布洛慧定理的证明

1、例题 71 布洛慧定理的证明 对三维点阵证明布洛赫定理 证明对布喇菲点阵的平移矢量R我们定义平移算符TR，当它作用在任何一个函数f(r)上时使r平移一个R， TRf(r)=f(r+R) (1) 由于哈密顿量H的周期性，有 (2)于是有TRH=HTR (3)此外，连续两次应用平移算符，共结果与先后顺序无关，即对任何(r)有 (4)故有 (5)式(3)表明H和TR(对所有R)是对易算符，它们应有共同本征函数,即 (6)由于条件式(5)，平移算符的本征值c(R)是有一定关系的, (7)而按照式(5),有 (8)故TR的本征值必须满足 (9)用i(61，2，3)表布喇菲点阵的三个基矢，我们总可以适当选

2、择xis使c(i)写成 (10)由于点阵矢量，连续应用式(9)可以得到 (11)这正好等价于c(R)=eikR (12)其中 k=x1b1+x2b2+x3b3 (13)b1是是倒易点阵基矢，。 出上述可见，我们可以适当选择H的本征函数，使 (14)而这正是布洛赫定理的形式(71) 72 克朗尼格-朋奈(KronigPenney)模型 按照克朗尼格朋奈提出的周期势场模型，晶体中的周期势由一系列方势阱组成(图710)，势阱宽度为a，势垒宽度为b，势垒高度为U。讨论电子的能带。解 在0<x<a的区内，电子势能U0，薛定谔方程为 (1)是向右和向左进行的行波的线性组合， (2)能量为 (3

3、) 在-5x0，势能为U0，薛定谔方程为 (4)解得形式为 (5) (6)系数A、B、C、D的选取必须使和ddx在x0和x=a处连续由在x0处连续得到A+B=C+D (7) iKA-iKB=QC-QD (8)由布洛赫定理得到，x在aa+b间的波函数是-b0间的波函数乘以位相因子eik(a+b)，这里是布洛赫波的波矢于是由在xa处连续得到(9) (10)要A、B、C、D有非零解，要求系数行列式为零由此解得 (11)由于是实数，有此式是决定电子能量的越越方程由于求解此方程相当复杂，为了简化，我们取极限b0，U0，使Q2ba/2P这个量保持有限，于是得到一个周期性的函数势，式(11)简化为 (12)

4、利用式(12)可以确定电子的能量先画出作为a的函数的曲线出于cosa。介于-1和+1之间，可以由此确定满足此条件的值由式(3)可以求出能量，图711画出了P=3/2时许可的a值，找出其相应的纵坐标cosa，由此算出与每个对应的值，就得到图712的(a)函数曲线我们看到在布里渊区边界处山现能隙 73 一维点阵布里渊区边界附近的近似解(a)证明周期为a的一维点阵中自由电子波函效在布里渊区边界上是简并的(b)考虑弱周期势的微扰，证明一级近似下布里渊区边界G/2处的能量间隙为2UG。这里UG 是势的博里叶分量系数，G是一维倒易点阵矢量(c)证明在布里渊区边界附近，弱微扰后的能带对有抛物线关系，这里是从

5、区边界(G/2)算起的波矢。证明(a)考虑恰好在布里渊区边界G/2处的波矢，自由电子能量为因而在区边界G/2处，平面波=±G/2子有相同动能；相应的自由电子波因数为e±iGx/2 (b)用式(717)可以求出简并的二能级系统微扰后电子的能量令=G/2，由式(717)得到 (1) (2)由系数行列式为零的条件解得 (3)在布里渊区边界G/2上，能量有两个根，一个比区边界上自由电子能量高UG，一个比区边界上自由电子能量低UG于是弱周期势场的影响是在区边界上造成一个宽度为2UG。的能隙由式(1)和式(2)可以解出两个C之比： (4)于是波因数(x)有俩个解： (5)一个对应能隙底

