016第六章曲线运动

1、第二章曲线运动一、概念和公式：1、曲线运动：曲线运动定义：曲线运动是一种轨迹是曲线的运动，其速度方向随时间不断变化曲线运动中质点的瞬时速度方向：就是曲线的切线 方向曲线运动是一种变速运动，因为物体速度方向不断 变化，所以曲线运动的物体总有加速度说明：曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度；但变速运动或具有加速度的运动不一定是曲线运动两种常见的曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动2、物体做曲线运动的条件：曲线运动的物体所受的合外力不为零，合外力产生加速度，使速度方向（大小）发生变化曲线运动的条件：物体所受的合外力F与物体速度方向不在同一条直线上力决定了给定物体的加速度，力与速度的方向关系决定了物体运

2、动的轨迹F （或a）跟v在一直线上t直线运动：a恒定t 匀变速直线运动；a变化t变加速直线运动。F （或a）跟v不在一直线上t直线运动： a恒定 t匀变速曲线运动；a变化t变加速曲线运动根据质点运动轨迹大致判断受力方向：做曲线运 动的物体所受的合外力必指向运动轨迹的内侧， 也就 是运动轨迹必夹在速度方向与合外力方向之间。例1:如图所示，物体在恒力 F作用下沿曲线从 A运 动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即 由F变为一F。在此力作用下，物体以后运动情况， 下列说法正确的是A .物体不可能沿曲线 Ba运动；B 物体不可能沿直线 Bb运动；C 物体不可能沿曲线 Bc运动；D物体不可能沿原

3、曲线由 B返回A解析：因为在曲线运动中，某点的速度方向是轨 迹上该点的切线方向，如图所示，在恒力作用下AB为抛物线，由其形状可以画出Va方向和F方向。同样， 在B点可以做出vB和一F方向。由于vB和一F不在一 条直线上，所以以后运动轨迹不可能是直线。又根据 运动合成的知识，物体应该沿 BC轨道运动。即物体 不会沿Ba运动，也不会沿原曲线返回。掌握好运动和力的关系以及物体的运动轨迹形 状由什么决定是解好本题关键。答案：A、B、Do3、运动的合成和分解速度的合成和分解合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动， 那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运 动；那几个运动叫做这个实际运动的分运动合

4、运动与分运动的关系： 等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规 律有完全相同的效果 独立性：某个方向上的运动不会因为其它方向 上是否有运动而影响自己的运动性质。 运动独立性原理（叠加原理）：一物体可同时参 与几种不同的运动，在研究问题时可以把各分运动都 看作互相独立进行，它们互不影响。而一个物体的运动可以看成由几个各自独立进行的运动的叠加而成 等时性：合运动通过合位移所需的时间和对应 的每个分运动通过分位移的时间相等。即各分运动总 是同时开始，同时结束运动合成分解： 运动的合成和分解：已知分运动求合运动叫运 动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解 运动的合成和分解的运算法则：是指物体运动 的

5、各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解a、 合运动的位移等于二分运动位移的矢量和，符 合平行四边形法则b、 合运动的速度等于二分运动速度的矢量和，符合平行四边形法则 竖直方向是自由落体运动:tan :_ y _ gtx2VoX 二 VotC、合运动和分运动具有等时性当两直线运动的合速度的方向和合加速度的方向 重合时，合运动为直线运动曲线运动可分解为两个方向上的直线运动，分别 研究两方向上的受力和运动规律4、绳拉物体的速度分解问题：原理：物体运动的速度 v为合速度，这个速度在沿 绳子方向的分速度Vi就是绳子拉长或缩短的速度，物 体速度V的另一个分速度V分就是绳子的摆动速度，它 一定和Vi垂直总

