根式的运算技巧

1、平方根与立方根一、知识要点1平方根：、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“.a"（a称为被开方数）。、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“.a”。2、立方根：、定义：如果x345=a，则x叫做a的立方根，记作"a”（a称为被开方数）。、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是。和1；立方根是其本身的数是0和

2、土1。2每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3 、.、a本身为非负数，即a>0;-a有意义的条件是a0。4 公式：（Ja）2=a（a>0）；（2）=Va（a取任何数）。5非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1求下列各数的平方根和算术平方根12(3)215(1)64;(2)(3);(3)1-;(4)49例2求下列各式的值(1) 81 ; ( 2)16 ;V25(4)(4产.1.44,(6)36,(7)49(8)(25产例3、求下列各数的立方根

3、:(1)343；(2)210；27(3)0.729二、巧用被开方数的非负性求值大家知道，当a0时，a的平方根是土a,即a是非负数.初4、芸2X.X2V6.求V的立方根.练习：已知yv12x寸2x12,求xy的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值我们知道，当a>0时，a的平方根是土a，而(，a)(,a)0.例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根法力共19旦蚪mMiUZ*卡日，土m的佰四、巧解方程例6、解方程(1)(X+1)2=36(2)27(X+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.当y最小时,我们已经知道,a0,即a=0时其值最小，换句话说

4、.a的最小值是零.例4、已知：y=.a2,3(b1)，当a、b取不同的值时，y也有不同的值ehaMj非筲正卡卡日练习：1、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是(A.22、144的算术平方根是,16的平方根是;3、若m的平方根是5a1和a19，则m=.4、327=,.64的立方根是；5、7的平方根为,.1.21=;6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x=时，3X1有意义；当x=时，35x2有意义；9、若X16，则x=；若3n81，则n=；10、若'.X3x，贝IJx=；若.x2X，贝x911、J15

5、的整数部分为a,小数部分为b,贝lja=,b=12、解方程：(xD2324(2)125(x2)334364(X3)2(4)1)313、已知3(z2)2。，求xyz的值。4X2八14、，求2xy的值.x22的平方根.15、已知：x2的平方根是土2,2x+y+7的立方根是3，求*16、若y,2x1.12x1，求xy的值。二次根式一、知识点1.二次根式：式子.a（a>0）叫做二次根式。2最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。3 .同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。a

6、 (：()° ( =0)；(.-v 0)4 .二次根式的性质：（1）（a）2=a（a>o）5 .二次根式的运算：二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。二次根式的乘除运算：ab=-a?-b（a0,b0）;b眷。，。【例题讲解】16、若 y ,2x 1.1 2x 1，求xy的值。、利用二次根式的双重非负性来解题.a0（a0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）例I1：X取何值时，下列各式在实数范围内有意义。例2：若2004aa2005a，则a20042=丁2工1/小、l5x十42x15x4若yx33x4，则xy【基础训练】1、下列各式中一

7、定是二次根式的是（）。A、3；B、X；C、X21；D、.X12、若x（x1）X.X1，则X的取值范围是3、若X则X的取值范围是。x1Jx14、若J23m是一个正整数，则正整数m的最小值是.5、设m、n满足nm9_m2，贝y.mn=。m36、若三角形的三边a、b、c满足a24a4b3=0，则第三边c的取值范围是7、若|4x81xym0，且y0时，则（）二、利用二次根式的性质,a2=|a|=0（；0）（即一个数的平方的算术平方根等于这个a（a0）数的绝对值）来解题【例题讲解】例1:已知x33x2=-A. X< 0B.xw 3C .X >- 3 D.3 < X< 0例2例简（

8、x2）1的结果为（ x2A、a0 ;B、a1；c、a0或1 ; D a 1,2xA、，2X；B、X2；【基础训练】1、已知a<b，化简二次根式.a3b的正确结果是（）A.a.abB.a,abC.a、,abD.aJab2、若化简|1-x|-x28x16的结果为2x-5贝9（）A、x为任意实数B、1<x<4C、x1D'x<4(be a) 2 =3、已知a,b,c为三角形的三边，则（abc）2（bca）24、化简|xy|x2（xy。）的结果是（）A,y2xB.yC.2xyD.y5、已知：a.12aa2=l，贝Ua的取值范围是（三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根

9、式的性质：（一a）2=a（a0），即，a21al以及混合运算法则)【例题讲解】(一)化简与求值例1:把下列各式化成最简二次根式：)33(2)412402(3)25m5(4)x4x2y2V82例二：计算：233；82550【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：(1).75,I,.12,2,、3,1；(2)3b3c,27耳50109/3.23ababc).；，alcbc；(3)4aV 5b V3c 5a2、计算下列各题:(1)6.27(3.3)3、已知i。，贝 yx等于()A . 4B ,± 2C . 2 D ,± 41<2<2<3.99,100(二)先化简

