二次函数中寻找等腰三角形问题

1、二次函数中寻找等腰三角形问题1.如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABC曲边AB在x轴上，且AB=3BC=273,直线y=/3x_2掷经过点C,交y轴于点G,且/AGO=30。点CD的坐标(2)求顶点在直线y=3x_273上且经过点CD的抛物线的解析式;(3)将(2)中的抛物线沿直线y=；3x/6平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。X精选范本3.已知两直线11,12分别经过点A(1,0),点B(3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有1ill2,经过点ABC的抛

2、物线的对称轴与直线12交于点K,如图所示.(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；(2)抛物线的对称轴被直线li、抛物线、直线12和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；(3)当直线12绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M请找出使MCf/等腰三角形的点M,简述理由，并写出点M的坐标：4.如图，已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；(3)当m

3、>0时，探索是否存在点P,使得PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(14,0)和C(0,8),对称轴为x=4.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在线段AB上且AD=AC若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的结论下，直线x=1上是否存在点“使MPM等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由.6.

4、在平面直角坐标系中，二次函数2y=ax+bx+2的图象与x轴父于A(3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)在平面直角坐标系中，是否存在点Q使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由;(备用图)7.如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD勺顶点A,D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F,AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点

5、。(1)求此抛物线的解析式.(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R,求证：PF=PR是否存在点P,使彳PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S,试判断RSF的形状.8.在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A(1,0).备用图(1)请直接写出点B、C的坐标：B(,)、C(,);并求经过A、BC三点的抛物线解析式；(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中/EDF=90,/DEF=60),把顶点E放在线段AB上(点

6、E是不与A、B两点重合的动点)，并使ED所在直线经过点C.此时，EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M设AE=x,当x为何值时，OC曰AOBC在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使4PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.9.如图1,在RtAOB中，/AOB=90,AO=8<3,/ABO=30.动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒2J3个单位的速度运动，设运动时间为t秒.在直线OB上取两点MN作等边PMN(1)求当等边PMN勺顶点M运动到与点O重合时t的值.(2)求等边PMN勺边长(用t的代数式表示)；(3)如果取OB的中点D,以OD为边在R

7、tAOB内部作如图2所示的矩形ODCE点C在线段AB上.设等边PMN矩形ODCEt叠部分的面积为S,请求出当0WtW2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值.(4)在(3)中，设PN与EC的交点为R,是否存在点R,使ODR等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.图2"1C10.如图，已知抛物线y='x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于AB,点A的2坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点E作DE!x轴于点D,连结DC当DCE的面积最大时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在一点巳使A

8、CW以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1.【解析】(1)根据题意可得点C的纵坐标为3,代入直线解析式可得出点C的横坐标，继而也可得出点D的坐标；(2, 2 ),设出顶点式，代入点(2)由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为由抛物线的顶点在直线”收L2石，可得出顶点坐标为坐标即可得出答案.(3)分EF=EGGF=EGGF=EF三种情况分析。GF=EF精选范本3.解：由勾股定理，得(OC+OB)+(OC+OA)=BC2+AC2=AB,又OB=3OA=1,AB=4,."二、5'.点C的坐标是由题意可设抛物线的函数

9、解析式为y=a(x-1)(x+3),把C(0,门)代入函数解析式得所以，抛物线的函数解析式为y = * y Cx *1) <x + 3?(2)截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF理由如下，可求得直线1的解析式为y=-x3x+v3*直线L的解析式为y=/工+、月，抛物线的对称轴为直线工二1,由此可求得点K的坐标为<-1，点D的坐标为C-b早，点E的坐标为(-L里卜点F的坐标为(7,0),一 KD=DE二手五兵竽二 KD=DE=EF. #(-2,信，(-1,亨)(3)当点M的坐标分别为时，MCK为等腰三角形.(i )连接BK,交抛物线于点 G,易知点G的坐标为(-2,汽又点C的坐标

10、为(0, 7口),则GC/ AB, 可求得 AB=BK=4且/ ABK=60 , SPA ABK为正三角形, . CG©/正三角形当12与抛物线交于点 G,即12/AB时，符合题意，此时点M的坐标为(-2月(ii )连接 CD 由 KD= 3 , CK=CG=2 / CKD=30 ,易知 KDE等腰三角形, 当12过抛物线顶点D时，符合题意，此时点 (iii )当点M在抛物线对称轴右边时，只有点 但点A、G K在同一直线上，不能构成三角形，4/5M坐标为(-1,3 ),M与点A重合时，满足 CM=CK综上所述，当点4. (1)设 y=ax"八 (一2, J3),M的坐标分力

