恒成立存在性问题

1、知识点梳理1、恒成立问题的转化:2、能成立问题的转化:3、恰成立问题的转化:另一转化方法： 假设xD,f(x)在D上恰成立,那么等价于4、5、6、7、专题恒成立存在性问题恒成立a能成立a在M上恰成立xmax；xmin；fx恒成立fx能成立的解集为MA在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值f(x)在D上的最大值x1a,bx1a,bx2X2xixifxminfxmax在M上恒成立在CRM上恒成立fmin(x)D,f(x)gx2gx2fminfmaxgmingmax8、假设不等式上方；9、假设不等式下方；题型一、常见方法函数f(x)1)2)对任意对任意1,2,x12、设函数h(x),存在x1,存

2、在为x在区间x在区间2ax1都有f(x)a,b,存在x2a,b,存在x2c,dc,dD上恒成立,那么等价于在区间D上恒成立,那么等价于在区间,g(x)a,其中a0,x,使得fx1,使得fx1D上函数yD上函数yg(x)恒成立,求实数a的取值范围；x2x21,2,x22,4,都有f(x1)g(x2)恒成立,求实数a的取值范围;maxgminminxgmax和图象在函数和图象在函数xgx图象gx图象a.1.一1一xb,对任意a一,2,都有h(x)10在x一,1恒成立,求实数b的取值范围.x243、两函数f(x)21x,g(x)-m,对任意x0,2,存在x21,2,使得f(x1)gx2,那么实数m的

3、取值范围为题型二、主参换位法某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数1、对于满足p2的所有实数p,求使不等式x2px1p2x恒成立的x的取值范围.2、函数fxlnexa a为常数是实数集R上的奇函数,函数gxfxsinx是区间1,1上的减函数,I求a的值；II假设gxt2t1在x1,1上恒成立,求t的取值范围；题型三、别离参数法欲求某个参数的范围,就把这个参数别离出来1、当x1,2时,不等式x2mx40恒成立,那么m的取值范围是题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联系零点、根的分布法1、假设对任意xR,不等式|x|ax恒成立,那么实数a的取值范围是2、函数fxx22kx2,在x1恒有fxk,求

4、实数k的取值范围.题型五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法假设在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,那么等价于在区间D上fxm衿A；max假设在区间D上存在实数x使不等式fx1、存在实数x,使得不等式lx3lx1B成立,那么等价于在区间D上的fxmin2a3a有解,那么实数a的取值范围为小结：恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体.不等式fxM对xI时恒成立fmax(x)M?,xI.即fx的上界小于或等于M；不等式fxM对xI时有解-一1,1O2、函数fxlnx-ax222xa0存在单调递减区间,求a的取值范围

5、不等式fxM对xI时恒成立不等式fxMfmax(x)M,xI.o或fx的上界大于或等于M；fmin(x)M?,xI.或fx的下界小于或等于M；fmin(x)M?,xI.即fx的下界大于或等于M；5、两函数fx7x228xc,gx2x34x240 x.(1)对任意x3,3,都有fxgx)成立,求实数c的取值范围;(2)存在x3,3,使fxgx成立,求实数c的取值范围；(3)对任意XI,x23,3,都有fXIgx2,求实数c的取值范围；(4)存在XI,x23,3,都有fXIgx2,求实数c的取值范围；课后作业:3、不等式sin2x4sinx1a4、不等式axJx4x在x6、设函数f(x)1x32a

6、x233a2xb(01,bR).(i)求函fx的单调区间和极值;1、设a1,假设对于任意的xa,2a,都有ya,a2满足方程logaxlogay3,这日a的取值集合为(A) a|1a2xy2、 假设任意满足xyy3(B) a|a2(C)a|2a3(D)2,3050的实数x,y,不等式a(x2y2)(xy)2恒成立,那么实数a的最大值是00有解,那么a的取值范围是0,3内恒成立,求实数a的取值范围.(n)假设对任意的xa1,a2,不等式a成立,求a的取值范围.(1)求函数y=f(x)的表达式；2x(2)假设x0,证实：f(x)X2；(3)假设不等式-x2fx2m22bm3时,x8、设fxpxq2

7、lnx,且feqep2(e为自然对数的底数)xe(I)求p与q的关系；(II)假设fx在其定义域内为单调函数,求p的取值范围；2e(III)设gx,假设在1,e上至少存在一点xO,使得fxgx0成立,求实数p的取值范围xy2f1OBlnx1OC0.7、AB、C是直线上的三点,向量OAOB,OCf足：OA1,1及b1,1都恒成立,求实数m的取值范围.取值范围是0a.、11b,对任意a一,2,都有h(x)10在x,1恒成立,求实数24分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以此题为例,实质还是通过函数求最值解决.数m的取值范围为211不大于f(x)x在0,2上的最小值0,

