第五章 拉伸与压缩

1、1第第 7 章章 拉伸和压缩拉伸和压缩7-1 横截面上的应力横截面上的应力 7-2 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算7-3 斜截面上的应力斜截面上的应力 7-4 拉（压）杆的变形与位移拉（压）杆的变形与位移7-5 拉（压）杆内的应变能拉（压）杆内的应变能27-6 低碳钢和铸铁受拉伸和低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能压缩时的力学性能7-7 简单的拉、压超静定问题简单的拉、压超静定问题7-8 拉（压）杆接头的计算拉（压）杆接头的计算3 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况

2、下，杆的主要外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。变形形式是轴向伸长或缩短。47-1 横截面上的应力横截面上的应力 在第在第6章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面上的内力章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面上的内力轴力轴力FN。显然，它是横截面上法向分布内力的合力。显然，它是横截面上法向分布内力的合力。FFNFF5 要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化规律找出分布内力在各点处的集度规律找出分布内力在各点处的集度应力。

3、杆件应力。杆件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号以符号s s 表示。表示。定义：法向分布内力的集度定义：法向分布内力的集度 mm截面截面 C点处的正应力点处的正应力s s 为：为：mmCANF（7-1）AFAFAddlimNN0 s s6 是矢量，因而正应力是矢量，因而正应力s s 也是矢量，其方向垂直也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。正应力的量纲为于它所在的截面。正应力的量纲为 。在。在国际单位制中，应力的单位为帕斯卡国际单位制中，应力的单位为帕斯卡(Pascal)，其，其中文代号是帕，国际代号是中文代号是帕，国际代号是Pa 。N

4、F)N/m1aP1(2 2长长度度力力AFAFAddlimNN0 s smmCANF7受力后受力后受力前受力前 由于由于应力应力在截面上的变化规律还不知道，所在截面上的变化规律还不知道，所以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件在受力变形后在受力变形后表面表面上的变形情况为根据，由表及上的变形情况为根据，由表及里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过静力学中求合力的概念得变化规律，然后再通过静力学中求合力

5、的概念得到以内力表示应力的公式。到以内力表示应力的公式。8 在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但每一条周线仍位于一个平面内。移，但每一条周线仍位于一个平面内。受力前受力前受力后受力后9 平面假设：原为平面的横截面平面假设：原为平面的横截面A和和B，在杆变，在杆变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。 这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相等。也相等。受力后受力后10 在工程上常假设材料是均匀的，

6、连续的在工程上常假设材料是均匀的，连续的,而且而且是各向同性的。于是根据拉杆的变形情况，可以推是各向同性的。于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学求合力的概念可知：求合力的概念可知：AAAFFAAAs ss ss s dddNN11AFN s s（7-2）式中，式中，FN 为轴力，为轴力，A 为横截面面积。为横截面面积。 对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。抗弯曲的刚度，上式同样适用。 对应于伸长变形的对应于伸长变形的拉应力为正拉应力为正，对应于缩

7、短，对应于缩短变形的变形的压应力为负压应力为负。AAAFFAAAs ss ss s dddNN12 外力作用于杆端的方式（例如，外力作用在外力作用于杆端的方式（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），在一般情况下杆件端面的局部或者整个端面），在一般情况下只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布情只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。 注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分才注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。圣维南原理：圣维南

8、原理：AFN s s13 当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式 ,即即得杆内的最大应力为：得杆内的最大应力为：AFmaxNmax s s（7-3）此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工最大工作应力作应力。AFN s s14 一横截面面积一横截面面积 A=400mm2 的等直的等直 杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。杆，其受力如图所示。试求此杆的

9、最大工作应力。解：此杆的最大轴力为：解：此杆的最大轴力为：N30000kN30maxN F最大工作应力为：最大工作应力为：MPa75Pa1075N/m1075m 10400N3000062626Nmaxmax AFs s20kN20kN30kN.ABCDFN（kN）x3020O例题例题 7-115 一横截面为正一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知寸如图所示。已知F=50kN,试试求荷载引起的最大工作应力。求荷载引起的最大工作应力。 解：首先作轴力图。由于此解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要

