关注农村城镇化建设与发展的数学问题

1、关注农村城镇化建设与发展的数学问题湖南祁东二中 谭扬 421600湖南祁东育贤中学 周友良 4216002006年党中央在农村工作中以建设社会主义新农村为工作重点，下面例析以此为背景的相关数学问题。一以农村城镇化建设为背景的数学问题例1洪桥镇洪丰科技工业园有A、B、C、D四间工厂坐落在边长为2km的正方形顶点上，为了响应县委四大家科技兴县、科技强县的号召，决定优化洪丰科技工业园投资环境，确保交通畅顺，繁荣经济，镇政府决定建立一个使得任何两间工厂都有通道的道路网.(1)请你设计一个道路网，使它的总长不超过5.5km；(2)请你设计一个总长度最短的道路网.方法提供：这是一道策略开放题，要探索各种可

2、行的方案，然后逐一比较、取舍，逐渐逼近题目的指标.(1)若沿正方形边界修建道路网，总长8km，远远大于指标，不合要求；若沿正方形的对角线修建道路网，总长为4km，向指标逼近了一步，但仍不合要求.由于正方形的对称性，过它的中心O，作EFAB，建一条公共道路EF，设OE=OF=x(如下图所示)，则道路网总长度为y=2x+4， (*)依题要求有2x+45.5，即48x2-40x+70，解得 x.由此可知，当公共道路长kmEFkm，有无数种方案满足要求.(2)为了求函数的最小值，把(*)化为x的方程12x2+4(y-8)x+32-y2=0.xR+，=16(y-8)2-412(32-y2)0，即y2-4

3、y-80y2+25.4642，此时x=-=1-0.42265.故当公共道路长为0.8453km时，道路网总长最短，为5.4642km.二以招商引资，农产品深加工为背景的数学问题例2某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？.解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则

4、f(n)=50n12n+472=2n2+40n72(1)获纯利润就是要求f(n)0,2n2+40n720，解得2n18.由nN知从第三年开始获利.（2）年平均利润=402(n+)16.当且仅当n=6时取等号.故此方案先获利616+48=144（万美元），此时n=6,f(n)=2(n10)2+128.当n=10时，f(n)|max=128.故第种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第种方案.三以创办农家乐、农村生态旅游为背景的数学问题例3从社会效益和经济效益出发，四明山投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅

5、游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：

6、(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1)万元，第n年投入为800(1)n1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400(1+)，第n年旅游业收入400(1+)n1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+

7、)+400(1+)k1=400()k1.=1600()n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即：1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得：5x27x+20.解此不等式，得x，或x1(舍去).即()n，由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.四以农村污水治理为背景的数学问题例4有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污

8、染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +g(0)- e(p0)，其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g(0) 时，湖泊的污染程度将越来越严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？ 解（1）g(t)为常数， 有g(0)-=0， g(0)= .(2) 我们易证得0t1t2， 则g(t1)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ，g(0)0，t1e， g(t1)g(t2).故湖水污染质

9、量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)e，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)=e，t= ln20，故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.五以封山育林、防风固沙为背景的数学问题例2。. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：1998年1999年2000年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完，则不会被沙化.问：（1）每年沙化的亩数为多

10、少？ （2）到那一年可绿化完全部荒沙地？解：（1）由表知，每年比上一年多造林400亩. 因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩. 同理2000年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩.（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩. 设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、，则n年造林面积总和为： . 由题意： 化简得 , 解得： .故8年，即到2007年可绿化完全部沙地. 六以节约水资源为背景的数学问题例1. （水塔供水问题）某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上1

11、0时止供应该厂生活和生产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间（单位：小时，定义早上6时=0）的函数关系式为，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在供水同时打开进水管。 （1）设进水量选用第级，写出在时刻水的存有量； （2）问进水量选择第几级，既能保证该厂用水（水塔中水不空）又不会使水溢出。 读懂题目：题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量。其数量关系为：存有量=进水量用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量。第一问的关键点是求“进水量选用第级”。第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量”。 建立数学模型：存有量=进水量用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10在选用第级的进水量时，时刻水的存有量为，要使水搭中水不空不溢，则，问题转化为确定，使，在（）上恒成立。 求解数学模型：面对上述不等式，如何求解？是否会转化为“对一切恒成立，”是否会作一个代换“令”