6、部的波函数，一个对应能隙顶部的波函数哪一个解有较低能量决定于UG 。的符号.设UG 0，则“+”号对应前者，“一”号对应后者UG0则相反 (c)在确里渊区边界附近，属于近简并的二能级体系问题，仍用(7.17)，有 (6) (7)其中是波矢为的自由电子的能量 由系数行列式为零的条件得到 (8)解得有两个根 (9)每一个根描写一个能带为方便起见引入从区边界G/2计算起的波矢于是式(9)化为 (10)这里必须满足.令即区边界上能量的两个根式(3)，则式(10)又可写为 (11)这就是波矢十分靠近区边界G/2时能量的两个根，可以看到能量对有平方依赖关系，见图(713)74 在波矢空间布喇格平面相遇处弱

7、周期势的影响考虑面心立方结构的一布里渊区中的W点(见图714)，有三个布喇格平面(200)、(111)、(11)在此相交，因而自由电子能量在点时间并的，并都等于 (a) 证明在k空间W点附近一级能量由求解下述行列式决定：其中，在W点，解得根为=w-U2(二重根)=w+U2± 2U1(b) 用类似方法证明在U点(kU(2/a)(1,1/4,4/4)能量为 这里. 解(a)在第一布里渊区的W点，有三个布喇格平面(111)、(11)、(20 0)相交在达点上，自由电子能量是简并的 即(i=1，2，3，4) (1)这只须将代入上式即可看出。为了计算一级近似下W点附近简并能级的能量分裂，用式(

8、7.15) (2)其中G1=0，G2=2/a(1,1,1),G3=2/a(1,1),G4=2/a(2,0,0) 式(2)是Ck-Gi的四个线性齐次联立方程由系数行列式为零的条件可以解出能量为此，将式(2)写成矩阵形式： (3)利用面心立方点阵的对称性，我们有(4) (5)于是式(3)简化为 (6)令，由式(6)中系数行列式为零的条件得到 (7)解得 (8)(b)在U点ku=2/a(1,1/4,1/4)有两个布喇格平面(111)、(200)相交，有方程(7.15)得到 (9)其中G1=0，G2=2/a(1,1,1),G3=2/a(2,0,0).由于kU2=(kU-G2)2=(kU-G3)2,在U

9、点自由电子能量简并， (10)其中，。将式(9)写成矩阵形式： (11)利用，将式(4)、式(5)代入式(11)，有系数行列式为零的条件得到 (12)解得 (13) 7.5 二维正方点阵 设有二维正方点阵，晶体势场为用方程(7.7)近似求出布里渊区M点处的能隙。解见图7.15， M点是三个布喇格平面(10)、(01)、(11)的交点。在这个点，自由电子能量 (1)是相等的， (2)设晶体势场是弱周期势，用方程(7.15)可以计算一级近似下的能积分裂。 (9)其中G1=0，G2=2/a(1,0)，G3=2/a(0,1)，G4=2/a(1,1)。写出式(3)的矩阵形式注意UGj-Gi=0(j=i)

10、 (4) 将U(x,y)写成U(r)并对G展成傅氏级数，这里是二维正方倒易点阵基矢。. (5)U(r)只有四个傅里叶分量：相应的系数为 (6)其余为零。将式(6)代入式(4)，令，由系数行列式为零的条件得到 (7)此4×4行列式可以写为2×2行列式 (8)于是解得(各为二重根) (9)76 简约区中的自由电子能量 在空点阵近似下1，画出fcc点阵111方向能带的简约区图。取到区边界上的能量为最低能带能量的六倍为止。以这个最低能量为单位，标出各能带在区中心和区边界上的值。解fcc点阵的倒易点阵矢量为其中l1、l2、l3为整数。第一布里渊区为截角八面体，在111方向(即沿L方向

11、) ，有 (1)自由电子能量为 (2)这里能量以为单位。将式(1)代入(2).自由电子能量为(1) 取G=0 (k)=k2在区中心点，k=0,有()= (0)=0在区边界L点，(2) 取(3) 取(4) 取(5) 取(6) 取画出能带曲线如图7.16所示。77 二维正方点阵的布里渊区 考虑一个点阵常数为a的二维正方点阵。(a)写出每个初级晶胞中含有m个自由电子的费米圆的半径以2/a为单位。对m=1,2,12作一个表，示出前七个布里渊区(图7.17)中那些是完全填满的，哪些是部分填充的，哪些则是全空的。证明如果m 12,被占据的状态完全在前七个布里渊区内；当m 13，第八和更高的布里渊区才被占据