10、求出每柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。而确定全柱的最大工作应力。50 kN150 kN例题例题 7-2370FFFII240长度单位长度单位:mm16,(MPa87. 0N/m1087. 0mm240240N1050mm240240kN5026232N压应力）压应力） AFs s例题例题 7-250 kN150 kN(b)370FFFII240(a)17压压应应力力）。压压应应力力），(MPa1 . 1(MPa87. 021 s ss s。MPa1 . 1max s s最大工作应力为：最大工作应力为：压应力）压应力）(MP

11、a1 . 1N/m101 . 1mm370370N10150mm370370kN15026232IINIIII AFs s例题例题 7-250 kN150 kN(b)370FFFII240(a)18 试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力在横截面上却不一定处处相等。在横截面上却不一定处处相等。 根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截面上的正应

12、力均匀分布，则其合力必过横截面的面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力非均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。非均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。思考题思考题 7-119 注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，且材料均匀连续的条件下且材料均匀连续的条件下, 才能应用该公式。才能应用该公式。AFNs 工

13、程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大现象，即产生所谓现象，即产生所谓“应力集中应力集中”。应力集中处的局。应力集中处的局部最大应力部最大应力 s smax与按等截面杆算得的应力与按等截面杆算得的应力s s0之比称之比称为应力集中系数为应力集中系数a a 。200maxs ss sa a 最大应力最大应力 s smax与按等截面杆算得的应力与按等截面杆算得的应力s s0之比之比即即

14、应力集中系数应力集中系数a a ：217-2 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算 为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破坏，杆永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破坏，杆件内最大工作应力件内最大工作应力s smax不能超过杆件材料所能承受的不能超过杆件材料所能承受的极限应力极限应力s su，而且要有一定的安全储备。这一强度条，而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达件可用下式来表达。numaxs ss s 上式中，上式中，n 是大于是大于 1 的因数，称为安全因数，其数的因数，称为安全因数，其数值通

15、常是由设计规范规定的。它包括了两方面的考值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的考虑。虑。 一方面是强度条件中有些量的本身就存在着主一方面是强度条件中有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差异，另一方面则是给构件观认识与客观实际间的差异，另一方面则是给构件以必要的安全储备。以必要的安全储备。 22 s ss s max 材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验来测定。来测定。 极限应力除以安全因数得到材料能安全工作的容极限应力除以安全因数得到材料能安全工作的容许应力许应力s s 。于是强度条件又可写作。于是强度条件又可写作应用强度条件可对拉、压杆件

16、进行如下三类计算：应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：233. 确定许可荷载确定许可荷载已知杆件的横截面积已知杆件的横截面积A、材、材料的容许应力料的容许应力s s以及杆件所承受的荷载的情况以及杆件所承受的荷载的情况，根据强度条件确定荷载的最大容许值。，根据强度条件确定荷载的最大容许值。2. 选择截面尺寸选择截面尺寸已知荷载及容许应力，根据强度条件选择截面尺已知荷载及容许应力，根据强度条件选择截面尺寸。寸。 s ss s max1. 校核强度校核强度已知杆件的横截面面积已知杆件的横截面面积A、材料、材料的容许应力的容许应力s s以及杆件所承受的荷载，检验以及杆件所承受的荷载，检验是否满

17、足下式，从而判定杆件是否具有足够是否满足下式，从而判定杆件是否具有足够的强度。的强度。24 解：解：首先作杆的轴首先作杆的轴力图。力图。 一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情况、各段长度如图其受力情况、各段长度如图(a)所示。所示。BC段和段和CD段的段的横截面面积是横截面面积是AB段横截面面积的两倍。矩形截面的高段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之比度与宽度之比 h/b=1.4，材料的容许应力，材料的容许应力s s=160 MPa。试选择各段杆的横截面尺寸。试选择各段杆的横截面尺寸h和和b。 OxFN/kN202030(b)对于对于AB段，要求：段，

18、要求：例题例题 7-3ABCD20kN40kN50kN0. 5 m0. 5 m1 m(a) 24263Nm1025. 1)(N/m10160N1020 s sABFAAB25 。24263m10875. 1)(N/m10160N1030 s sCDNCDFA对于对于CD段，要求段，要求由题意知由题意知CD段的面积是段的面积是AB 段的两倍，应取段的两倍，应取,m1025. 124 ABA24m1025. 1 ABA例题例题 7-3OxFN/kN202030(b)ABCD20kN40kN50kN0. 5 m0. 5 m1 m(a)。244m1050. 221025. 1 CDA则则26可得可得A

