线性代数与概率统计及答案

1、(A)ka(B)ka22(C)k2a(D)k2a4.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4,0,1,3,第 3 行元的余子式依次为2.5.1,x,则x().(A)0(B)3(C)3X1X25.k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组X1kx2(A)1(B)2(C)3(D)0a12a13a11加42-现3nm6.设行列式 a21a22a23a21,则行列式a21a22-a23等于()线性代数部分第一章行列式、单项选择题2.).(A)0(B)(C)1(D)2(A)03.若a11现2a21a22).(B)(C)1(D)2a,anka22ka21).(D)2kx30X30有非零解.()x30Anm

2、B-(mn)C.mnD.mn、填空题1110010101110010010.0002.02.行列式000.n1n00.0a12加a22a23M,则D1a32a3311x11x11x111-1115.已知三阶行列式中第二列元素依次为 1,2,3,其对应的余子式依次为 3,2,1,则该行列式的值为kx12x2x306,齐次线性方程组2x1kx20仅有零解的充要条件是x1x2x30 x12x2x307,若齐次线性方程组 2x25x30 有非零解，则 k=.3x12x2kx30 xyxy1.yxyx;xyxy01x1“m101x1.行列式a11(a).如果Da21a311，一，1(b) .行列式1a1

3、1a21a31a13a23a332.解万程0;x1101x106.(n1)b7.1bibib1a1b2aa2aa2bj.anxaa2.anaxa2.anaa2x.anq.a2.a3.x8.J四、证明题b21.设 abcd1,证明:d21a1b21c1a12.3.a2a3a2a4aa1b10.bixb2xb3xaxa2xbib2b3C1C2C3a1(1x2)a2a3b1b2b3C1C2C3C2C4C1ddd一、单项选择题1.A、B 为 n 阶方阵,(a)A2|A2(d)(AB)TATBT(ba)(Ca)(d弟早a)(Cb)(d矩阵则下列各式中成立的是(b)A2B2(AB)(A2.设方阵AEkC

4、满足 AB=AC 当 A 满足()b)(dC)(ad).B)时,(C)(AB)AA2ABB=C(a)AB=BA(b)A0(C)方程组 AX=0非零解(d)B、C 可逆3.若 A 为 n 阶方阵，k 为非零常数，则 kA()(a)kA(b)(c)knA(d)1.设 A 为 n 阶方阵，且 A0,则（）（a）A 中两行（歹 i）对应元素成比例（b）A 中任意一行为其它行的线性组合（c）A 中至少有一行元素全为零（d）A 中必有一行为其它行的线性组合2.设 A 为 n 阶方阵，A*为 A 的伴随矩阵，则（）1 .设 A 为n阶可逆矩阵，则下面各式包正确的是（*(a)(a)A(b)A(c)An1(d)

5、An16.设 A,B 为 n 阶方矩阵，A2B2,则下列各式成立的是(a)AB(b)AB(c)(d)A242A2AT1(c)(A)1T5(2A)12A1TT1(AT)T1(d)(AT)T(A1)TT8.已知A1.AT2.13.A00(d)9.设A,B,C,I为同阶方阵,I 为单位矩阵，若 ABC1ACBI(b)CABI(c)CBAI(d)BACI10.n(a)2(c阶矩阵 A 可逆的充要条件是（）。A 的每个行向量都是非零向量A 中任意两个行向量都不成比例A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示（d）对任何 n 维非零向量 X,均有 AX111.设矩阵A=(1,2),B=3则下列矩阵运算中

6、有意义的是（）A.ACBB.ABCD.CBA12.设矩阵A,B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D）(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则B.(2,0,1,1)TD(2,6,5,1)T14.设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（C）A.若 ABAC,则 BCB.若 AB0,贝|A0 或 B0C.若AB,则A0或B0D.若AE,则AE6、设两事件A二、填空题2 .设 A 为 n 阶方阵，I 为 n 阶单位阵，且 A2I,则行列式|A0ab3 .行列式a0cbc04 .设 A 为 5 阶方阵，A 是其伴随矩阵，且|A3,则 A2231)110X121C.BACA.B可逆,且其逆为BAB

7、.B不可逆C.B可逆,且其逆为AAD.B可逆，且其逆为13.已知向量2A(0,2,1,1)TC.(1,1,2,0)T=(A)4.设 4 阶方阵 A 的秩为 2,则其伴随矩阵A 的秩为三、计算题(a).解下列矩阵方程（X 为未知矩阵）.(b) 2(c)2;2)0201020100X110014233)AXA2X,其中A1101232.设 A 为n阶对称阵，且 A20,求 A.011121，求非奇异矩阵C,使 ACTBC.110四、证明题1 .设 A、B 均为n阶非奇异阵，求证 AB 可逆.2 .设 Ak0(k为整数)，求证 IA 可逆.1.设n阶方阵 A 与 B 中有一个是非奇异的，求证矩阵 A

