二次函数复习专题讲义

1、word26 / 22二次函数【知识清单】一、网络框架概念：形灿ax2（a0型函数简单二次函数图像：是过。,0）的一条抛物线对称轴：y轴0时，y#大或0性质最值：约0寸，y最小值=Q当a二次函数,当增减性当概念：形灿ax0时，在对称轴左边（取o,y翻勺增大而减小。在对称轴右边（即0时，在对称轴左边（取0）,y超的增大而增大。在对称轴右边（即bxc（a0a函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。0,丫随才勺增大而增大。0,丫随才勺增大而减小。开口方向:图像：是一条抛物线顶点坐标:a0,开口向上；a0,开口向下。/b4acb2、-,）对称轴：x2ab4a2a2一般二次函数取值：当a0寸，y

2、最小值=-E4a,20时v=4acb0y<大<:4a（即-上），y随x勺增大而增大。2a（即-上），y随婚增大而减小。2a性质：当a0寸，在对称轴力力（艮及增减性：当a0寸，在对称轴左边（取）,随才勺增大而减小。在对称轴右边2a-）,丫随必勺增大而增大。在对称轴右边2a待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题二、清单梳理般的，形如yaxbxc(a0,a,b,c是常数）的函数叫次函数。例如y2x2,y2x26,y4x,y25x9x6等都是二次函数。注意：系数a不能为零，b,c可以为零。2、二次函数的三种解析式表达式一般式：yax2bxc(a0,a,b

3、,或常数)顶点式：ya(xh)2k(a,h,k为常数，且a0),顶点坐标为(h,k)交点式：ya(xxi)(xX2)(a0,其中x1,X2是抛物线与x轴的交点的横坐标)3、二次函数的图像位置与系数a,b,c之间的关系a：决定抛物线的开口方向与开口的大小。当a0时，开口方向向上；当a0时，开口方向向下。|a|决定开口大小，当|a|越大，如此抛物线白开口越小；当|a|越小，如此抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定抛物线与y轴交点的位置。当c0时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴即x轴上方；当c0时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴即x轴下方；当c0时，抛物线过原点。反之，也成立。b_ba和b：共同决定

4、抛物线对称轴的位置。当0时，对称轴在y轴右边；当02a2ab时，对称轴在y轴左边；当0即当b0时对称轴为y轴。反之，也成立。2a特别：当x1时，有yabc；当x1时，有yabc。反之也成立。4、二次函数ya(xh)2k的图像可由抛物线yax2向上向下，向左向右平移而得到。具体为：当h0时，抛物线yax2向右平移h个单位；当h0时，抛物线yax2向左平移h个单位，得到ya(xh)2；当k0时，抛物线ya(xh)2再向上平移k个单位，当k0时，抛物线ya(xh)2再向下平移k个单位，而得到ya(xh)2k的图像。225、抛物线yaxbxc(a0)与一元二次万程axbxc0(a0)的关系：假如抛物线

5、yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，如此一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根。假如抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，如此一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实根即一根。假如抛物线yax2bxc(a0)与x轴无交点，如此一元二次方程2axbxc0(a0)没有实根。6、二次函数yax2bxc(a0,a,b,cM常数)的图像与性质关系式2/c、yaxbxc(a0)ya(xh)2k(a0)图像形状抛物线顶点坐标,2(b4acb)2a，4a(h,k)对称轴bx一2axh增减性a0，-，一r一b.在图像对称轴左侧，即xE或x卜，丫随乂的增大而减2a，一.八，一，一

6、一b.小；在图像对称轴右侧，即x或xh,y随x的增大2a而增大；a0b在图像对称轴左侧，即x卫或x卜，丫随乂的增大而增2ab大；在图像对称轴右侧，即x卫或xh,y随x的增大2a而减小；最大值最小值a0,2mzb口4acb当x时，y最小值=2a4a当xh时，y最小值二ka0wb,4acb2当x时，y最大值一2a4a当xh时，y最大值二k【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】如下函数中是二次函数的是2一8一3Ay8x1B.y8x1C.y-D.y4xx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中y8x21符合yax2bxc(a0)3的形式，所以是二次函数，B,C分别是一次函数和反比例函数，D中右