19、B段横截面的尺寸段横截面的尺寸b1及及h1：,m1025. 124 ABA由由。mm3 .13mm,5 . 9,4 . 1m1025. 111211124 hbbhb 。244m1050. 221025. 1 CDA由由可得可得CD段横截面的尺寸段横截面的尺寸b2及及h2：。mm7 .18mm,4 .13,4 . 1m1050. 222222224 hbbhb例题例题 7-3ABCD20kN40kN50kN0. 5 m0. 5 m1 m27 图示一等直杆在自重和力图示一等直杆在自重和力F 作用下作用下的示意图。已知杆的横截面面积为的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为，材料密度为r r

20、，容许应力为，容许应力为s s 。试分析杆的自重对强度的影响。试分析杆的自重对强度的影响。 解：要研究自重对杆的强解：要研究自重对杆的强度的影响，应探讨自重与杆内度的影响，应探讨自重与杆内最大正应力的关系，为此可先最大正应力的关系，为此可先算出杆的任一横截面上的轴算出杆的任一横截面上的轴 力，从而求出杆的最大轴力。力，从而求出杆的最大轴力。FlCB例题例题 7-428作轴力图如下：作轴力图如下：FNxFF+Arg lFlCBxFArg xFN(x)FN(x)= F+Ar rg x例题例题 7-429gAlFFrmaxN srAgAlF glFArs 由此可见，若杆的由此可见，若杆的r rg l

21、与其材料的与其材料的s s相比很小，相比很小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。则杆的自重影响很小而可忽略不计。FNxFF+Arg l例题例题 7-430解：解：(1)首先求斜杆和横杆首先求斜杆和横杆的轴力与荷载的关系。的轴力与荷载的关系。,230sin001FFFFy FFFFFx732. 130cos230cos00012 有一三角架如图所示，其斜杆由两有一三角架如图所示，其斜杆由两 根根 等边角钢组成，横杆由两根等边角钢组成，横杆由两根10号槽钢组号槽钢组成，材料均为成，材料均为Q235 钢，容许应力钢，容许应力s s=120 MPa。 求求许可荷载许可荷载 F 。78080 例题例题 7

22、-5yxFF2F1A030030ACF31 (2) 计算许可轴力。由型钢计算许可轴力。由型钢表查得：表查得：2221cm5 .25274.12,cm7 .21286.10 AA由强度条件由强度条件 s ss s AFN知许可轴力为：知许可轴力为： kN,260N10260N/m10120m107 .21326241 F例题例题 7-5yxFF2F1A030030ACF32 kN306N10306N/m10120m105 .25326242 F(3) 计算许可荷载。计算许可荷载。 。杆：杆：kN1302kN26021 FFABAB kN177732. 1kN306732. 12 FFACAC杆：

23、杆：故斜杆和横杆都能安全工作的许可荷载应取故斜杆和横杆都能安全工作的许可荷载应取 kN130 F例题例题 7-5yxFF2F1A030030ACF337-3 斜截面上的应力斜截面上的应力 实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横截面发生，有时是实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，现讨论斜截面上的应力。沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，现讨论斜截面上的应力。kFFka34kFFka(a)FF a a问题：问题：? a apkFkap(b)Fa35a aa aa aAFp 仿照前面求正应力的仿照前面求正应力的分析过程，同样可知斜截分

24、析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。面上的应力处处相等。a aa acos AA(A为横截面的面积为横截面的面积)a as sa aa aa acoscos0 AFpFFkFkap(b)Fa36aAasapa(c)AF 0s s。，切切应应力力应应力力用用两两个个分分量量来来表表示示：正正a aa aa a s sp),2cos1(2coscos020a as sa as sa as sa aa a p.2sin2sincossin00a as sa aa as sa a a aa a pa as sa aa aa acoscos0 AFpFF37),2cos1(20a as ss sa

25、a .2sin20a as s a a 应力状态：通过一点的所有各截面上的应力应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其全部情况。其全部情况。 单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面上的正应力即可完全确定。上的正应力即可完全确定。以上的分析结果对压杆也同样适用。以上的分析结果对压杆也同样适用。 以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随面上的正应力和切应力随a a 角而改变的规律。角而改变的规律。38),2cos1(20a as ss sa a .2sin20a as s a a 0, 0)1(

26、s ss sa aa a 2)452sin(245)2(0004500s ss s a aa a FF由式由式和和可知：可知：392)45(2sin2450004500s ss s a aa a 拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成45 的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。2)452sin(2450004500s ss s a aa a 40),2cos1(20a as ss sa a .2sin20a as s a a 思考题思考题 7-2 受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力与横