6、之一句话：绳端速度总沿着绳子方向 和垂直于绳子方向分解，以物体的实际运动为合运动。5、小船渡河的四个极值问题渡河问题，是运动合成与分解的典型模型，这里介 绍四个极值问题及其应用设船对水的速度为 Vi（即船在静水的速度），水的速度 为V2 （即水对河岸的速度），河的两岸平行，宽度为 L当船头垂直河岸时，渡河时间最短：t =-Vi当V2，合速度方向垂直河岸时，渡河位移最小：s=L当Vi说明：研究匀速圆周运动时常常采用的是控制变量法。2、匀速圆周运动解题步骤：明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动， 找出圆心和半径确定研究对象在某位置（某时刻）所处状态，进 行受力分析，作岀受力分析图，找岀提供向

7、心力 的力（或合力）。写岀需要的向心力公式：2 2 2Fn= m3 r=m v /r=m 3 v=m （2n /T） r列方程，总是取指向圆心的方向为正。检查结果的合理性，并进行必要的分析讨论。例6:质量相等的小球A B分别固定在轻杆0B的中 点及端点，当杆在光滑水平面上绕0点匀速转动，女口图所示，求杆的 0A段及AB段对球的拉力之比？解析：A、B小球受力如图所示，在竖直方向上 A与B处于平衡态。在水平方向上根据匀速圆周运动规律Na NaJTaL Jl t汽、* (T套f* rmg ms2Ta -Tb = mOA，2TB . OB，OB =2OA。2 2Ta = m 3OA， Tr =2 OA

8、，Ta : Tb = 3 : 2答案：Ta : Tb = 3 : 23、匀速圆周运动的实例分析火车拐弯问题：由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心 力就很大。如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受 的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨， 从而重力，铁轨支持力和侧向压力的合力提供火车拐 弯时所需的向心力。例7 :铁轨拐弯处半径为 R,内外轨高度差为H两轨间 距为L,火车总质量为 M贝U:火车在拐弯处运动的“规定速度Vp ”大小为，若火车实际速度大于 Vp，则轨将受到侧向压力，若火车实际速度小于 Vp，则轨将受到侧向压力。2解析： mgtan 0 =m Rv = . gRtan j :

9、. g R H/L火车做离心运动，夕卜轨受到侧向压力。火车做向心运动，内轨受到侧向压力。例8:在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即 当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些， 路面与水平面间的夹角为 0设拐弯路段是半径为 R 的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向（即垂 直于前进方向）摩擦力等于零，0应等于（）2vA .arcsinRg2vB . arctan Rg21 2vC . arcsin2 Rg2vD. arccotRg解析：如图所示，要使摩擦力为零，必使车受的重力与支持力的 合力捉供F n =mgtan 02=m ，故所以0R向心力，贝U ：2varctanRg。即答案

10、为B。说明：铁路、高速公路、杂技表演等，都是利用自 身的重力分力提供转弯所需的向心力。“水流星”节目分析例9:绳系杯子在竖直平面内圆运动，最高点杯中 水不流出的原因是：杯在最高点的最小速度 vmin=，设杯内水的质量为 m,则当最高点的速度 v1 vmin时，杯对水的压力 N 设杯运动到最低点速度为v2，则此时水对杯的压力N=。解析：水和重力提供水做圆周运动的向心力mgmg2v 二 mlgl N -mg2v=m一l2v二 ml2VN = m -mg2vN 二 m mg“绳模型”绳拴一小球在竖直平面内做圆周运动、小球在竖直平面内单轨道的内单侧做圆周运动都属于绳模 型。临界条件：绳子或轨道对小球没

11、有作用力2vmgv临界二.gRR说明：如果小球带电，且空间存在电、磁场，临界条 件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 v临界-gR小球能过最高点的条件：V _ I gR小球不能过最高点条件：V , gR绳拴小球或小球在竖直平面内单轨道内侧做圆周运动，在最高点的最小速度 Vmjn = . gR例10 :一宇航员抵达一半径为 R的星球表面后，为了 测定该星球的质量 M，做如下的实验，取一根细线穿 过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝码， 使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直 管，砝码可继续在同一竖直平面内

