二元一次方程组与一元一次不等式组应用题

1、二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题(2007年绵阳中考)绵阳市“全国文明村江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨,桃子12吨.现方案租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售,一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.(1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地有几种方案(2)假设甲种货 车每辆要付运输费 300元,乙种货车每辆要付运输费240元,那么果农王灿应选择哪种方案,使运输费最少最少运费是多少解：(1)设安排甲种货车 x辆,那么安排乙种货车(8-x)辆,依题意,得4x 2(8 x) x 2(8 x) x是正整数,因此安排甲、20解此不等式组,

2、12x可取的值为方案一,甲种货车方案二,甲种货车方案三,甲种货车(2)方案一所需运费方案二所需运费方案三所需运费乙两种货车有三种方案：2辆,乙种货车3辆,乙种货车4辆,乙种货车300 2 240300 3 204300 4 240即 2<x<42, 3, 4.6辆5辆4辆6 2040元；5 2100元；4 2160元.所以王灿应选择方案一运费最少,最少运费是2040元.(2007年济南)某校准备组织 290名学生进行野外考察活动,行李共有 100件.学校方案 租用甲、乙两种型号的汽车共 8辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载 40人和10件行李,乙 种汽车每辆最多能载 30人和20件行

3、李.(1)设租用甲种汽车 x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案；(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案.解：(1)由租用甲种汽车x辆,那么租用乙种汽车(8 x)辆由题意得:40x 30(8 x) > 29010x 20(8 x) >100解得：5< x< 6即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车 5辆,乙种汽车3辆;第二种是租用甲种汽车 6辆,乙种汽车2辆.(2)第一种租车方案的费用为5 2000 3 1800 15400元；第二种租车方案的费用为 6 2000 2 1800 15600元,第一种租车方案更

4、省费用.(2007资阳)年陈老师为学校购置运动会的奖品后,回学校向后勤处王老师交账说：我买了两种书,共105本,单价分别为8元和12元,买书前我领了 1500元,现在还余418元. 王老师算了一下,说： 你肯定搞错了 . 王老师为什么说他搞错了试用方程的知识给予解释；陈老师连忙拿出购物发票,发现的他还买了一个笔记本.但笔记本的单价已模糊不清,只能识别出应为小于 10元的整数,笔记本的单价可能为多少元(1)设单价为元的课外书为 x本,得：8x 12(105 x) 1500 418(2)解之得：x 44.5(不符合题意)(3)所以王老师肯定搞错了 .设单价为元的课外书为 y本,解法一：设笔记本的单

5、价为a元,依题意得：8y 12(105 y) 1500 418 a .解之得：178+a=4y, a、y都是整数,且178+a应被4整除,二. a为偶数, 又.a为小于10元的整数,a可能为2、4、6、8 .当a=2时,4x=180, x=45,符合题意；当 a=4时,4x=182, x=,不符合题意； 当a=6时,4x=184, x=46,符合题意；当 a=8时,4x=186, x=,不符合题意 .笔记本的单价可能 2元或6元.8分解法2:设笔记本的单价为 b元,依题意得：解得：44.5< x< 47x应为45本或46本.当 x=45 本时,b=1500-8 >45+12(

6、105-45)+418=2 ,当 x=46 本时,b=1500-8 >46+12(105-46)+418=6 ,(2021四川泸州,6分)某商店准备购进甲、乙两种商品.甲种商品每件进价15元,售价20元；乙种商品每件进价 35元,售价45元.(1)假设该商品同时购进甲、乙两种商品共100件,恰好用去2700元,求购进的甲、乙两种商品各多少件(2)假设该商品准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件,且这两种商品全部售出后获利不少于890元,问应该怎样进货,才能使总利润最大,最大利润为多少(利润=售价-进价)解：(1 )设购进甲种商品x件,购进乙种商品y件,根据题意x y 100,

7、15x 35y 2700.x 40,解这个方程组得,y 60.答：商店购进甲种商品 40件,那么购进乙种商品 60件.(2)设商店购进甲种商品 x件,那么购进乙种商品(100 x)件,根据题意,得15x 35100 x 3100,解之得20 <x < 225x 10100 x 890.方案一,甲种商品20件,乙种商品80件方案二,甲种商品21件,乙种商品79件方案三,甲种商品22件,乙种商品78件方案一所得利润5 2010 80 900元;方案二所得利润5 21方案三所得利润5 2210 79 895元10 78 890元.所以应选择方案一利润最大,为2040元.5分,答错(202

8、1宜宾)在我市举行的中学生平安知识竞赛中共有20道题.每一题答对得或不答都扣3分.(1)小李考了 60分,那么小李答对了多少道题(2)小王获得二等奖(7585分),请你算算小王答对了几道题解：(1)设小李答对了 x道题.依题意得 5x- 3 (20-x) =60.解得x=15 .答：小李答对了 16道题.(2)设小王答对了 y道题,依题意得：解得:.y是正整数,.y=17 或 18,答：小王答对了 17道题或18道题.2021年河南某家电商场方案用 32400元购进“家电下乡指定产品中的电视机、冰箱、 洗衣机共15台.三种家电的进价和售价如下表所示：类别电视机进价元/台2000售价元/台210