27、截面上的应力有下面的确定关系，那么，对与横截面上的应力有下面的确定关系，那么，对于由某种材料制成的拉杆如果实际上是由于于由某种材料制成的拉杆如果实际上是由于 而引起的强度破坏，是否可用而引起的强度破坏，是否可用 作为强度作为强度破坏的判据呢？破坏的判据呢？ a a 045a as ss s 041 （3）拉（压）杆任意两个互相垂直的截面）拉（压）杆任意两个互相垂直的截面 k-k 和和 n-n 上的切应力为：上的切应力为：a as s a a2sin20 a as sa as s a a2sin2)90(2sin200)90( kFFkanna09042a as s a as s a aa a2

28、sin2,2sin20)90(00 切应力互等定理切应力互等定理:任何受力物体内一点处，两个任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直截面的交线。这两个垂直截面的交线。a090aas090asF(b)kFFkanna09043,2cos2200a as ss ss sa a .2sin20a as s a a 20220)2()2(s s s ss sa aa a 单向拉伸（压缩）时的应力单向拉伸（压缩）时的应力圆：圆： 代表

29、斜截面上应力的点代表斜截面上应力的点必落在这个圆周上。必落在这个圆周上。C20s20s(a)Os（4）关于应力圆的概念）关于应力圆的概念44。 s s s ss ss sa aa asin2,cos22000 DECEOCOE),2cos1(20a as ss sa a .2sin20a as s a a 比较可知，比较可知，a a 2 而且而且 与与a a 的转向相同。的转向相同。由图可得由图可得与式与式OaCDEA0s20sssa45(2) 如果是这样，是否如果是这样，是否说明了说明了 以以及及 ？090 a aa a 0900s ss ss sa aa a 思考题思考题 7-3 (1)

30、应力圆上代表拉（压）杆两个相互垂直截面上应应力圆上代表拉（压）杆两个相互垂直截面上应力的点，是否位于直径的两端？力的点，是否位于直径的两端？OaCDEA0s20sssa46参照右图可得出如下结论：参照右图可得出如下结论：090 a aa a 0900s ss ss sa aa a OaCDEA0s20sFa090sa090sas思考题思考题 7-3 47 图示一从拉杆内取出的一个微小图示一从拉杆内取出的一个微小的正六面体（单元体）及其应力状态，求图示斜截的正六面体（单元体）及其应力状态，求图示斜截面上的应力，并求该单元体中的最大切应力及其作面上的应力，并求该单元体中的最大切应力及其作用面。用面

31、。xynss0300150(a)解：解：(1) 作应力圆作应力圆C20s20s(b)D0300OBAB01500150ss例题例题 7-648xnss75. 0s433. 00300150(c)求所示斜截面上的应求所示斜截面上的应 力，如图力，如图(c)所示。所示。(3) 求最大切应力求最大切应力,如图如图(b)所所示。示。最大切应力发生在最大切应力发生在B及及B点，并有：点，并有：s s 21max 例题例题 7-6C20s20sD0300OBAB01500150ss(b)49xss2s2sn045(d)最大切应力的作用面如下图所示。最大切应力的作用面如下图所示。例题例题 7-6xs2s2s

32、n045(e)s50(1) 图图(e) 所示斜截面上的正应力和切应力其数值和所示斜截面上的正应力和切应力其数值和指向是否正确？指向是否正确？思考题思考题 7-4xs2s2sn045(e)s51xynss0300150(a)(2) 图图(a)所示斜截面上的应力，其数值和指向与图所示斜截面上的应力，其数值和指向与图(b)所示是否相同？所示是否相同？(b)xys030(b)s参照下图分析参照下图分析思考题思考题 7-4C20s20sD0300OBAB01500150ss527-4 拉（压）杆的变形与位移拉（压）杆的变形与位移1. 胡克定律胡克定律FF l1ld1d实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、

33、合金实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、合金钢等都有一个线弹性阶段，即：钢等都有一个线弹性阶段，即：lll1AlFlN （FN为轴力，为轴力，A为截面积）为截面积）53引入比例常数引入比例常数E有：有：EAlFlN 上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中E为弹性为弹性模量，其量纲为模量，其量纲为 ，常用单位为，常用单位为MPa。2/长长度度力力FF l1ld1dAFEllN1 (单向应力状态时的胡克定律单向应力状态时的胡克定律)54llAFN s s s sE FF l1ld1d该式表达的是均匀伸长时的线应变。该式表达的是均匀伸长时的线应变。552. 横向变形系数