11、1J为(x-4),把A点坐标(3, 3)函数的解析式为(2) 0V nK 3,(- 1, %、3 )E "时， MC。等腰三角形.代入得：a= - 1,y= - x2+4x, 2PC=PD- CD=- m+3m,=-4分6分1<0,开口向下，有最大值,当D（2,0）时，PCna=8,8分2ra（3）P的坐标是（3-血，1+2&）或（3+近，1-272）或（5,-5）或（4,0）.12分（3）简单解答过程如下：当0Vm<3时，仅有OC=PC-:+乡在后皿解得田3-加，.P（3-&，1+2加）；_当m>3时，PC=CDPD=m3mOCVSlT,由勾股定理

12、得：0向=0&口曰=吊+吊（m-4）2,当OC=PC寸，.”解得：/-：，.P(3+«,1-2的)；当0c=。时，；：一，解得：m=5,n2=3(舍去)， .P(5,-5);当PC=O用寸,m(m3)2=n2+n2(m4)2,解得：m=4 P(4,0),_存在P的坐标是(3-a/2,1+2&)或(3+J,1-2/2)或(5,-5)或(4,0).5. (1)（2）存在，理由如下:'/CDSETPQ).ZPDC=ZQDCfAD=AC,.ZADC=ZACDfZgSC-=Z4CT,ACODg,在EtAAOC中，ACAO+CO=10,ad=io.又ao=&JOD

13、=4,A，D在对称轴上，根据对称性可知仙二BD,又？电，。为BC的中点:二二8C.上在肘bOC中，EC=+0B=2局，,侬=辰,"，Q为AB,时的中点，区=；水5.rZDPQ=ZDQPtPD=DQ=5tAP=AD-PD=5./.t=-=5,:尸平二与(3)设河。j)，FM=皿+1)+Ui。)h&+4©M=优+0+4)=力+即+52产0=M10当PQ寸M时，第=曲百，/.jj=±2fi9i，MQ2M),M-2迎)*2°当PQ=QM时，4/5=+即+52*.二=7±2旧，M(b4+26),也Y-26)3°当PM=QM时，j=Y，J

14、M.Q,-6评M(L2M，W(L-2M一M(L-4+2姬1),弧3-2犹1).M(!,-6卜综上所述：存在5个M点，即6 .【解析】解：(1)由抛物线?=aX+bx+2过A(3,0),B(1,0),则*2a=一一3P0=9a-3b+214I0=a+b+2,解得3。二次函数的关系解析式为-33n=-；m:-m+2(2)设点P坐标为(m,n),则士士连接PO,彳乍PMLx轴于 M, PNLy轴于NPX=-m , ao=3oy = -xO-xO+2 = 2当 X = 0 时，.33，所以 OC=2。So-S.aco4AOPMCOPN-IaO-CO¥/J111= -x3(-m2-m*2)+-

15、x2(-m)-x3x2=-ni2-3m2：122,=-l., a =-l <0, .函数 Saacp 二 _11r 3m有最大值，当2 时,SaACT有最大值。口二 m.2此时 一 一沁步沁XTp(-2.3存在点T2',使ACP的面积最大。(3)存在。点Ql(-2J),QH(-LFQ$Q,3)：1)7 .【解析】解：(1);抛物线的顶点为坐标原点，：AD关于抛物线的对称轴对称.E是AB的中点，O是矩形ABCD寸角线的交点。又B(2,1)，:A(2,1)、D(2,1)。;抛物线的顶点为(0,0)可设其解析式为：y=ax2,则有：4a=-1,a=4。抛物线的解析式为：y=-|_4x2

16、orr(2)证明：由抛物线的解析式知：P(a,-Lia2),而R(a,1)、F(0,1),PF=PRRF=VaF,PFR为等边三角形，则由得RF=PF=PR得:rrr二-i竟一=4，即：a4-8az48=0,得：a2=4(舍去)，a?=12。.-.a=±24a2=-3。.存在符合条件的P点，坐标为(2同可证得：QF=QSCS/5 F在等4SQF中，/1=2(180°-ZSQF)同理，在等腰RPF中，/2=JJ(180°-/RPF。.QSLBGPR±BC,.QS/PR,/SQP+ZRPF=180°。/1+/2=2(360°/SQFZRP