12、。(b)对m=1,2,7，在适当的倒易点阵初级晶胞中画出费密面的各支。例如，对m=4,第三区的费密面如图7.18所示。解(a)每个初基晶胞有m个电子，晶体中有N各初基晶胞，共有电子数mN。费密波矢为 (1) (2)以为单位列表如下：各布里渊区电子填充情况如下表：其中F表示完全填满，P表示部分填满，E表示全空。(b) 对m=1，2，,7,画出费密面各支如图7.19所示。78 布喇格平面附近的近自由电子费密面 为了研究式(7.17)所给出的单个布喇格平面附近自由电子的能带结构，我们常为了方便引入从布喇格平面上的G/2点计算起的波矢，K=G/2+，并把分解为与G垂直和平行的两个分量和。于是式(7.1

13、7)成为 (1)为了方便，我们也从上式所给出的布喇格平面内能带的最低值起计算费密能F， (2)于是当0时，费密面不与布喇格平面相交。(a) 证明当0<<2|UG|，费密面完全在较低的能带中，并且和布喇格平面相交的圆的半径为 (3)(b) 证明，如果>|UG|，费密面位于两个能带中，和布喇格平面相交的圆的半径为1和2 (图7.20)，则两个圆的面积差为(对于某些金属，这些圆的面积可以直接用德哈斯-范阿耳芬效应测量。于是可以直接由实验结果求出这些近自由电子金属的|UG|来。)解当0<<2|UG|时，费密面完全在第一能带中，如果要求费密面全在第一能带中，即或 即要求0&

14、lt;<2|UG|费密面和布喇格平面相交的圆的半径为，即当=F时有。在式(1)中带入此关系得到这里，由于费密面完全在较低能带中，故只取“-”号。又由于两式比较可得。当>|2UG|时有故费密面进入较高能带中，并有对较高能带，并取“+”；对较低能带，并取“-”号。于是我们得到故有79 矩形点阵的布里渊区一块二维金属，每个简单矩阵初基晶胞(a=2埃,b=4埃)中有一个单价原子。(a) 绘出第一布里渊区并以cm-1表出尺寸。(b) 计算自由电子费密圆的半径(以cm-1为单位)。 (c) 在布里渊区中画出此费密圆，并将其修正为近自由电子的费密面，在周期图中画出自由电子第一、第二的前几个周期。

15、解(a) 该矩形点阵的初级矢量为 （以埃作单位）倒易点阵基矢为画出矩形点阵的第一、二级布里渊区如图721所示，第一布里渊区的面积为(b) (c) 画出自由电子费密圆如图722所示修正后的近自由电子费密面如图723所示 710 金属钠和铜的费密面 计算具有bcc结构和fcc结构的两种单价金属的kF/kM，其中kF是费密波矢， kM的波矢空间原点到第一布里渊区边界的最小距离讨论你的结果与金属钠(bcc)和铜(fcc)的费密面有什么关系 解 fcc结构的第一布里渊区是截角八面体，其kM是最短倒易点阵矢量长度的一半，即由于一个立方惯用晶胞中有四个价电子，费密波矢为所以 bcc结构的第一布里渊区是菱形十

16、二面体，最短的倒易点阵矢量长。于是由于每个立方晶胞有二个价电子，所以，bcc纳构的kF/kM值较小，这至少是金属钠有近似于球形费费密面的部分原因而金属铜的kF/kM值较大，在自由电子费密面接近布里渊区六角形边界的地方，由于弱周期势的影响，费密面向区边界凸出，与区边界正交(图724)于是在所有六角形面上费密面与区边界接触711 二价金属能带的重迭 (a)对于二维简单正方点阵，证明第一布里渊区角隅上的点(/a，/a)的自由电子动能是区边中心点(/a，0)的二倍 (b)对简单立方点阵相应的倍数是多少？ (c)由此解释对二价金属的电导率有什么影响？ 解(a) 二维正方点阵第一布里渊区(/a，/a)点(