7、边二4不是整式，x显然不是二次函数。【答案】A2【例2】函数y(m2m)xm3mx(m1)是二次函数，如此m【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2"。故有m22m0，解得m0且m2,综上所述，m取1。m23m42m1或m2【答案】1【针对训练】2门1、假如函数y(m2)xmmx是二次函数，如此该函数的表达式为y考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】点a,8在二次函数yax2的图象上，如此a的值是A.2B.2C.2D.2【解析】因为点a,8在二次函数yax2的图象上，所以将点a,8代入二次函数yax2中，可以得出a38,如

8、此可得a2,【答案】A.【例2】2011,假如二次函数yax2bxc的x与y的局部对应值如下表，如此当x1时，y的值为x765432y27133353A.5B.3C.13272【解析】设二次函数的解析式为yaxhk,因为当x4或2时，y3,由抛物线的对称性可知h3,h5,所以yax325,把2,3代入得，一-一._2一.a2,所以二次函数的解析式为y2x35,当x3时，y27。【答案】C【针对训练】1、（2002年）过1,03,01,2三点的抛物线的顶点坐标是,一214A1,2B.（1,-）C.1,5D.（2,一）332、无论m为何实数，二次函数yx22mxm的图象总是过定点A.1,3B.1,

9、0C.1,3D1,0【例3】C2010,一模如下列图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc的图象顶点为A2,2,且过点B0,2,如此y与x的函数关系式为_2_2_2_Ayx2B.yx22C.yx22D.-一一.,_2_一【解析】设这个二次函数的关系式为yax22,将B0,2代入得22一2022,解得：a1,故这个二次函数的关系式是yx22,【答案】D【针对训练】121、一次函数y-Xbxc的顶点为(2,1),如此二次函数的解析式为22一,.【例4】一次函数yXbxc过点(3,0)、(1,0),如此二次函数的解析式为O考点三：二次函数的图像与性质的综合应用与系数a,b,c的关系【例1】20

10、12,二次函数ya(x1)2b(a0)有最小值1,如此a、b的大小关系为AabB.abC.abD.不能确定【考点】涉与二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数ya(x1)2b(a0)有最小值1,所以a0,b1,b1,所以ab。【答案】A.【针对训练】1、二次函数y2x24x1的最小值是。2、2013,二次函数y2(x1)23的图象的顶点坐标是A(1,3)B.(1,3)C.(1,3)D.(1,3)3、抛物线yx(x2)的顶点坐标是A(1,1)B.(1,1)C.)D.(1,1)22【例2】2012,抛物线y(x2)3可以由抛物线yx平移得到，如此如下平移过程正确的答案是A先向左平移2个单位，再向

11、上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉与函数平移问题【解析】抛物线yx2向左平移2个单位可得到抛物线y(x2)2,再向下平移3个单位可得到抛物线y(x2)23。【答案】B.【针对训练】22.一21、2012,如下函数：1yx；2yx；3y(x1)2。其中，图象通过平移可以得到函数yx22x3的图象的有填写所有正确选项的序号。2、2009,将抛物线y2x2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是。23、将抛物线yx向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是Ayx22

12、B.y(x2)2C.y(x2)2D.yx224、将抛物线yax2bxc(a0)向下平移3个单位，在向左平移4个单位得到抛物线y2x24x5,如此原抛物线的顶点坐标是【例3】2013,二次函数yax2bxc的图象如下列图，如此如下关系式错误的答案是Aa0B.c0C.b24ac0D.abc0【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，与x轴有两个交点，所以a0,c0,b24ac0,且当x1时，yabc0。显然选项A、B、C都正确，只有选项D错误。【答案】D.【例4】2011,二次函数yax2bxc的图象如下列图，对称轴为直线x1,如此

13、如下结论正确的答案是Aac0B.方程ax2bxc0的两根是为1,x23C.2ab0D.当x0时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知a0,c0,故A错误；因对称轴为直线bx1,所以1,故C错误；由图象可知当1x0时，y2a随x的增大而增大，故D错误；由二次函数的对称性可知B选项正确，【答案】B.【针对训练】1、2013,呼和浩特在同一平面直角坐标系中，函数ymxm和函数ymx22x2m是常数，且m0的图象可能是A.B.C.D.2、 2011 J抛物线y小，如此二次函数 y ax2 ax的图象大致是2axbxc(a0)在平面直角坐标系中的位置如下列图，如此如下结论中，