17、FF=90°./SFR=180°/1Z2=90°,IPASFR是直角三角形。(1)根据题意能判断出点O是矩形ABCD勺对角线交点，因此D>B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。P的坐标，然后表示出 PF、RF的长,PF=PR=FR列式求解即可。那么 QSR APRF都是等腰三角形，先用(2)首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点两者进行比较即可得证。首先表示RF的长，若PFR为等边三角形，则满足根据的思路，不难看出QF=QS若连接SF、RF,/SQR/RPF表示出/DFS/RFP的和，用180

18、76;减去这个和值即可判断出RSF的形状。8 .【解析】解：(1)B(3,0),C(0,忑):A(1,0)B(3,0)可设过a、b、c三点的抛物线为广、1“axO)xc(0,指)在抛物线上，木/乜!。-"，解得能经过A、B、C三点的抛物线解析式(x+l)(x-3)即OC=CE(2)当OC&AOBC时，则OBOCoc=73 ,OE=A。AO=x 1 ,OB=3,x=2当 x=2 时， OC&A OBCo存在点Po由可知 x=2,OE=1oE (1, ./AEC=/ A=60° o0）o此时， CAE为等边三角形。又CEM=60° ,. ./MEB=6

19、0点C与点M关于抛物线的对称轴I3J对称,C(0,A),M(2,A)过M作MN，x轴于点N（2,0）,.MN=6。EN=1o+向=2若PEM为等腰三角形，则：i）当EP=EM时，.,EM=2,且点P在直线x=1上，P（1,2）或P（1,2）。ii）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，.P（1,2恭）。邓iii）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P（1,3）综上所述，存在P点坐标为（1,2）或（1,2）或（1,2W）或（1,3）时，EPM为等腰三角形。（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，

20、用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。求得EM的长，分EP=EM,EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。9.解：（1）当等边PMN勺顶点M运动到与点。重合时，MPLAB,/A=60°,，AP=4%；5,.t=2。（2分）(2) AP=2<3t ,BP=16v3 -23t又. / B=30° , / PMB=600 , . BPM=90tan / B=PMPBPM . 3=16 3 -2 3t 3PM =162t,即等边 PMN勺边长为16 2t. (4分)(3)当 0WtW1 时，如图 AP=2内t ,AG=4U§

21、;t .OG=8百-4、,3t,MO=8-4t,ON=82t.过F作FQL0B于Q贝UQN=4.EF=OQ=4+2t.等边PMNffi矩形ODC逆叠部分的面积为四边形EFNO勺面积，设为S, G=1(42t82t)4、,3=83t24328<3>0,Si随t的增大而增大， .t=1时，Si的最大值为32J3.(7分)当1vt<2时，如图A在EGK中,GE=473t-41y3,/.EK=4t-4,.Sgek=83(t-1)2.等边PMNffi矩形ODCEt叠部分的面积为四边形EFNO勺面积与EGK的面积差，设为包S2=8j3t+243-8V3(t1)2=8的2+24>/3

22、t+1673.a=-8J3Y0,对称轴为t=3,2，t=。时，S2的最大值为34<3.(9分)2当t=2时，S=32j3。综上可知：当t=3时，S的最大值为34<3.(10分)2(4)过R作RHLOB于H,RH=4V;3,HN=4,OH=4+2t,OD=12DH=82t,OR=OD=12寸，OH2+RH2=OR2,(4+2t)2+(4>/3)2=122,t>0,.=96-4不合题意舍去。2DR=OD=1附，DH2+RH2=DR2,(8-2t)2+(4何2=122,t=8+旅>2,或t=8底<0,都不合题意舍去。22OR=DR寸,H为CD中点，OH=6，4+2t=6,.t=1。综上所述，t=1时，OD幅等腰三角形。(12分)10.【解析】（1）,二次函数的图像经过点A(2,0)C(0,1)2+2i+c=0二次函数的解析式为解得:b=C= 1 (2 分)(1分)（2）设点D的坐标为（m 0） ,（0<m&l