17、图725)的自由电子动能为(/a)点的动能为所以(b) 简单立方点阵第一布里渊区角隅点(/a，/a，/a)自由电子动能为侧面中点(/a，0，0)(图7.26)的自由电子动能为所以(c) 由(b)知道，如果能隙很小，简单立方点阵100方向和111方向能带是互相交迭的如图727(a)100方向第二带带底的能量比111方向第一带带顶的能量要低于是，二价金属(每个初基晶胞含有二个价电子)本可以填满第一布里渊区中的所有状态(即各方向的第一能带)，但由于不同方向能带交迭，结果100方向第二能带已部分填充，而111方向的第一能带尚未填满，形成两个部分填充的能带如图727(b)于是在外加电场下可以导电虽然电导

18、率不如单价金属好，但不会形成绝缘体如果区边界上能隙较宽，能带交迭不发生，则二价元素将形成绝缘体(图7.28)。 7.12基元的几何结构因子 (a) 证明，对带有基元的点阵，基元的结构因子为零时，势函数相应的傅里叶分量系数UG也为零 (b) 考虑点阵常数为a和c的简单六角点阵的第一布里渊区，用Gc代表平行于晶体点阵c轴的最短倒易点阵矢量，证明六角密堆积结构晶体势U(r)的傅里叶分量Uc0 (c) U2Gc是否也为零? (d) 说明为什么原则上可以得到由处于简单六角点阵的阵点上的二价原子所构成的绝缘体，但不能得到六角密堆积结构的单价原于构成的绝缘体？ 解(a) 假定基元由位于ri的同种原子组成，于

19、是晶体势场可以写为 (1)其中是位于阵点R的第j个原子(相对于阵点的位置矢量为rj)的势将式(1)代入到势的傅里叶分量系数中， (2)这里V是晶胞体积。于是有 (3)令，上式化为 (4)或 (5)其中，是原子势的傅里叶变换， (6)是基元的结构因子， (7)我们看到，对某些布喇格平面，当基元的结构因子为零，相应的布喇格峰消失同时，和这些平面相联系的用周期势的傅里叶分量系数UG以为零于是，自由电子最低级的能级分裂也将消失(b) 由例题218 (d)六角密堆积结构的结构因子岁0，故相应的UG0于是在第一布里渊区相应的布喇格平面(Gc/2)上，一级近似下的能隙消失 (c) 由例题218 (c) 0，

20、相应的U2Gc亦不为零布喇格平面(2Gc)/2上一级能隙存在于是，对处于简单六角点阵上的二价原子构成的晶体，每个初级晶胞有两个价电子，N个初基晶胞有2N个价电子，刚好可以填满第一布里渊区(一个能带)故原则上可以形成绝缘体(如果没有能带交迭)但对于单价原子的六角密堆积结构，虽然每个初基晶胞也有两个价电子，N个初基晶胞，有2N个价电子，但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失，和第二布里渊区连通，形成一个复合区，可以容纳4N个电子，2N个电子只能填充这个复合区的一半于是，在外加电场下可以导电因而单价原子的六角密堆积结构原则上不可能形成绝缘体 7.13 面心立方点阵s电子的紧束缚能带(a)证明面心立方

21、点阵最近邻近似下s电子的紧束缚能带为 (1)其中Es是原子s能级的能量，和是两个积分 (b) 证明在k0附近等能面近似为球形并计算有效质量m* (c) 证明沿第一布里渊区的主要对称方向(如图729所示)。面心立方点阵s带能量的紧束缚表达式(1)简化为 (i) 沿 (ii) 沿 (iii) 沿 (iv) 沿 (d) 证明在布里渊区小方形而上的法向导数为零 (e) 证明在布里渊区的六角形面上，的法向导数只有在沿六角形中心到各顶点的连线上才为零： 解 (a)由式(723)知 (2)对于面心立方点阵，原点的12个最近邻位于 (3)于是的12个相应的值为 (4)现在具有点阵的全立方对称性，因此，在宗量交

22、换或改变符号时是不变的，而且s能级波函数(r)只依赖于r的大小，与方向无关于是对于12个最近邻(R)有相同值将式(4)代入式(2)有 (5)其中 (6) (b) 在的极限下，将等用泰勒级数展开取一级近似，得 (7)显然(k)和k的方向无关，即等能面为球形 有效质量m*为 (8) (c) (i) 沿方向，将代入式(1)得 (9)(ii) 沿代入式(1)，得 (10) (iii) 沿代入式(1)，得 (11) (iv) 沿方向，代入式(1)，得 (12)(d) 将(k)对于kx方向求方向导数，由式(1)，得 (13)这里是kx方向的方向余弦，它们为,故有将正方形面上代入，得 (14)故在第一布里渊