34、横向变形系数泊松比泊松比n nddddd1 横向线应变为：横向线应变为：实验证实：实验证实：nn n n ,泊松比泊松比是一与材料有关的无量纲的量，其数值是一与材料有关的无量纲的量，其数值通过实验测定。通过实验测定。FF l1ld1d56 若在受力物体内一点处已测得两个相互垂若在受力物体内一点处已测得两个相互垂直的直的 x 和和 y 方向均有线应变，则是否在方向均有线应变，则是否在 x 和和 y 方向必定均作用有正应力？若测得仅方向必定均作用有正应力？若测得仅 x 方向有方向有线应线应 变，则是否变，则是否 y 方向无正应力？若测得方向无正应力？若测得 x 和和 y 方向均无线应变，则是否方向

35、均无线应变，则是否 x 和和 y 方向必定方向必定均无正应力？均无正应力？思考题思考题7-557 解：解：首先作轴力图。若认为首先作轴力图。若认为基础无沉陷，则砖柱顶面下降基础无沉陷，则砖柱顶面下降的位移等于全柱的缩短。的位移等于全柱的缩短。 一横截面为正一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知寸如图所示。已知F=50kN,材料材料的弹性模量的弹性模量 。试求砖柱顶面的位移。试求砖柱顶面的位移。MPa1033 E 由于此柱为变截面杆，且上下由于此柱为变截面杆，且上下两段轴力不等因此要分段计算。两段轴力不

36、等因此要分段计算。例题例题 7-750 kN150 kN370FFF240长度单位长度单位:mm58IIIIN11N21II1EAlFEAlFlll mm3 . 2m0023. 000146. 000087. 0)10370370()103(4)1000150()10240240()103(3)100050(6969 l由此得由此得向向下下）mm(3 . 2 l例题例题 7-750 kN150 kN(b)370FFF240(a)59 图示两根材料相同的等截面杆，图示两根材料相同的等截面杆，(1) 它们的总它们的总变形是否相同？变形是否相同？(2) 它们的变形程度是否相同？它们的变形程度是否相同

37、？(3) 两杆哪些相应截面的纵向位移相同？两杆哪些相应截面的纵向位移相同？思考题思考题 7-6FA(a)FA/2(b)60 图图(a)是一等直杆在自重和力是一等直杆在自重和力F 作用作用下的示意图。已知杆的横截面面积为下的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为，材料密度为r r ，弹性模量为，弹性模量为E , 杆长为杆长为l 。试求杆的总伸长。试求杆的总伸长。 解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。FlCB(a)例题例题 7-861作轴力图如下：作轴力图如下：FNxFF+Arg lFArg xFN (x)FN(x)= F+Ar rg xFlCBx例题例题

38、7-862FN(x)= F+Ar rg xEAPlEAFlEAgAlEAFlElgEAFlxEAgAxFEAxxFlEAxxFxll222dd)(d)()(d2200NNrrr(P为杆的总重量为杆的总重量)自重引起的伸长怎样考虑？自重引起的伸长怎样考虑？例题例题 7-8FlCBxFN(x)Arg dxFN(x+dx)63例题例题7-8中杆任意横截面中杆任意横截面m-m的纵向位移是否可的纵向位移是否可由下式计算：由下式计算： xlEAxxFd)(N为什么式中积分的下限为什么式中积分的下限为为l ,而不取为零？为什而不取为零？为什么积分号前取正号？么积分号前取正号？思考题思考题7-7FN(x)=

39、F+Ar rg xFlCBxFN(x)Arg dxFN(x+dx)64 图示杆系由圆截面钢杆图示杆系由圆截面钢杆1、2组成。各杆的长度组成。各杆的长度均为均为l =2m,直径均为直径均为d =25mm。已知钢的弹性模量。已知钢的弹性模量E=2.1105MPa，荷载，荷载F=100kN ，变形前，变形前a a = 30o 。试求节点试求节点A的位的位 移移 A。例题例题 7-965解：解：分析可知结点分析可知结点A只有竖直位移只有竖直位移a aa aa acos20coscos2121NNNNFFFFFF 例题例题 7-966a acos21N21EAFlEAlFll a a2cos2EAFlA

