎是不可能的,为什

2、么值得体味！二、放缩后裂项迭加1例2.数列an, an =(1) ,其刖n项和为Sn2求证：s2n :2解:111%=1一2 3一41 一 12n1 2n12n(2n -1)bn的前n项和为Tn1111芝2时,bn苴1=(_)2n(2n-2) 4 n-1 n点评：此题是放缩后迭加.放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手法.值得注意的是假设从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始放大, 命题才得证,这就需要尝试和创新的精神.b例3.函数f (x) =ax+b+c(a?0)的图象在(1,f(1)处的切线方程为x(1)用a表示出b,c2假设fxzlnx在1,e上恒成立,求

3、a的取值范围 Illn(3)证实：1：_：.,一 in(n 1) + 2 3 n2(n 1)解：(1) (2)略(3)由(II )知：当 a> 一时,有 f (x) Z in x(x Z1)2,1 ,11、令 a = ,有f (x) = (x -一)芝 in x(x X).22 x且当1 1、.x 1时,(x ) in x.2 xk 1 ±. 11 k -1 k 111=,有 in <-=_(1+)_(1_), kk 2 k k 12 k k 1s111、即 ln( k 1) - in k ： (,), k = 1,2,3, , n2 k k 1将上述n个不等式依次相加得整理得点评：此题是2021湖北高考理科第21题.近年,以函数为背景建立一个不等关系, 然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证实不等式,这是一种趋势,应特 别关注.当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论.三、放缩后迭乘例4.ai1-*= 1,ani =佑(1 4an 1 24an)(n N ).求 a2,a3(2)令bn= w+24an,求数列bn的通项公式(3)一、-,1f (n) =6为书3为,求证：f (1)f (2) f (3). f (n) >-2解：1(2)略由2得an点评：裂项迭加, 诺骨牌效应.只是求2 1

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