2017年全国高中数学联赛模拟试题01

1、2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01第一试一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.2x71.设fl(x)=-，fn+(x)=fi(fn(x),x2,x#3,则(2013(2014)=.x32 .设A=(-2,4),B=x|x2+ax+4=0,x?R R.若A，B的非空子集个数为 1,则实数a的取值范围是.x_0,3 .设R是满足!y20,的点(x,y 沟成的区域，则区域R的面积为.(其中仪表示不超过实xyxy1)的一个顶点.若以点A为圆心，AB长为半径的圆与双曲线 C交于 3 个点，则m的取值范围是.6 .甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为3,第偶数

2、局，乙赢的概率为3.每一局没有平局，44规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多 2 次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为.ACBD7 .设五边形ABCDE满足/A=/B=/C=/D=120,则 ACBDACBD 的最小值为AEED8 .过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75.这样的截面共可作出个.二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.9 .(本小题满分 16 分).试求实数a的取值范围，使得2是不等式x x+logK2 23a)?的最小整数解.1log2a10 .(本小题满分 20 分)、数列ann3 定义为a

3、=1,a2=4,an=Jan/an书+1(n之2).求证：数列匕/鹏为整数列；求证：2anan由+1(n*)是完全平方数.11 .(本小题满分 20 分)已知 S,P(非原点)是抛物线 y=x2上不同的两点，点 P 处的切线分别交 x,y 轴于 Q,R.(1)若PQ=九PR,求九的值;(2)若 SP_LPR,求 APSR 面积的最小值.2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01加试一、（本小题满分 40 分）一、如图，为MBC的外心，03关于A的对称点为求证：.QDM=.O2DA.1*+（n 匚N）.证明：对任意 mCN,存在 nCN,使得Sn=m.n三、（本小题满分 50 分）试求所有的正整

4、数n,使得存在正整数数列a1a2Man,使得和ai+aj（1ij0,则根据二次函数图像性质， 必有f(-2)f(4)?0,即(8-2a)(20+4a)?0,解得 a34 或 a?5,但 a=4 应舍去， 而 a=-5经验证满足条件.综上所述，有a?(?,5-4(4,+?).x_0,3 .设R是满足|y 至 0,的点(x,y 族勾成的区域，则区域R的面积为.(其中x表示不超过实xyxy5数x的最大整数).解：9.一方面，当x+y3时，有x+Iyx+y3时，有lx十ly+x+y3,而卜+y1,从而Ix+y殳2,于是x+y+k】+y】:5,这与条件矛盾.故区域R的面积为9.24 .二兀函数 f(x,

5、y)=Gcos4x+7+Jcos4y+7+Jcos4x+cos4y-8sin2xsin2y+6 的最大值为.解：6夜.设cos2x=a,cos2y=b,则0Ma,bM1.f=22(Ja2-a+1+Jb2-b+1+Ja2-ab+b2)JI_(1-a(1-b)1,故f6V2.当ab1,或a0b1或a=1,b=0时，f取到最大值 6&.5 .已知B是双曲线C:2x2-4y2+1=0上靠近点A(0,m)(m1)的一个顶点.若以点A为圆心,半径的圆与双曲线 C交于 3 个点，则m的取值范围是.圆与双曲线交点的纵坐标y应满足上述方程，并要求y3解：双曲线 C 的标准方程为2y140,2字,1AB=

6、?x2+(y-m)2=AB2x2-4y2+1=02，得:-2._36y-4my+2m-=0,即6由0a,b1,a2a,Va2-a+13213一对应两个父点，从而m-.6 .甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为3,第偶数局，乙赢的概率为 0.每一局没有平局,规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多 2 次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为.解：”.设游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为37 .设五边形ABCDE满足/A=/B=NC=/D=120,则3解：一延长AB与DC相交于点H,延长EA与CB相交于点F,延长ED与BC相交于点G.4则AAFB,ADCG,