40、 )mm(3 . 1m0013. 030cos)1025(4101 . 222101000223113 A问题：位移与变形的区别？问题：位移与变形的区别？例题例题 7-967 应变能（应变能（U)：弹性体在外力作用下产生变形时，其内部储存的弹性体在外力作用下产生变形时，其内部储存的能量。当外力除去时这种弹性应变能也就随变形的消失而释放出来。能量。当外力除去时这种弹性应变能也就随变形的消失而释放出来。本节研究拉（压）杆在线性弹性范围内工作时的应变能。本节研究拉（压）杆在线性弹性范围内工作时的应变能。7-5 拉（压）杆内的应变能拉（压）杆内的应变能68ABFA(a)d(d11AFW AFW21 l

41、AOFABA1A1dAF(b)69 如果荷载缓慢地增大，而可以不如果荷载缓慢地增大，而可以不计动能，并忽略热能等，根据能量守计动能，并忽略热能等，根据能量守恒原理，荷载作的功在数值上等于拉恒原理，荷载作的功在数值上等于拉杆内的应变能。杆内的应变能。AFU21 EAlFEAlFFU2)(212NNN 对于图示杆，其应变能为：对于图示杆，其应变能为：应变能的单位与功相同，为焦应变能的单位与功相同，为焦(J)：mN1J1 上面的公式适用于线弹性范围。上面的公式适用于线弹性范围。ABFA(a)70拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能比能比能u为为EAFEAlEAlFVU

42、u2)(212/22N2Ns s ss21 u22 Eu 比能的常用单位是：比能的常用单位是：3J/mV 表示体积表示体积 71 杆系如图所示，杆系如图所示，(1) 求该系统内的应变能求该系统内的应变能U, (2) 求外力所作的功求外力所作的功W。例题例题 7-972系统的应变能为：系统的应变能为：N1074.57cos23NN21 a aFFF解：解：(1) 例例7-8的结果知的结果知ACABACABUUUUU EAlFEAlFU2N2N1122 mN65)1025(4101 . 22)1074.57(231123 U例题例题 7-973(2) 外力的功为：外力的功为：AFW21 mm3 .

43、 1 AmN65)103 . 1()10100(2133 W例题例题 7-974 图示的三根圆截面杆，其材料、支图示的三根圆截面杆，其材料、支撑情况、荷载撑情况、荷载F 及长度及长度 l 均相同，但直径及其变化均相同，但直径及其变化不同。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。不同。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。F(b)2d2ddF(c)32dd例题例题 7-10F(a)1d75解：计算解：计算1杆的应变能杆的应变能)4/(22222N1dElFEAlFU 计算计算2杆的应变能时，应杆的应变能时，应分段计算：分段计算：12222222167)4/(21674/)(22)4/3()4/(2)4

44、/(UdElFdElFdElFU 例题例题 7-10F(b)2d2ddF(a)1d76同理同理3杆的应变能为：杆的应变能为：122222233211)4/(232114/)2(2)8/7()4/(2)8/(UdElFdElFdElFU 3211:167:1:321 UUU体积增大，体积增大，1、2、3杆的应变能依次减少。杆的应变能依次减少。例题例题 7-10F2d2ddF32ddF1d77 如图所示，重量为如图所示，重量为P的重物从高处自由的重物从高处自由落下，在与杆落下，在与杆AB下端的盘下端的盘B碰撞后不发生回跳。已碰撞后不发生回跳。已知自由落距为知自由落距为h，杆的长度为，杆的长度为l,

45、 盘及杆重均可不计。盘及杆重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。P(a)ABPd(b)ABdP(c)ABj例题例题 7-1178 解：解：碰撞结束后，杆的伸长达到最大碰撞结束后，杆的伸长达到最大值值圆盘的最大位移。相应于这个最大位移的假想圆盘的最大位移。相应于这个最大位移的假想静荷载称为冲击荷载，以静荷载称为冲击荷载，以Pd表示。相应的应力称为冲表示。相应的应力称为冲击应力，以表击应力，以表s sd示。示。)(21dddddhPWPUWU jKPKP dddd)()(21jdjddd KhPWKPKU 例题例题 7-11Pd(b)ABd