14、正确的答案是Aa0B.b0C.c0D.abc0a,3、在反比例函数中y-(a0),当x0时，y随x的增大而减xA.B.C.D.4、如下列图，二次函数yax2bxc(a坐标分别为x1,x2，其中2x11,02.2ab0；a1；b8a4ac,0)的图像经过A(1,2),且与x轴的交点的横x21,如下结论：4a2bc0；其中正确的选项有。【例5】关于x的函数yx24x3,求当1x1时函数的最大值和最小值【针对训练】21、函数y2x4x1,试求当1x2的最大值和最小值2、函数y2x24|x|1,试求当1x2的最大值和最小值【例6】二次函数yax2bxc(a0)其中a、b、c满足abc0和9a3bc0,

15、如此该二次函数的对称轴是直线。【针对训练】21、7为,2002)、B(x2,2002)是二次函数yaxbx5(a0)的图像上的两点，如此当xx1x2时，二次函数的值是.【例7】二次函数yx22mx2,当x2时，y的值随x值的增大而增大，如此实数m的取值围是O【针对训练】1、假如二次函数y(xm)21,当x1时，y随x的增大而减小，如此m的取值围是O讲到这儿了考点四：二次函数的实际应用【例1】2011,某企业为计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1元x与月份1x9,且X取整数之间的函数关系如下表：月份x123456789

16、价格y1元/件560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2元与月份x10Wx<12,且x取整数之间存在如下列图的变化趋势：1请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如下列图的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；2假如去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力本钱为50元，其它本钱30元，该配件在1至9月的销售量p1万件与月份x满足函数关系式p10.1x1.11WX<9,且x取整数10至12月的销售量

17、p2万件与月份X满足函数关系式P20.1x2.910WXW12,且X取整数.求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；3今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力本钱比去年增加20%其它本钱没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的根底上提高a%,与此同时每月销售量均在去年12月的根底上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值.参考数据：992=9901,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025【考点】涉与函数模型，把实际问题转化为函数，用函

18、数的观点来解决问题，综合性比拟强，一般还涉与不等式，最值问题。【解析】1把表格1中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式.把10,73012,750代入直线解析式可得y2的解析式，；2分情况探讨得：1WxW9时，利润=p1X售价-各种本钱；10WXW12时，利润=p2x售价-各种本钱；并求得相应的最大2054利润即可；3根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。解：1设ykxb,kb560么/口如此，解得2kb580一一，一，10ab73y120x5401wxw9,且x取整数；设y2axb,如此，解得12ab75a10，y210x63010wxw12,且x取整数；b632设去年

19、第x月的利润为W元.1WxW9,且x取整数时_2_2_.一WP1(10005030y1)2x16x4182(x4)450x=4时，W最2大=450兀；10Wxw12,且x取整数时，WP2(10005030y2)(x29)，x=10时，W最大=361元；3去年12月的销售量为-0.1X12+2.9=1.7万件今年原材料价格为：750+60=810元今年人力本钱为：50X1+20%=60元.5X1000X1+a%-810-60-30X1.71-0.1Xa%=1700,设ta%,整理得10t299t100,99.9401解得t209401更接近于9409,.7940197,t产0.1,t2=9.8,

20、a1=10或a2=980,1.71-0.1xa%1,.1.a10.【答案】1y210x63010WXW12,且x取整数；2x=10时，W最大=361元；3a=10【针对训练】1、2013在“母亲节前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫在课余时间进展义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，假如每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；假如每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件.假定每天销售件数y件与销售价格x元/件满足一个以x为自变量的一次函数。1求y与x满足的函数关系式不要求写出x的取值围；2在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为

21、多少元时，才能使每天获得的利润P最大？【例22010,如图，二次函数图象的顶点坐标为2,0，直线yx1与二次函数的图象交于A,B两点，其中点A在y轴上.1二次函数的解析式为y二；2证明点（m,2m1）不在们中所求的二次函数的图象上;3假如C为线段AB的中点，过C点作CEx轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点.y轴上存在点K,使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，如此KK点的坐标是;二次函数的图象上是否存在点P,使得SPOE2sABD?求出P点坐标；假如不存在,【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉与存在性问题和动点问题。【解析】1由二次函数图象的顶点坐标为（2,0）

22、,故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式.2把该点代入抛物线上，得到m的二次方程，求根的判别式.3由直线y x 1与二次函数的图象交于A,B两点，解得A,B两点坐标，求出D点坐标，设K点坐标（0,a）,使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，如此KADC,且BA/DK,进而求出K点的坐标.过点B作BFx轴于求得B点坐标，可得到SPOE2sabd,设1O1斛：y-xx142证明：设点（m,2m1）在二次函数y12,如此有：2m1m2m1,4F,如此BF/CE/AO,又C为AB中点,12P(x,xx1),由题息可以解出x.412xx1的图象上,42整理得m4m80,(4)248160原方程无解，