7、ABCH均为正三角形.设AB=x,BC=y,CD=z.容易得到四边形EAHD为平行四边10.（本小题满分 20 分）、数歹Uann.定义为a=1,a2=4,an8ACBDAEED的最小值为形，则EA=HD=y+z.在MBC中，由余弦定理，AC=Jx2+y2+xy,于曰ACAEx2y2xyyz同理，史ED+z2+yz.故ACBD_x2y2xyy2z2yzAEED注意到，Jxfxymy)*3xyACBD_x2y2xyAEED等号当且仅当x=y=z成立故最小值为3.48.过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75.这样的截面共可作出.一一、6.答案：1

8、8.设正ABCD中心为O,以O为圆心，X-cot75为半径作圆.则圆O在ABCD的内部,3且所求截面与平面BCD的交线是该圆的切线.有三种情况：（1）切线与BCD的一边平行时，有 6 个这样的截面；（2）切线B1G（其中B在边BC上，C1在边CD上）且CB1=GD,则截面AABC1为等腰三角形.这样的截面有 6 个；（3）作BE切圆O,交CD于E,由ABCEeAACE,有BE=AE,对应AABE是等腰三角形，这样的截面共有 6 个.故满足条件的截面共有 18 个.二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.9.（本小题满分 16 分）.试求实数a的取值范围，使得2是不等式x x+ +1og1

9、og2（2 2二3a）2的最小整数解.110g2a解：首先2x-3a0,1一，一0,且a#一.原不等式等价于21og22-3ax-2a0.11og2a(1)当1+log2a0,.2x-3a.2xx2有10g22+x20,整理有23a24a0.a解得2x4a,2log24a.注意到当aa 一时，10g24aa1.2故要使2是不等式当110g2a0 x10g2(2x-3a)11og2a12的最小整数解，有10g24a2,解得a1,于，即042,rr1.即0a-不满足条件.综上所述,2E,1a的取值范围为（3,1）.1:a1.2有 2 2+ +10g10gTaTa1,0=1斗（书-4an+1尸a2卡

10、-4anan+4中42222=an平4an吊an+an-1=（an邛-an）（2anan平+1）.因此2anan卡+1=（an+-an）.故命题得证！11.（本小题满分 20 分）已知 S,P（非原点）是抛物线 y=x2上不同的两点，点 P 处的切线分别交 x,y 轴于 Q,R.（1）若玩=ZPR,求九的值;（2）若 SP_LPR,求 APSR 面积的最小值.y1 八八解：(1)设过 P(x1,yI),则 P 处的切线 2x1x=y1+y,Q(一，0),2x1y1PQ=(上PR=l(-x1,-2y1)tt2x1-y1=-2?.y1(2)设 S(x2,y2),则SP-LPRtt(x1-x2,x1

11、2- -乂乂 22)(-%,-2%2)=022二x1(x1x2)2x1(x12、八、八, ,、1-x2)=0=x1(x1x2)=-3=x2=-x1-2x1ISPHXI-x21j1+工4XI而、1Q1(4x121)2,S24XI=12x1=2x1314：2，坪1-24x12Hx1IJ4x12,3+x1十,令 S=2x+x+8x11,/c2/1(x0),贝 US=6x+1208x8x221c/2二x,S0二x123 时，对满足0waSN0和 V 正整数 k出若都Skwm+a,Q士m+b,则SkSk至 ba.但b-a一一一11kN 时 Sk-Ski=SNn总存在正整数 n,使得 nN0时有kN00m

12、Wm+acSnm+bwm+1.所以Sn=m.三、(本小题满分 50 分)试求所有的正整数n,使得存在正整数数列a1a2父an,使得和ai+aj(1ijlog22014,从而r211.从而m10.下证，m的最小值为 10.记这 2014 个点分别为1,2,，2014,我们标记线段ij(ij)上的数字为t,其中t为满足2t|ij的最大非负整数.因为i,j2014,所以tW10.现设i,j,k为任意不同的三点，若线段ij,ik被标记为同一数字s,则i-j=2sa,i-k=2sb,这里a,b均为奇数，于是j-k=(i-k)-(j-k)=2s(b-a),由于b-a为偶数，知线段jk上标记的数字大于s,满足题设条件；若线段ij,i期记为不同的数字t,s(ts),则i一j=2ta,ik=2sb,这里a,b均为奇数， 于是j-k=(ikfj-JkW(方tb-)a由于2ba