12、做完整的圆周运动， 如图所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的 最低点和最高点两位置时测力计的读数差F，已 知引力常量为G,试根据题中所提供的条件和测量结 果，求岀该星球的质量 M。2V1 解析：最咼点 Fi+mg=m，r2最低点，r根据机械能守恒定律：11vi2+mg 2r=22可得g=2mv2，m m星球表面上质量为 m的物体所受重力等于万有引力,即GMmR2=mg，M止QG 6Gm点评这是一道与万有引力知识相结合的试题，- 要解决圆运动的问题，二要处理星球表面重力加速度 的概念。“杆模型”杆粘小球在竖直平面内做圆周运动或小球在竖直平 面内双轨道的内侧做圆周运动。临界条件：v=0 （有

13、物体支承的小球不会脱落轨 内，只要还有向前速度都能向前运动）小球在最高点的受力分析：（杆或双轨道的内外 环对小球产生的弹力即可指向圆心也可背向圆心）当V = 0时，杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，大小为：N= mg。当0 ： V ： . gR时，杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，2亠亠V大小为：N=mg-m ； n随v的增大而减小y R 当v = . gR时，杆对球作用力n= 0或内外环对球均无作用力。 当v 、gR时，杆对球作用力为拉力或外环对其有支持力，方向指向圆心方向，大小为：2N = m - mg; N随v的增大而增大。R例

14、11:长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固 定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运 动，关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是A. v极小值为、gLB. v由零增大，向心力也逐渐增大C. 当v由、gL逐渐增大时，杆对小球的弹力也D.当V由gL逐渐减小时，杆对小球的弹力逐逐渐增大渐减小解析：由于杆既可以承受压力又可以承受拉力，因此 小球受合力既可以大于小球重力又可以小于小球重 力，也可以等于小球重力。当杆受力为零时，重力充2当向心力mg， v = ,*gL。当v .gL时杆对小球施拉力；v ：,. gL时杆对小球施压力，因此 v极小值可以小于,gL，只要大于0即可。故正确选项

15、是B、C D例12 :一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内， 环的半径为R（比细管的半径大得多）在圆管中有两个 直径与细管内径相同的小球（可视为质点）.A球的质量 为m B球的质量为 m2.它们沿环形圆管顺时针运 动，经过最低点时的速度都为 vo.设A球运动到最低 点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于 圆管的合力为零，那么m m2、R与v0应满足的关系 式是。解析：这是一道圆周运动与机械能守恒的综合题目，也是一道情景新颖的讨论题，要求能正确地对 A、B 两球进行受力分析，判断出A、B受到圆管对它们的作 用力的方向，列出正确的方程式，问题便会迎刃而解。 由题意可知，为了使在最高点的

16、B球和最低点的A球 对圆管的作用力的合力为零，则有：2v0对A，N A -m1g= mr（ Na的方向必向上）。R2v0对B， N B +m 2 g= m 2 （Nb的方向必向下）.又知B球在最低点时速度为 v0，在最高点时速度为V，则应有22m 2 v + m 2 g 2R,2则有A、B对圆管的合力为零整理得m2v0故所以得（口丄一m? ） + （mi +m 2 ） g = 0。R汽车过桥问题，汽车质量为m通过一桥：当汽车以速率v通过半径为r的拱形桥，在最高点2v对桥的压力为：N =mg-m；且压力随v的增R大而减小； 当车的速度v = . gR时，其在最高点对桥的压力为零； 如汽车以速率v通过半径为R的凹形桥，则最低点2桥对车的支持力为 n = m= mg；且支持力随vR的增大而增大。水平转台上物体运动分析，水平转台上的物体 m随 转台一起匀速转动，当半径不变，角速度增大时， 设物体仍作匀速圆周运动，则物体受到的静摩擦力增 大，弹力不变，向心力增大，向心加速度增大；当角速度不变，半径增大时，设物体仍作匀速圆周 运动，则物体受到的静摩擦力增大，线速度增大，向 心加速度增大例14：如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转