23、12，点(m,2m1)不在一次函数y-x2x1的图象上.3解：K(0,3)或(0,5)二次函数的图象上存在点P,使得SPOE2SABD,如图，过点B作BFx轴于F,如此BF/CE/AO,又C为AB中点,LLL，一12OEEF,由于yx2x1和yx1可求得点B(8,9)4E(4,0),D(4,1),C(4,5)AD/x轴，八一八1，SPOE2Sabd224416.设P(x,1x2x1),41 1o1o_由题思得：SPOE4(-xx1)x2x22 42SPOE2SABDlx22x2322解得x6或x10,1当x6时，y366116,4,1当x10时，y1100101164，存在点P(6,16)和P

24、(10,16),使得SPOE2sABD3存在，点 P( 6,16)和 P(10,16)1c.【答案】1yX2x1;2见上述解答过程;4【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y8叵x2bxc经过点A(-,0)和点52B(1,2J2),与x轴的另一个交点为C。(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 点D在对称轴白右侧、x轴上方的抛物线上，且BDADAC,求点D的坐标;(3) 在2的条件下，连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE。判断四边形OAEB的形状，并说明理由；点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M和点B不重合，当1BMFMFO时，请直接写出线段BM的长3【答案】1y述x28&

25、gt;/2x至叵"2(2x3)(2x7)5552BD/ACD(4,272)一，一，1,53平行四边形；1或52 2【针对训练】1、2012,如图，O为坐标原点，直线l绕着点A(0,2)旋转，与经过点C(0,1)的二次12函数y-x2h的图象交于不同的两点P、Q.41求h的值；2通过操作、观察，算出POQ的面积的最小值不必说理；3过点P、C作直线，与x轴交于点B,试问：在直线的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？假如是，请说明理由；假如不是，请指出四边形的形状.【根底闯关】1、二次函数yax2bxc的图象如下列图，那么这个函数的解析式为2、二次函数y3x212x13,如此函数y的最小

26、值是3、把抛物线y2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为4、2011,将二次函数yx24x5化成y(xh)2k的形式，如此y5、2006,如图，抛物线的函数表达式是Ayx2x2B.yx2x2_2_2-C. yxx2D.yxx226、函数yaxbxc(a0)的图象如下列图，如此函数yaxb的图象是A. B.C.D.7、2013,二次函数y2(x1)23的图象的顶点坐标是A. 1, 3C.1,38、2013,对于抛物线y为直线x 1 ；顶点坐标为-B. 1,3D. 1,31,八2c,2(x1)23,如下结论：抛物线的开口向下；对称轴1,3；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为A.

27、1B.2C.3D.49、2013,：直线yaxb过抛物线yx22x3的顶点p,如下列图.1J顶点p的坐标是2假如直线yaxb经过另一点A0,11，求出该直线的表达式；3在2的条件下，假如有一条直线ymxn与直线yaxb关于x轴成轴对称，求直线ymxn与抛物线yx22x3的交点坐标.10、2010,虹口区一模二次函数2yx2x3,解答如下问题:1用配方法将该函数解析式化为.、2ya(xm)k的形式;2指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以与它的变化情况.【拓展提高】1、将二次函数y2(x1)23的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是。2、假如抛物线yx22xm

28、的最低点的纵坐标为n,如此mn的值是。2一一一.一一一一:一3、抛物线yaxbxc的顶点坐标是1,3,且过点0,5,那么二次函数yax2bxc的解析式为Ay2x24x5B,y2x24x5-_2,，_2,一C.y2x4x1D.y2x4x324、2010,抛物线yxbxc图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为yx22x3,如此b、c的值为2一bx 4ac b与反Ab2,c2B,b2,c0C,b2,c1D,b3,c25、2010,抛物线yax2bxc图象如下列图，如此一次函数ya b c 比例函数y 在同一坐标系的图象大致为xAB.C.D.6、2012,如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴一样，如此如下关系不正确的答案是A.k=nB.h=mC.kvnD.hv0,k<07、2010,将二次函数yx22x3化为y(xh)2式，结果为A.y(x1)24B,