23、区正方形面上，的法向导数为零。(e)将(k) 对的方向求方向导数，式(12)中，于是 (15)将(1)求偏导数后代入式(15),得 (16)一般说来，此导数并不为零，但沿六角形面中心(L)到各顶点(W)的连线(图730)，此导数为零为了证明，先写出直线LW的参数方程。以为单位，有即 (17)将(17)代入式(16)，得 (18)由对称性可知，由六角形中心到任一顶点的连线均满足此关系 714 瓦尼尔(Wannier)函数 瓦尼尔函数由布洛赫函数定义 (1)用布洛赫函数的正交性证明，中心在不同阵点的瓦尼尔函数是彼此正交的，即如果在一个初基晶胞内是归一的，证明证明由布洛赫函数的正交性有 (2)根据瓦

24、尼尔函数的定义有利用公式上式化为如果在一个初基晶胞内是归一的，即则有这里，我们注意到瓦尼尔函数是定域在阵点R上的，当r的值比原子尺度的某个长度大得多时，小到可以忽略不计 715 二维正方点阵的能量等值线 对于二维正方点阵，画出近自由电子的能量等位线对于每个初基晶胞内含有两个价电子的二价金属，画出费密面选择使电子费密面闭合的区域图，指出费密面属于电子型还是空穴型解 在二维正方点阵的第一布里渊区中，画出自由电子费密圆图7.31(a)考虑到弱周期势的影响，注意区边界出现能隙，并且近自由电子的能量等值钱在区边界附近和区边界正交修正后的近自由电子能量等值线如图731(b)所示对于每个初基晶胞内含有两个价

25、电子的二价金属，费密面如图732所示自由电子的kF为其中Z是每一个初基晶胞中的价电子数，这里Z=2，故故费密面进入第二布里渊区。 716 二维正方点阵的紧束缚s电子能带 用紧束缚近似写出二维正方点阵最近邻近似下的s电子能带，在第一布里渊区中，画出能量等值线并计算带底电子和带顶空穴的有效质量 解当时，有。当时，有。显然带宽为8。画出第一布里渊区中能量等值线，如图733所示(与图731(b)比较)显然ABCD是一条能量等值线这可以如下来证明；写出A，B，C，D四点的坐标为，四点能量相等，即故的能量等值线方程为即所以此方程给出第一布里渊区中的四条直线AB，BC，CD，DA. 为了计算带底电子的有效质

26、量，利用，将余弦函数作泰勒级数展开，取一级近似，于是有能量等值线为圆。相应的有效质量为带顶空穴的有效质量可以用同样方法计算只是引入从布里洲区角隅(/a，/a)计算起的波矢利用带顶附近有，将和作泰勒级数展开，取至平方项于是在带顶(/a，/a)附近的能量为能量等值线仍为以(/a，/a)为中心的圆于是带顶附近电子的有效质量为孔穴有效质量为717 椭球等能面的状态密度 锗和硅晶体导带极值附近的等能面可以近似看作是旋转椭球 (1)求导带极值附近的状态密度。解的等能面方程为 (2)令于是式(2)化为 (3)能量为的等能面内所包含的状态数为 (4) (5) 若ml=mt=m,则椭球化为球， (6)这正是球形

27、等能面的状态密度 对于锗和硅，由于导带极值数不只一个，总的状态密度还须乘以极值数目。7.18 迴旋共振数据的解释(a) 在硅的导带极小值附近，等能面为旋转椭球，沿<100>力向共有六个导带极小值(图734)，共横向有效质童矾产mt0.2m，纵问有效质量ml1.0m，这里m是自由电子质量硅的迴旋共振信号如图735所示将图734和图735比较，试说明为什么硅虽有六个电子椭球却只有两个电子迴旋共振峰出现? (b) 证明图735中电子迴旋共振峰的位置和上面所给出以电子有效质量的数据及公式 (1) (2)是相符的这里m1,m2,m3是椭球等能面三个主轴方向的有效质量，是磁场相对于椭球主轴的三