10、，后求值:1直接代入法：已知x_L(75),y-r7«.5),2求(1)x5y2(2)2上xy2变形代入法:(1 )变条件：已知：X22，求XX1的值。V3132,求3x25xy+3y2的值已知:x=3232(2)变结论：1、设3=a，30=b，贝【.0.9=。5已知X21,y'21，求心已知xy5,xy3,(1)求J：的信(2)求的值vxJy四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1 估算31 - 2的值在哪两个数之间()A. 12 B.23C.34D.452若,3的整数部分是a，小数部分是bU.3ab3已知9+13与913的小数部分分别是a和b，求ab3a+4b+8的

11、值4若a,b为有理数，且寸8+丁18+i1=a+A2，贝Hba二.丫8五、二次根式的比较大小(1)1200和2、.3(2)-5.6和6.5(3).17.15和15135(4)设a=,32b23,c52,贝口()A.abcB.acbC.cbaD.bca六、实数范围内因式分解：9X2-5y24x4-4x2+1x4+x-6练习:1、若x,a,b,yB.2.bc.abdab2、若a2JT30,则a2b3、计算:(1)(2(3)，、先将说X3*2X2化简，然后自选一个合适的川，代入化简后的式子求值。5、如图，实数a、b在数轴上的位置，a1t-10化简.a26、若J:，则；的取值范围是A.一；：；匚B,；

12、*C.Z1B；：1D.<：-：17、如图，数轴上a:三两点表示的数分别为1和，点石关于点上的对称点为点，贝U点J所表示的数是A.一B.叮；C.jD.j_:-1!-月壬8、已知：110，求a24八的值aa9、已知:x,y为实数,且yp.P下1x3，化简：|y3,y28yl62,“x3yx9一1。、已知-一-0,求-x3y11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将.a2b化简，若你能找到两个数mn则a2b可变为m2n22mn，即变成（mn）2开方，从而使得a2jb化简。例如：52r6=322飞二（、,3）2（切222、3（、，3圈52.6（3.2）2.3,2请仿照上例解下列问题

13、：（1）526；（20423二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法例1、计算（3、,2.48）（、184.3）分析：将3雄4V3根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把48、.18化简，然后利用平方差公式计算解：原式=（夺248）（18.423）=(-1848)( 18=18-4848)=-30巧提公因数法例2、计算(5. 6)(5. 22. 3)分析：， 方差公式2=(、2产-5 2 2.3中有公因数2，提出公因数.2后，可用平

14、计算解：原式=(5.6)5(.2)2 .3=(5，6). 2(5、6)=19.2(5 ,6)(52 ( 25-6),6)公式法例3、计算C.23、.6)(、.2.3、-6)分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=(.2、6). 3(. 2,6)3(.2，6产(3)22264.3因式分解法(21)(.、3.、2)(4,3)=-5七、整体代入，别开生面求下列各式的值。1X例5.已知2d)W"(2)ZT二sH-y=yfj,xy=A/5,Ky=一分析：根据x、y值的特点，可以求得八一，如果能将所求的值的式子变形为关于：I：:或xy的

15、式子，再代人求值要比直接代人求值简单得多。卯同.V=4(八-八)解：因为耳二xy=一所以.一一x-ny+y3=(x+/J2-3xy=(7?)-3Ay=5-(0nyx3+(x+y)2-2xy1仔)一2、5+=：=12yxxyxy1(也可以将:一变为am+腐来求)八、巧换元，干净利索u+2+Jj_4*n+2JrF_4例6.计算口+2Jr?一4n+2+Jn”分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设这y_/_值+疔2zy_(s+y)二十二II二“叫I"二则原式yxxyxy灯而二”二如必一 原式1-1解：设则打（*1-二G+h2二(2)”十矿Q二4伍+24n+S-4(n+2)二n例7.计算八 2

16、+73 +A2-7?分析：有两种方法，一种换元，一种配方。解法1:两边平方2什再+2一笛+2J(2斗吗(2A何二/x2=6因为二所以：M+STT,4-273解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效二次根式的运算测试题姓名班级学号选择题(本题30分，每小题3分)：1.化简33(13)的结果是C.32,计算(.28-23+7)X.7+84的结果是D.243 .计算(3.2+5.3)X(32-53)的结果是A57B.57C.53D.534 .计算四+击2.羽-击2的结果是C.2a5.-,2X(2-3)+6的值是6.化简：.3X(-2-3)-24-|6-3|二7.计算（，50-8）十.2的结果是8、计算:9、有下列计算：(in?)m6;4a24a+1=2a1;m6-m2=m3；.27X50-_6=15;21223+348=143.其中正确的运算有10、计算：（_2