8、B 相似于 BA.2.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.第三章向量一、单项选择题(1)1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式(1)231m,1232n，则仃列式(2)2312()1 .设 A 为n阶方阵，且 A0,则()。2 .设 A 为n阶方阵，r(A)rn,则在 A 的n个行向量中(a)必有r个行向量线性无关3 .n阶方阵 A 可逆的充分必要条件是()4 .n维向量组1,2,.,s线性无关的充分条件是()21,2,.,s都不是零向量31,2,.,s中任一向量均不能由其它向量线性表示(C)1,2,.，s中任意两个向量都不成比例3.设AA3A3A(d)1,2,.,s中有一个部分组线性

9、无关二、填空题5.若1(1,1,1)T,2(1,2,3)T,3(1,3,t)T线性相关，则 t=Q6.n 维零向量一定线性关。7.向量线性无关的充要条件是。8.若1,2,3线性相关，则1,2,.,s(S3)线性关。9.n 维单位向量组一定线性。三、计算题1 .设1(1,1,1),2(1,1,1)T,3(1,1,1),TT(0,2),问1为何值时，能由1,2,3唯一地线性表示？2为何值时，能由1,2,3线性表示，但表达式不唯一？3为何值时，不能由1,2,3线性表示？2 .设1(1,0,2,3)T,2(1,1,3,5)T,3(1,1,a2,1)T,4(1,2,4,a8)T,(1,1,b3,5)T问

10、：1a,b为何值时，不能表示为1,2,3,4的线性组合？2a,b为何值时，能唯一地表示为1,2,3,4的线性组合？3 .求向量组1(1,1,0,4)T,2(2,1,5,6)T,3(1,2,5,2)T,4(1,1,2,0)T,5(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。四、证明题1).设112,2321,3212,试证1,2,3线性相关。2).设1,2,.,n线性无关，证明12,23,.,n在 n 为偶数时线性相关。1在 n 为奇数时线性无关;第四章线性方程组一、单项选择题设n元齐次线性方程组 AX0 的系数矩阵的秩为 r,则 AX0 有非零解的充分必要条件

11、是（）(B)r(D)r设 A 是mn矩阵，则线性方程组 AXb 有无穷解的充要条件是秩为kx12x2x301 .线性方程组2XIkx20仅有零解的充分必要条件是XIx2x32 .设X1,X2,LXs和GXC2X2LCsXs均为非齐次线性方程组 AXb 的解（G,C2,LCs为常数），则GC2LCs3 .若线性方程组 AXb 的导出组与BX0（r（B）r）有相同的基础解系，则r(A)4 .若线性方程组AmnXb的系数矩阵的秩为m,则其增广矩阵的秩为(A)r(C)r2.3.则4.5.1.(A)r(A)m(C)r(Ab)r(A)m(B)r(A)(D)r(Ab)设 A 是mn矩阵，非齐次线性方程组AX

12、r(A)nb 的导出组为 AX0,若mn,(A)(C)AXAXb 必有无穷多解0 必有非零解x12x2x3(B)(D)AXAXb 必有唯一解0 必有唯一解方程组2)x3x22x：(:323)(4)(无解的充分条件是1）(A)(B)XIx2X3方程组2x2x3乂3(C)12(D)4(A)1)X343)(有唯一解的充分条件是1)(B)(C)3(D)4二、填空题设 A 为 100 阶矩阵,且对任意 100 维的非零列向量 X,均有 AX0,则 A 的三、计算题1.已知1,2,3是齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，问12,23,31是否是该方程组的一个基础解系？为什么?性方程组 AX0 的解，试

13、问 B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？3.设四元齐次线性方程组为(J:12x2x401)求(I 的一个基础解系2)如果k1(0,1,1,0)Tk2(1,2,2,1)T是某齐次线性方程组(II)的通解，问方程组(I 和(II)是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。第五章特征值与特征向量一、单项选择题0011.设A010,则 A 的特征值是()。100(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,21102.设A101，则 A 的特征值是()。011(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,13.设 A 为n阶

14、方阵，A21,则()。(a)|A|1(b)A 的特征根都是 1(c)r(A)n(d)A 一定是对称阵4.若XI,X2分别是方阵 A 的两个不同的特征值对应的特征向量，则k1X1k2X2也是 A 的特征向量的充分条件是()。(a)k10且k20(b)k10且k20(c)k0(d)k10且k205.若n阶方阵A,B的特征值相同，则()(a)AB(b)|A|B|(c)A 与 B 相似(d)A 与 B 合同二、填空题2.设A14331012263211311111151120102001,已知 B 的行向量都是线210023201.n 阶零矩阵的全部特征值为。2.设A为 n 阶方阵，且 A2I,则A的

15、全部特征值为。3.设 A 为 n 阶方阵，且Am0(m 是自然数)，则 A 的特征值为。4.若 A2A,则 A 的全部特征值为o5.若方阵 A 与 4I 相似，则 A。三、计算题A.若n阶方阵A的每一行元素之和都等于a,试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.B.求非奇异矩阵 P,使 P1AP 为对角阵.1211.A,八 2)A11. 22四、证明题4 .设 A 是非奇异阵，是 A 的任一特征根，求证工是 A1的一个特征根，并且 A关于的特征向量也是 A1关于1的特征向量.5 .设 A2E,求证 A 的特征根只能是 1.6 .设n阶方阵 A 与 B 中有一个是非奇异的，求证矩阵 AB