46、79022)(21jd2djd2dd hKKKhPPKWUjEAPlhK jjd,211 APPlhEAK211jdd s ss s EAPlPlhEAK211jdd 材料在线弹性范围内工作时，上述结果正确。材料在线弹性范围内工作时，上述结果正确。例题例题 7-11Pd(b)ABd80 (1) 若图中重物不是从高处自由下落而是骤然若图中重物不是从高处自由下落而是骤然加在杆加在杆AB下端的盘下端的盘 B上，则冲击系数为多少？上，则冲击系数为多少？(2)图图(b)、(c)、(d)所示三根杆件若承受图所示三根杆件若承受图(a)那样那样的冲击，试求它们的冲击系数之比。的冲击，试求它们的冲击系数之比。思

47、考题思考题 7-9P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d81思考题思考题7-9参考答案：参考答案：20d KhEAPlhK jjd211(1)P(a)AB82思考题思考题7-9参考答案：参考答案：EAPlhK jjd,211)(, )(21jdjdddKhPWKPKU (2)P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d833211:167:1:321 UUU3211:167:1:3j2j1j 思考题思考题7-9参考答案：参考答案：P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d84(3) 推导公式推导公式 时略去了碰撞过程时略去了碰撞过程中能量的损失

48、，那么由此算得的中能量的损失，那么由此算得的Kd是偏大还是偏是偏大还是偏小？小？jd211hK 答：偏大答：偏大P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d857-6 低碳钢和铸铁受拉伸和低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能压缩时的力学性能1. 材料的拉伸和压缩试验材料的拉伸和压缩试验 圆截面试样：圆截面试样：l = 10d 或或 l = 5d(工作段长度称为标距工作段长度称为标距)。 矩形截面试样：矩形截面试样： 或或 。 Al3 .11 Al65. 5 拉伸试样拉伸试样 86试验设备试验设备 ：(1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。万能试验机：强迫试样变形并测定试

49、样的抗力。 (2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。仪器。 圆截面短柱圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能用于测试金属材料的力学性能) 31 dl正方形截面短柱正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性用于测试非金属材料的力学性能能) 31 bl 压缩试样压缩试样 87 实验装置实验装置（万能试验机）（万能试验机）882. 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图拉伸图 纵坐标纵坐标试样的试样的抗力抗力F(通常称为荷载通常称为荷载) 横坐标横坐标试样工试样工作段的伸长量作段的伸长量 89低碳钢试样在

50、整个拉伸过程中的四个阶段：低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段阶段弹性阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，变形完全是弹性的，且且l与与F成线性关系，即此时材料的力学行为符成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。合胡克定律。90 (2) 阶段阶段屈服阶段屈服阶段 在此阶段伸长变形急在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很剧增大，但抗力只在很小范围内波动。小范围内波动。 此阶段产生的变形是不此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见在抛光的试样表面上可见大约与轴线成大约与轴线成45的滑移的滑移线线( ，当，当=45时时a 的绝对值最的绝对

51、值最大大)。a as s a a2sin20 91(3) 阶段阶段强化阶段强化阶段 92卸载及再加载规律卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载，则卸若在强化阶段卸载，则卸载过程中载过程中Fl关系为直线。关系为直线。可见在强化阶段中，可见在强化阶段中，l=le+lp。 卸载后立即再加载时，卸载后立即再加载时，Fl关系起初基本上仍为直线关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载，直至当初卸载的荷载冷作硬化现象冷作硬化现象。试样重新。试样重新受拉时其断裂前所能产生的受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。塑性变形则减小。 93 (4) 阶段阶段局部变形阶段局部变形阶段 试样上出现局部收试样上出现

52、局部收缩缩颈缩颈缩，并导致断裂。，并导致断裂。 94低碳钢的应力低碳钢的应力应变曲线应变曲线(s s 曲线曲线) 为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力中的纵坐标和横坐标换算为应力s s和应变和应变 ，即即 ， 其中：其中：A试样横截试样横截面的原面积，面的原面积， l试样工作段的原长。试样工作段的原长。 AF s sll 95低碳钢低碳钢 s s 曲线上的特征点：曲线上的特征点： 比例极限比例极限s sp(proportional limit) 弹性极限弹性极限s se(elastic limit)屈服极限屈服极限s ss