8、既一m0,.m一44参考答案：题型一、常见方法1、函数1)对任意x2)对任意x1【分析：】f(x)x22ax1,g(x)a,其中a0,x0.x1,2,都有f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围；1,2,x22,4,都有f(x1)g(x2)恒成立,求实数a的取值范围;1)思路、等价转化为函数f(x)g(x)2)思路、对在不同区间内的两个函数0恒成立,在通过别离变量,创设新函数求最值解决.f(x)和g(x)分别求最值,即只需满足fUx)gmaB)即可.简解：(1)由x22ax3xx-(x)2,求导,2x1(x)a0 x2x4a-：2xx21nr3成立,只需满足(x)x,x的最小值大于a即可.对

9、2x210,故(x)在x1,2是增函数,m(x)2,一所以a的32、设函数h(x)b的取值范围.方法1：化归最值,h(x)10hmax(x)10方法b10方法3:变更主元,(ax1一axx)或a(1010简解：方法1:对h(x)g(x)xb求导,h(x)(xa)(xa)x1h(一)与h(1)中的较大10h(1)1014a1b1041ab1039494a1.,对于任忌a一,2,得b的取值氾围是b2f(x)x2g(x)xm,对任意x10,2,存在x21,2解析：对任意x10,2,存在x21,2,使得f(x1)gx2等价于g(x)2:变量别离,12,21.由此可知,h(x)在,1上的最大值为43、两

10、函数,使得f(x1)gx2,那么实八,1m在1,2上的取小值一m4题型二、主参换位法(某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)1、对于满足p2的所有实数p,求使不等式x2px解：不等式即x1px22x10fpxf20 x24x30f20 x210 x蚁x1x1或x3x1或x11p2x恒成立的x的取值范围.21px2x1,那么fp在-2,2上恒大于0,故有:2、函数fxx22kx2,在x1恒有fxk,求实数k的取值范围.分析：为了使fxk在x1,恒成立,构造一个新函数Fxfxk,那么把原题转化成左边二次函数在区间1,时恒大于等于0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决

11、.解：令Fxfxkx22kx2k,那么Fx0对x1,恒成立,而Fx是开口向上的抛物线.当图象与x轴无交点满足.,即4k222k0,解得2k1.当图象与x轴有交点,且在x1,时Fx0,那么由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：,一a0,一一,一,、恒成立,那么有0.假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.t2a的取值范围是1,即F10解得3k2k2yax2bxca0小于02、函数fxlnexaa为常数是实数集R上的奇函数,函数gxfxsinx是区间1,1上的减函数,I求a的值；II假设gxt2t1在x1,1上恒成立,求t的取值范围；n分析：在不等式

12、中出现了两个字母：及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将视作自变量,那么上述问题即可转化为在1内关于的一次函数大于等于.恒成立的问题.n略解:由(I)知：f(x)x,g(x)xsinx,Qg(x)在立,1,g(x)maxg(1)sin1,只需由上述结论：可令f(t1)t2sin110(11上单调递减,g(x)2sin1tt1,(t1)1),那么t210t1tsin11恒成立,t1.题型三、别离参数法欲求某个参数的范围,就把这个参数别离出来1、当x1,2时,不等式x2mx40恒成立,那么m的取值范围是2解析：当x1,2时,由x2mx40得mx4.m5.x题型四、数形结

13、合恒成立问题与二次函数联系零点、根的分布法1、假设对任意xR,不等式|x|ax恒成立,那么实数解析：对xR,不等式|x|ax恒成立、那么由一次函数性质及图像知1a1a1.2,故由知3k1.小结：假设二次函数yax2bxca0大于0恒成立,那么有a00,同理,右二次函数ttcosx0cosx在1,1上恒成t2sin110(其中1)恒成立,题型五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法假设在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,那么等价于在区间D上fxA；max假设在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,那么等价于在区间D上的fxminB.1、存在实数x,使得不等式xx1a23a有解,那么实数a的

14、取值范围为解：设fx|x3|x1,由fxa23a有解,2a3afxmin,x14,1-a23a4,解得a4或a1.2、函数fx12lnx-ax22xa0存在单调递减区间,求a的取值范围2解:由于函数f存在单调递减区间,所以fx-xaxax22x1-00,有解.即a12x2x2-xx210,能成立,设ux1得,uminx1.于1,由题设a0,所以a的取值范围是1,00,小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体.不等式不等式不等式不等式课后作业:对x对x对x对x时恒成立时有解时恒成立时有解fmax(X)M?,fmin