16、相似于 BA.7 .证明：相似矩阵具有相同的特征值.8 .设 n 阶矩阵 AE,如果r(AE)r(AE)n,证明：-1 是 A 的特征值。9 .设 A:B,证明 Ak:Bk。10.设1,2是 n 阶矩阵 A 分别属于1,2的特征向量，且12,证明12不是 A 的特征向量。概率论部分一、填空：(每题3分，共15分)1.假设A,B是两独立的事件，P(AB)0.7,P(A)0.3,则P(B)。2.设A,B是两事件，P(A|B)1/4,P(B)1/3,则P(AB)。3.若二维随机变量(X,Y)满足E(XY)E(X)E(Y),则X与Y。4.随机变量XN(0,1),Y2X3,则Y5.设总体XN（0,1）,

17、X1,X2,L,X10是来自总体 X 的样本，则 X 服从分布。二、选择：（每题3分，共15分）1.如果（）成立，则事件A,B互为对立事件x2.若 X 的概率密度为f（x）4x03.设随机变量XB（n,p）,则方差var（X）（）4.下列结论正确的是（）1.X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关2.X 与 Y 不独立，则 X 与 Y 相关3.X 与 Y 不相关，则 X 与 Y 相互独立4.X 与 Y 相关，则 X 与 Y 相互独立225.设XI,X2,Xn为来自正态总体XN（,）的一个样本，其中已知，未知,则下面不是统计量的是（）三、计算：（共70分）(1)（15分）甲乙两袋，甲袋中有两

18、白球一个黑球，乙袋中有一个白球两个黑球。先从甲袋中取一球放到乙袋中，再从乙袋中取一球，（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；（2）已发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率。试求：（1）常数c；（2）P1X1。0 x1;2,.、一，求YX 的概率密度;其他，6x,0yx1f(x,y)升力 0，其它（1）试求关于X及Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由2.（10分）设随机变量X 的密度函数为f(x)2.cx,0 x20,其它4.（10分）一袋中装有5只球，编码为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最小号码，求随机变量X的分布

19、律与数学期望.0 x22x4,贝UPX3()其它3.（10分）设随机变量 X 的密度函数为 f（x）2x,0,5.（15分）设随机变量（X,Y）的概率密度为0 是未知参数,求未知参数的矩估计量，并验证未知参数的矩估计量是的有偏还是无偏估计量。6.（10分）总体 X 的概率密度函数为 f（x）其它线性代数部分参考答案第一章行列式一、单项选择题1.(C),2.(C).3.(B).4(C).5.(A)6.(C).填空题1.0;2.(1)n1n!;3.3M;4.x4；5.2；6.k2,3;7.k7三.计算题12(x3y3);2x2,0,1;3(2b)(1b).(n2)b);n3(1)n(bkak);k

20、1nn4(xak)(xak);k1k1第二章参考答案12.(D)13.A)14.(C)1.1 或-1;2.0;5.81;6.0;第三章向量参考答案一、单项选择.b2,d3.a4.b5.b二、填空题52.相关 3.04.相关三、解答题1.1)、100132；2）、1603；3)、22891212100121001200010104.100;0011211311210则对应方程组为(1)X1X2X3Xi(1)X2X3X1X2(1)X3111其系数行列式A111111(1)当0,地线性表示；2(3)3时，A0,方程组有唯一解，所以可由1,2,3唯1110(2)当0时，方程组的增广阵A11101110

21、11100000,0000r(A)r(A)13,方程组有无穷多解，所以可由1,2,3线性表示,但表示式不唯一；(3)当 3 时，方程组的增广阵2110121A12130331129000312,r(A)r(A),方程组无解,18所以不能由1,2,3线性表示。2.解:以1,2,3,4,为列构造矩阵(1)当a1且b0寸，不能表示为1,2,3,4的线性组合;(2)当a1,b任意时，能唯一地表示为1,2,3,4的线性组合3.解：(1,2,3,4,5)05527462014101020110100011000001,2,4为一个极大无关组，且四、证明题1.证：V3(12)4(213)05132430I2

22、31,2,3线性相关一、单项选择题1.B2.D3.C4.B5.A二、填空题1.1002.k2 且 k33.14.r5.m三、计算题1.是 2.不能3.1)%(0,0,1,0)T,V2(1,1,0,1)T2)k(1,1,1,1T(其中k为任意非零常数)第五章参考答案一、单项选择题1.a2.c3.c4.d5.b二、填空题1.02.1,-13.04.0,15.4I2.证：设ki(12)卜2(23)kn(n1)0则(k1kn)1(k1k2)2(knikn)n。2,n线性无关k1kn0k1k20kn1kn0100110其系数行列式011000000010000n12,n 为奇数一()0,n 为偶数1011,心只能为零，1,2n线性无关;当 n 为偶数时，k1,k2,kn可以不全为零，1,2n线性相关。;当 n 为奇数时，k1,k2,三、计算题四.证明题（略）概率论部分一、填空(每题3分共15分)1.4