53、 (屈服的低限屈服的低限) (yield limit)强度极限强度极限s sb(拉伸强拉伸强度度)(ultimate strength)Q235钢的主要强度指标：钢的主要强度指标：s ss = 240 MPa，s sb = 390 MPa96低碳钢拉伸试件低碳钢拉伸试件 低碳钢拉伸破坏演示低碳钢拉伸破坏演示97低碳钢拉伸破坏断口低碳钢拉伸破坏断口98低碳钢的塑性指标：低碳钢的塑性指标： 伸长率伸长率 %1001 lll 断面收缩率：断面收缩率：%1001 AAA A1断口处最小横截面面积。断口处最小横截面面积。 Q235钢：钢： 60%1 lQ235钢：钢： %30%20 (通常通常 5%的材

54、料称为塑性材料的材料称为塑性材料)99注意：注意： (1) 低碳钢的低碳钢的s ss，s sb都还是以相应的抗力除以试都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是显著缩小，因而它们是名义应力名义应力。 (2) 低碳钢的强度极限低碳钢的强度极限s sb是试样拉伸时最大的名是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。义应力，并非断裂时的应力。 (3)超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，伸长量除以试样的原长而得， 因而是因而是名义应变名义应变(工工程

55、应变程应变)。100 (4) 伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积距与横截面面积(或直径或直径)之比，原因在此。之比，原因在此。 思考：思考： 低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（两种标距（l = 10d 和和 l = 5d )，试问所得伸长率，试问所得伸长率d10和和d5哪一个大？哪一个大？ 1013. 其他金属材料在拉伸时的力

56、学性能其他金属材料在拉伸时的力学性能 102由由s s 曲线可见：曲线可见： 材料材料锰钢锰钢强铝强铝退火球墨铸铁退火球墨铸铁弹性阶段弹性阶段屈服阶段屈服阶段强化阶段强化阶段局部变形阶段局部变形阶段伸长率伸长率5%5%5%103s sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料用于无屈服阶段的塑性材料 104割线弹性模量割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶用于基本上无线弹性阶段的脆性材料段的脆性材料 脆性材料拉伸时的唯一强度指标：脆性材料拉伸时的唯一强度指标： s sb基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。

57、 105铸铁拉伸破坏演示铸铁拉伸破坏演示1064. 金属材料在压缩时的力学性能金属材料在压缩时的力学性能 低碳钢拉、压时的低碳钢拉、压时的s ss基本相同。基本相同。 低碳钢压缩时低碳钢压缩时s s 的曲线的曲线 107低碳钢材料轴向压缩时的试验现象低碳钢材料轴向压缩时的试验现象108低碳钢压缩破坏演示低碳钢压缩破坏演示109铸铁压缩时的铸铁压缩时的s sb和和 均比拉伸时大得多；均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的灰口铸铁压缩时的s s 曲线曲线110 试样沿着与横截试样沿着

58、与横截面大致成面大致成5055的的斜截面发生错动而斜截面发生错动而破坏。破坏。 材料依在常温材料依在常温 室温室温 、静荷载、静荷载 徐加荷载徐加荷载 下由下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。 111铸铁压缩破坏演示铸铁压缩破坏演示112铸铁压缩破坏断口：铸铁压缩破坏断口：拉压破坏试件拉压破坏试件1135. 几种非金属材料的力学性能几种非金属材料的力学性能 1 1 混凝土压缩时的力学性能混凝土压缩时的力学性能 使用标准立方体试块测定使用标准立方体试块测定端面润滑时端面润滑时的破坏形式的破坏形式端面未润滑时端面未润滑时的破坏形式的破坏形式1

59、14 压缩强度压缩强度s sb及破坏形式与端面润滑情况有关。及破坏形式与端面润滑情况有关。以以s s 曲线上曲线上s s = 0.4s sb的点与原点的连线确定的点与原点的连线确定“割线弹性模量割线弹性模量”。 混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经混凝土是指经28天养护后立方体强度不低天养护后立方体强度不低于于20 MPa的混凝土。的混凝土。 压缩强度远大于拉伸强度。压缩强度远大于拉伸强度。 115 木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹如认为木材任何

60、方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交异性材料。木材是正交异性材料。 松木在顺纹拉伸、压缩和横松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩是的纹压缩是的s s 曲线如图。曲线如图。(2) 木材拉伸和压缩时的力学性能木材拉伸和压缩时的力学性能 木材的横纹拉伸强度很低木材的横纹拉伸强度很低(图中未示图中未示)，工程中也避免木，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。强度受木节等缺陷的影响大。116(3) 玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