28、个方向余弦(c) 在锗的导将极小值附近，等能面也为旋转椭球，沿111方向共有八个导带极小值(图736)其横向有效质量mt 0.08m，纵向有效质量ml1.6m锗的迴旋共振信号如图737所示比较图736和图737，试说明为什么锗虽有八个电子椭球却只有三个电子迴旋共振峰的出现(d) 证明图737所给出的电子共振峰的位置和电于有效质量的数据相符。 解 (a)由实验条件，磁场在(110)平面内并与001方向成30°角，磁场方向的单位矢量在x，y，z轴上的分量为 (3) 有式(2)，迴旋共振有效质量为 (4)这里ml = m2mt，m3ml，是磁场与椭球纵轴间的夹角. 考虑沿x轴的一对椭球，由

29、式(3)有于是代入式(4)得到迴旋共振的有效质量m1*为 (5) 考虑沿y轴的一对椭球，所得结果与m1*相同。考虑沿z轴的一对椭球，故有 (6)由于只有两个不同的，也就只有两个不同的m*，因而只出现两个电子迴旋共振峰 (b)将ml=1.0m，mt0.2m代入式(5)，得 (7)相应的迴旋共振磁场H1为 (8)将=2.4×1010s-1, e=4.8×10-10esu, c=3×1010cm×s-1代入式(8)得到H1=3130Gs同理，故和图735中所示的数据(2950,1900Gs)相符。 (c)对于锗，我们有现在电子椭球沿111方向共有八个，这八个方

30、向的单位矢量为用ml = m2mt，m3ml，现必须取沿111轴的投影。(i)对有用mt=0.008m，ml1.6m得到(ii)对有(iii)对有其结果与(ii)相同。(iv)对有由于只有三个不同的m*,故八个椭球只有三个电子峰。(d)将m1*,m2*,m3*的值分别代入得与图7.37中的数据相符。 719 空穴 已知价带边附近电子的能量为将一个电子从k1×107kx处移走，于是能带成为不满的，试给出 (a) 该空穴的有效质量的符号和数值 (b) 该空穴波矢量的方向和数值 (c) 空穴的晶体动量 (d) 空穴的速度 (e) 价带边处该空穴的能量 (f) 该空穴所远载的电流解(a) 由

31、(me为电子有效质量)得所以 (b) (c) (d) (e) (f) 720 均匀磁场中电子的运动 (a)证明均匀磁场小电于在波矢空间中运动的轨道是与磁场垂直的面和等能面的交线 (b)讨论电子在真实空间中的轨道与波矢空间中的轨道有何关系 (c)单价四角金属中的开放轨道连通相对的布里渊区的界面，这些界面相距G=2×108cm-1设磁场强度H=103Gs垂直于开放轨道的平面，取电子速度v 108cm.s-1，问电子在波矢空间中运动的周期是多少？描述磁场中电子在其实空间中的运动。 解 (a)电子在均匀磁场中的半经典运动方程为 (1) (2)由这两个方程可以看到，沿磁场方向k的分量是常数，并

32、且z在整个运动过程中，电子能量也是常数。这两个守恒定律决定了电子在k-空间中的轨道：电子所沿的曲线决定于等能面和垂直于磁场的平面的交线电子沿轨道运动的方向决定于v(k),v(k)正比对应k的梯度，在k-空间中从较低的能量指向较高的能量(图738)。(b) 真实空间中的轨道在垂直于磁场H的平面内的投影可以由式(2)两边“×”乘一个平行于磁场的单位矢量求得。 (3)于是积分后得到 (4)由于对一个矢量“×”乘以与之垂直的单位矢量也就是使这个矢量绕单价矢量旋转90°所以我们得到结论：真实空间中的轨道在垂直于磁场平面内的投影就是k-空间中的轨道绕磁场方向转动90°，并且在尺度上乘以因于(图739)(c) 对于图738(c)所示的开放轨道，近似计算得到电子运动的周期为真实空间中电子运动的轨道在垂直干磁场平面内的投影如图740所示，轨道也是不闭合的如果开口方向沿kx轴，则电子y方向的平均速度分量将不为零就是在强磁场vy也是有限值于是相应的电导分量yy，将趋于常数。横向磁阻将按H2，而无限增加，这与闭合轨道的横向磁阻在强磁场下趋于饱和是不同的(习题747)721 均匀磁场中布洛赫电子能量和轨道面积的量子化 均匀磁场