高三数学试卷2

1、数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 若将复数（1i）（1+2i）2表示为pqi（p，qR，i是虚数单位）的形式，则pq ，所以2已知集合R，则 解：因为，所以有.3已知，则 34在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是 解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是.4已知函数的最小正周期为. 为了得到函数的图象，只要将函数的图象向左平移个单位长度，则 .5阅读下列算法语句:Read S1For I from 1 to 5 step 2 S

2、SIEnd for Print SEnd则运行后输出的结果是 106已知向量，则的最大值为 67若，则p是q的 （填“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”）必要而不充分条件7给出下列四结论：命题“若，则x=2”的逆命题是“若，则”；命题“”的否定是“”；若命题“p或q”是假命题，则p和q都是假命题；“x>2”是“”的充分不必要条件.其中正确结论的序号是 .8已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则ABC一定为 三角形等腰三角形解：因为，所以已知条件可改写为.容易得到此三角形为等腰三角形. 9在ABC中，分别表示它的斜边长，内切圆

3、半径和面积，则的取值范围是 10设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是 解： 根据题意，设两个相异的实根为，且，则，.于是有 ，也即有.故有，即取值范围为.11已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 解：由已知条件可知，函数图象与轴交点的纵坐标为.令，则. 12设是定义在R上的奇函数，且满足；又当时，则 （Z）解：依题意，即是以为周期的周期函数.因为当时，且为奇函数，所以当时，.此时有.可得.又因为是以为周期的周期函数，所以也有，（）.13设集合，其中是五个不同的正整数，若中所有元素的和为，则满足条件的集合的个数为 .解：因为，所以.由

4、于中有，因此中有.若，则，于是，无正整数解.若，由于，所以，于是. 又因为，当时，；当时，因此满足条件的共有个，分别为.14设函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为 （0，1设O点在内部，且有，则的面积与 的面积的比为 3二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）设函数的定义域为A，函数的定义域为B. 若，求a的取值范围.【解】不等式.所以A. 3分因为，所以，即a<1且a0.于是，所以，即.7分因为，所以，9分所以有，即. 12分 又a<1且a0，故a的取值范围是. 14分16（本题满分14分）PA

5、CB如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知，设，均为锐角（1）求； （2）求的值解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以所以，2分，所以，4分， 6分，又，所以8分（2）11分14分17（本小题满分14分）如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路已知AB120 km，BAC75°，ABC45°有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时

6、开出（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换；（3）求10点时甲、乙两车的距离（参考数据：，）（1）在ABC中，ACB60°，2分4分（2）甲车从车站A开到车站C约用时间为（小时）60（分钟），即9点到C站，至9点零10分开出 6分乙车从车站B开到车站C约用时间为（小时）66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出 8分则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上9分（3）10点时甲车离开C站的距离为，乙车离开C站的距离为， 12分两车的距离等于14分18（本小题满分16分）已

7、知函数,当R时,恒有，t为常数，.(1)当时，分别求的值；(2)这个函数能否为二次函数?证明你的结论.(3)确定t的值，使这个函数为奇函数.解: (1)令得； f(0)=2, 1分；3分，.5分(2) 假设可以是二次函数，由的任意性，故这个函数不能为二次函数.10分（3）如果这个函数为奇函数，则有f(0)=0, 令得t=0,下面证明t=0时，函数为奇函数：令m=x,n=-x,则，又函数的定义域为R，所以当t=0时，函数为奇函数.16分19.（本题满分16分）已知函数()是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a

8、的取值范围【解】(1)因为为偶函数，所以，即 对于恒成立.于是恒成立,而x不恒为零，所以. 4分(2)由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为任取、R，且，则，从而.于是，即，所以在上是单调减函数.因为，所以.所以b的取值范围是 10分 (3)由题意知方程有且只有一个实数根令，则关于t的方程(记为(*)有且只有一个正根.若a=1，则，不合, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或3；但，不合，舍去；而；方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是 16分20.（本题满分16分）已知函数. （1）写出函数y=f(x)的单调区间，并利用定义证明y=f(x)在其中一

9、个区间上的单调性；（2）设，且f(m)= f(n)，求证：16mn>1；（3）是否存在实数a，b(0<a<b)，使得函数y=f(x)在a，b上的值域也是a，b？请说明理由. 【解】（1）函数y=f(x)的单调减区间是，单调增区间是. 2分现证明函数y=f(x)的单调增区间是:设，则. 因为，所以，于是，即，亦即函数y=f(x)在上是单调增函数. 5分【证】（2）由f(m)= f(n)得，于是或，解得m=n或因为，所以， 7分从而，变形得（当且仅当m=n时取“=”号）.由得16mn>1. 9分【解】（3）假设存在满足条件的a，b. 当时，f(x)在a，b上是减函数，且f(

10、x)=，要使f(x)的值域是a，b，必须 即 11分可得或，均不成立；当时，f(x)在上是减函数，在上是增函数，要使f(x)的值域是a，b，必须，不成立； 13分当时，f(x)在a，b上是增函数，且f(x)=，要使f(x)的值域是a，b，必须 即 解得. 15分故存在满足题设要求. 16分 数学（附加题）21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B（选修42：矩阵与变换）二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点，求矩阵M【解】设M=，则由=8得=，即a+b=

11、c+d=82分由=，得，从而a+2b=2，c+2d=4 5分由a+b =8及a+2b=2，解得a=6，b=2； 由c+d =8及c+2d=4，解得c=4，b=4. 所以M=. 10分C（选修44：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，且两种坐标系长度单位一致. 已知直线l的极坐标方程为，圆C在直角坐标系中的参数方程为（为参数），求直线l与圆C的公共点的个数. 【解】将方程化为直角坐标方程：. 3分参数方程化为普通方程：. 6分圆心（1，0）到直线l的距离，而圆半径为1， 所以直线l与圆C相切，即它们的公共点个数为1. 10分22（本小题满分10分）学校

12、足球队进行罚点球训练，队员在一轮训练中最多可罚4次，并规定，一旦命中该队员即停止此轮练习，否则一直罚到第4次为止. 已知一选手罚点球的命中率为0.8，求一轮练习中，该选手的实际罚球次数X的分布列，并求X的数学期望. 【解】X的可能取值为1，2，3，4. X=1，表示第一次就罚中，故P（X=1）= 0.8；X=2，表示第一次未罚中，第二次罚中，故P（X=2）= ；X=3，表示前两次未罚中，第三次罚中，故P（X=3）=；X=4，表示前三次未罚中，第四次任意，故P（X=4）=. 所以X的分布是：X1234P0.80.160.0320.008 8分X的数学期望. 10分23（本小题满分10分）设无穷等差数列an的首项为4，公差为d（）. m为数列an的项. （1）求证：当d=3时，的展开式中不含常数项；（2）求d的值的集合，使得对于一切m，的展开式中均不含常数项. 【证明】（1）因为an是首项为4，公差为3的等差数列，所以an=3n+1. 2分假设的展开式中的第r+1项为常数项（），于是