15、(X)M?,Xfmin(X)M?,fmax(X)M,:1、设a1,假设对于任意的(A)a|1a2xa,2a,都有y(B)a|a2答案:B.解析:由方程/日a得2a2a万2a2.2、假设任意满足、25答案：250解析:132a,a2满足方程的上界小于或等于M；的下界小于或等于M；的下界大于或等于M； 的上界大于或等于M；logaxlogay3,这日a的取值集合为()(C)a|2a33(D)2,3alogaXlogay3可得ya,对于任意的xa,2a,可得x050的实数0由不等式a(x2x,y,不等式a(x2y2)一-2.(xy)恒成立,那么实数y2),、2La(xy)可得3、不等式sin2x4s

16、inx1a解：原不等式有解asin2x0有解,那么4sinx1a的取值范围是2sinx2sinx1有解,而sinx4、不等式axJx4x在x0,3内恒成立,求实数a的取值范围.解：画出两个曲数ax和yJx40,3上的图象如图知当3a2,依题意x的最大值是当3x3a,x35、两函数(1)对任意x(2)存在x0,3时总有axJx4x所以x3,327x228xc,都有fx使fxg32gx2x4x,3a340 xo3min22,所以a2ogx成立,求实数c的取值范围;成立,求实数c的取值范围；(3)对任意XI,X2(4)存在XI,X2解析：(1)设h3,3,都有3,3,者B有fXIXIgX2gX232

17、2x3x,求实数c的取值范围;2hx6x6x126x在2,3单调递增,且hc45,hx极大值,求实数c的取值范围；12xc,问题转化为x1或2.由导数知识,可知3,3时,hx在c20hx3,10恒成立,故单调递增,在hmin1,2x0.令单调递减,由c(2)(1)(3)450,得c45o据题意：存在x知hmaxXc70,于是得x成立,即为：hxgx3,3有解,它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意XI,X2fXIgX2成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,Xi,X2的取值在3,3上具有任意性,要使不等式恒成立的充要条件是：2fmax(x)gmin(x)?x3?3o.f

18、x7x2c28,x3,3fXmaxf3147c,gx6x28x4023x10 x2,gx0在区间3,3上只有一个解x2.gxming248,147c48,即c195.(4)存在Xi,X23,3,都有fXigX2,等价于证“gmaxX2,由(3)得口访Xf2c28,gmaxx2g3102,c28102c130点评：此题的三个小题,外表形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加练习,准确使用其成立的充要条件.1Q996、设函数f(x)-x2ax3axb(0a1,bR).3(i)求函数fx的单调区间和极值；(n)假设对任意的xa1,a2,不等式fxa成立,求a的取值范围.解：(I)

19、f(x)x24ax3a2(1分)令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)令f(x)0,得f(X)的单调递减区间为(一,a)和(3a,+)(4分)3,当x=a时,f(x)极小值=-ab；4当x=3a时,f(x)极小值=b.(6分)(n)由|f(x)|a,得一aWx2+4ax3a2Wa.(7分)0a2a.1-f(x)x24ax3a2在a1,a2上是减函数.(9分),f(x)maxf(a1)2a1.f(x)minf(a2)4a4.于是,对任意Xa1,a2,不等式恒成立,等价于a4a4,在4,解得-a1.a2a1.5又0a1,.4a1a.57、A、B、C是直线上的三点,向量OAOB,OCl

20、足：OAy2f1OBInx(1)求函数y=f(x)的表达式；2x(2)假设x0,证实：f(x)x+2；12一22(3)右不等式,xfxm2bm3时,x1,1及b1,1都恒成立,求实数-一一_7_1_一7解：(1),.OA-y+2f/(1)OB+ln(x+1)0C=0,.OA=y+2f/(1)OBln(x+1)OC由于A、BC三点共线即y+2f/(1)+ln(x+1)=12分.y=f(x)=ln(x+1)+12f/(1)11f/(x)=X77,得f/(1)=2,故f(x)=ln(x+1)4分2x12(x+2)2xx2(2)令g(x)=f(x)x+2,由g/(x)=x+1(x+2)2=(x+1)(

21、x+2)2,-x0,g/(x)0,g(x)在(0,+8)上是增函数6分故g(x)g(0)=02x1OC0.m的取值范围.即f(x)X+28分1(3)原不等式等价于2x2f(x2)&m22bm-32xx3x令h(x)=2x2f(x2)=2x2ln(1+x2),由h/(x)=x1+x2=1+x2当xC1,1时,h(x)max=0,.m22bm30Q(1)=m2-2m-30令Q(b)=m2-2bm3,那么Q(_1)=m2+2m-3010分12分8、设fxpxq2lnx,且feqe(I)(II)x求p与q的关系；假设fx在其定义域内为单调函数,(III)解:(I)由 题 意得(II)由(I)知e上至少存在一点peq2lnee2(e为自然对数的底数)的 取 值 范围;qe-exogxo成立,求实数p的取值范围.px2|nx,fxx令hx0或I当p2pxh(x