三角函数恒等变换含复习资料及高考题

1、三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆及角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次及升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。1已知tanx=2，求sinx，cosx的值解：因为，又sin2xcos2x=1，联立得解这个方程组得2求的值解：原式3若，求sinxcosx的值解：法一：因为

2、所以sinxcosx=2(sinxcosx)，得到sinx=3cosx，又sin2xcos2x=1，联立方程组，解得所以法二：因为所以sinxcosx=2(sinxcosx)，所以(sinxcosx)2=4(sinxcosx)2，所以12sinxcosx=48sinxcosx，所以有4求证：tan2x·sin2x=tan2xsin2x证明：法一：右边tan2xsin2x=tan2x(tan2x·cos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1cos2x)=tan2xtan2x&#

3、183;cos2x=tan2xsin2x，问题得证5求函数在区间0，2p 上的值域解：因为0x2，所以由正弦函数的图象，得到所以y1，26求下列函数的值域(1)ysin2xcosx+2；(2)y2sinxcosx(sinxcosx)解：(1)y=sin2xcosx21cos2xcosx2=(cos2xcosx)3，令t=cosx，则利用二次函数的图象得到(2)y2sinxcosx(sinxcosx)=(sinxcosx)21(sinxcosx)，令t=sinxcosx，则则，利用二次函数的图象得到7若函数y=Asin(x+)(0，0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象及x轴交于

4、(6，0)，求这个函数的一个解析式解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而及x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以又由，得到可以取8已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求f(x)的最小正周期； ()若求f(x)的最大值、最小值数的值域解：()因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x所以最小正周期为()若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为1 已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到

5、），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2 求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，当时，所以，函数的值域为。3已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解： (1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。4 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （xR）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=

6、cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kZ（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标

7、缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。第 16 页历年高考综合题一，选择题1.（08全国一6）是 （ ）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数2.（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位3.(08全国二1)若且是，则是 （ ）A第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角4.（08全

8、国二10）函数的最大值为 （ ）A1 B C D25.（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是 （ ）ABCD6.（08福建卷7）函数y=cosx(xR)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 ( )A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx7.（08广东卷5）已知函数，则是 （ ）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数8.（08海南卷11）函数的最小值和最大值分别为 （ ）A. 3，1B. 2，2C. 3，D. 2，9.（08湖北卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F，

9、若F的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 （ ） A. B. C. D. 10.（08江西卷6）函数是 （ ）A以为周期的偶函数 B以为周期的奇函数C以为周期的偶函数 D以为周期的奇函数11.若动直线及函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 （ ）A1 B C D212.（08山东卷10）已知，则的值是（ ）A B C D13.（08陕西卷1）等于 （ ）A B C D14.（08四川卷4） ( ). . . .15.（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A BC D16.（08

10、天津卷9）设，则 （ ）AB C D17.（08浙江卷2）函数的最小正周期是 （ ） A. B. C. D.18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.4二，填空题19.（08北京卷9）若角的终边经过点，则的值为 20.（08江苏卷1）的最小正周期为，其中，则= 21.（08辽宁卷16）设，则函数的最小值为 22.（08浙江卷12）若，则_。23.（08上海卷6）函数f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 三，解答题24. （08四川卷17）求函数的最大值及最小值。25. （08北京卷15）已知函数（）的最小正周期为（）

11、求的值；（）求函数在区间上的取值范围26. （08天津卷17）已知函数（）的最小值正周期是 （）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合27. （08安徽卷17）已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域28. （08陕西卷17）已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C19. 20. 10 21. 22. 23.224. 解：由于函数在中的最大值为最小值为故当时

12、取得最大值，当时取得最小值【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25. 解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以，因此，即的取值范围为26. 解： 由题设，函数的最小正周期是，可得，所以（）由（）知，当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为27. 解：（1）（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时，取最大值 1又 ，当时，取最小值所以 函数 在区间上的值域为28. 解：（）的最小正周期当时，取得最小值；当时，

13、取得最大值2（）由（）知又函数是偶函数常用三角恒等变换技巧1 “角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1 已知，求的值。【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接运用相关公式求出和。【简解】因为，所以，又因为，所以，从而，. 原式=.【反思】（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由，运用诱导公式和倍角公式求出。例2

14、 已知，其中，求证：【分析】所给条件中出现的“已知角”是及，涉及的“未知角”是及，将三个角比较分析发现，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。【简证】【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出及的关系，但及目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角及已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有： ，等.2 “名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的

15、做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。例3 已知向量，求的定义域和值域；【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【简解】由得， 所以，.的定义域是，值域是.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.例4 已知都是锐角，且，求的值。 【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，及目标很近.【简解1】显然时，因为都是锐角，所以，所以，.

16、【简解2】由得，设，则所以，即.【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.3 “常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 ，等.例5 （1）求证: ；（2）化简：.【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象及性质. 【简解】（1）左边=（2）原式=【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了

17、把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了，把分式变成了整式.4 “边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例6 在中，分别为角的对边，且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC，（1）求角的大小；（2）若，证明是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【简解】（1）（角化边）由正弦定理得， ，整理得，所以，因为，所以.（2）法一：（边化角）由已知和

18、正弦定理得， 即，从而， 又，所以.所以，是等腰三角形.法二：由（1）知，代入得，所以，所以，是等腰三角形.【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.5 “升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.例7 化简：【分析】含有根号，需“升幂”去根号.【

19、简解】原式=因为，所以，所以，原式.例8 求函数，的最大值及最小值【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，及第二项的角一致.【简解】又，即，【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧及方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.6 “公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，等，实际上，“常数变换”技巧及“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧. 例9 求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，而是两

20、角差的正切值，所以及两角差的正切公式有关。【简解】（1）原式。（2）原式。【反思】第（1）小题的一般性结论是： .例10 求证：。【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.【简证】因为， 所以，左边=【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.7 “辅助角变换”技巧通常把叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为的形式，来研究其图象及性质. 尤其是当，时，要熟记其变换式，如，等.例11 求函数的值域.【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了，然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.【简解】由得，所以，从而，其中辅助角由，决定. 所以，由解得.【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以看成是