1997考研数三真题及解析

1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设 y f(lnx)ef(x),其中 f 可微，则 dy_ 1 /2 1 1 若 f (x) v1 x f (x)dx ,则 f (x) dx .1 x00差分方程yt 1 yt t2t的通解为_ ._ 22 2(4)若二次型f(X1,X-,X3) 2X1 x- X3 2X1X2 tx-X3是正定的,则t的取值范围是 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X1,L , X9和¥丄，Y9分别X |X是来自总体X和丫的简单随机样本，则统计量U 19

2、服从 布JY L丫92(2分),参数为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1 COSX2(1)设 f (x)°sin t2dt, g(x)56XX56，则当X0 时,f (x)是 g(x)的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小千里之行始于足下1设向量组3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A)(B)(C)2 2,23 ,331(2)若 f ( X)有f(x)(X),在(，0)内 f (x)0,且 f (x)0 ,则在(0,)内()(A) f (

3、X)0, f(x)0(B) f (x)0, f(x)0(C) f (X)0, f(x)0(D) f (x)0, f(x)0(D)3 222 3,3设A, B为同阶可逆矩阵，则(A) AB BA(B)存在可逆矩阵P,使 P 1AP(C)存在可逆矩阵C，使 CTAC B(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ(5)设两个随机变量 X与Y相互独立且同分布:P X 1 P Y 1 P X 1 21PY 1了则下列各式中成立的是()(A) P X Y 1(B) P X Y 12(D) P XY 1(C) P X Y 0三、(本题满分6分)在经济学中，称函数1xx Q(x) A K (1 )L x为固定替代弹性

4、生产函数，而称函数Q AK L1为Cobb-Douglas生产函数(简称C D生产函数).试证明：但x 0时,固定替代弹性生产函数变为 C D生产函数，即有lim Q(x) Q .x 0四、(本题满分5分)设u f (x, y, z)有连续偏导数，y y(x)和z z(x)分别由方程exy y 0和 pl.ex xz 0所确定，求一.dx五、（本题满分6分）一商家销售某种商品的价格满足关系p 7 0.2x（万元/吨）,x为销售量（单位：吨），商品的成本函数C 3x 1（万元）.（1）若每销售一吨商品，政府要征税t （万元）,求该商家获最大利润时的销售量；（2）t为何值时，政府税收总额最大六、（

5、本题满分6分）设函数f （x）在0,）上连续、单调不减且 f（0） 0,试证函数1 X nF(x)0t f(t)dt,若x 0,x 00,若 x 0,在0,）上连续且单调不减（其中n 0）.七、（本题满分6分）2从点R（1,0）作x轴的垂线，交抛物线y x于点Qi（1,1）；再从Qi作这条抛物线的切线 与x轴交于P2,然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列的 点 P,Q1； F2 ,Q2 ;L ; Pn, Qn；L（1）求 or ；求级数QF Q2F2 LQnPn L的和.其中n(n 1)为自然数，而M1M2表示点Mi与M2之间的距离八、(本题满分6分)设函数

6、ft在0,)上连续，且满足方程f(t) e4"f(：ix2 y2)dxdy,x2 y2 4t22求 f (t).九、(本题满分6分)设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量,b为常数记分块矩阵tA0 ,Q其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵(1)计算并化简PQ ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是tA 1 b.十、（本题满分10分）设三阶实对称矩阵 A的特征值是1,2,3 ;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是i （ 1, 1,1）T, 2（1, 2, 1）T.（1）求A的属于特征值3的特征向量;求矩阵A.十一、（本题满分7分）11假设随机变量X的绝对值不大于1 ； PX1 -,PX 1；在事件84 1 X 1出现的条件下，X在（1,1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比 試求X的分布函数F（x） PX x.十二、（本题满分6分）游客乘电梯