9、0冰箱洗衣机24001600250017001在不超出现有资金的前提下,假设购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不大于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案2国家规定：农民购置家电后,可根据商场售价的13%领取补贴.在1的条件下.如果这15台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元设购进电视机、冰箱各x台,那么洗衣机为15-2 x台15 2x 1x依题思得：22x) 324002000x 2400x 1600(15解这个不等式组,得 6<x<7,x为正整数,x=6或7方案1:购进电视机和冰箱各 6台,洗衣机3台;方案2:购进电视机和冰箱各 7台,洗衣机(2)方案 1

10、 需补贴：(6X 2100+6X 2500+1 X 1700) X 13%=4251 (元)；方案 2 需补贝占：(7X 2100+7X 2500+1 X 1700) X 13%=4407 (元)；,国家的财政收入最多需补贴农民4407元.2021年达州我市化工园区一化工厂,组织 20辆汽车装运 A、B、C三种化学物资共 200吨到某地.按方案 20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满.请结合表中提供的信息,解1设装运A种物函数关系式;2如果装运物资种类ABC每辆汽车运载量吨12108每吨所需运费元/吨240320200运B种物资的车辆数为y .求y与x的A种物资的车辆数不少资

11、的车辆数为x ,装于5辆,装运物资的车辆数不少于4辆,那么车辆的安排有几种方案并写出每种安排方案;3在2的条件下,假设要求总运费最少,应采用哪种安排方案请求出最少总运费.解：1根据题意,得:20 2x(2)根据题意,得:20解之得：5 x2x 4x取正整数,x 5, 6, 7,共有4种方案,即ABC力某一5105力某一686力杀二767方案四8485分(3)设总运费为M元,那么 M= 12 240x 10 320(20 2x) 8 200(20 x 2x 20)即：M= 1920x 64000. , M是x的一次函数,且 M随x增大而减小,当x=8时,M最小,最少为 48640元 7分(202

12、1年广元)某童装店到厂家选购A、B两种服装.假设购进 A种服装12件、B种服装8件,需要资金1880元；假设购进A种服装9件、B种服装10件,需要资金1810元.(1)求A、B两种服装的进价分别为多少元(2)销售一件A服装可获利18元,销售一件B服装可获利30元.根据市场需求,服装店决定：购进 A种服装的数量要比购进 B种服装的数量的2倍还多4件,且A种 服装购进数量不超过 28件,并使这批服装全部销售完毕后的总获利不少于699元.设购进B种服装x件,那么请问该服装店有几种满足条件的进货方案哪种方案获利最 多解：(1)设A种型号服装每件x元,B种型号服装每件y元.9x 10y 1810x 90

13、依题意可得解得,12x 8y 1880y 100答：A种型号服装每件 90元,B种型号服装每件100元.(2)设购进B种服装x件,那么购进 A种服装的数量是 2x+4,y=30x+ (2x+4) M8, =66x+72 ;设B型服装购进m件,那么A型服装购进 2m 4件,18(2m 4) 30m 699 丁方一,口1根据题意得'),解不等式得912m 4 282由于m这是正整数, 所以 m=10, 11, 12,贝U 2m+4=24, 26, 28方案一：B型服装购进 方案二：B型服装购进 方案三：B型服装购进有三种进货方案：10件,A型服装购进24件;11件,A型服装购进26件;12

14、件,A型服装购进28件.方案一所得利润18 10 30 24 900元;方案二所得利润18 11 30 26 978元方案三所得利润18 12 30 28 1056元.所以应选择方案一利润最大,为1056元.2021雅安某部门为了给员工普及电脑知识,决定购置 A、B两种电脑,A型电脑单价 为4800元,B型电脑单价为3200元,假设用不超过160000元去购置A、B型电脑共36台, 要求贝买A型电脑多于25台,有哪几种购置方案解：设购置A种电脑x台,那么购置B种电脑36-x台,由题意得：4800X 3200(36 x) x>25160000.口,解得：25<x<2|,. x必

15、须求整数,. x=26, 27, 28,购置B种电脑：10, 9, 8,可以有3种购置方案,购置A种电脑26,台,那么购置 B种电脑10台,购置A种电脑27台,那么购置B种电脑9台,购置A种电脑28台,那么购置B种电脑8台.2021哈尔滨同庆中学为丰富学生的校园生活,准备参军跃体育用品商店一次性购置假设干个足球和篮球每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同,假设购置3个足球和2个篮 球共需310元,购置2个足球和5个篮球共需500元.1购置一个足球、一个篮球各需多少元96个,要2根据同庆中学的实际情况,需参军跃体育用品商店一次性购置足球和篮球共求购置足球和篮球的总费用不超过5720元,这所中学最

16、多可以购置多少个篮球解：设购置一个足球需要 x元,购置一个篮球需要 y元,根据题意得3肝2y=3102算+5厂500解得z=50干80,购置一个足球需要 50元,购置一个篮球需要 80元.解：设购置n个足球,那么购置96-n个篮球.50n+80 96-n苞720,nn为整数,n最少是6696 - 66=30 个.这所学校最多可以购置 30个篮球.2021攀枝花为了打造区域中央城市,实现攀枝花跨越式开展,我市花城新区建设正按 投资方案有序推进.花城新区建设工程部,因道路建设需要开挖土石方,方案每小时挖掘 土石方540m3,现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工 作,租赁

17、公司提供的挖掘机有关信息如表： 3.甲型挖掘机租金单位：元/台时100挖掘土石方量单位：m3/台时6080乙型挖掘机 120(1)假设租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台,恰好完成每小时的挖掘量,那么甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台(2)如果每小时支付的租金不超过850元,又恰好完成每小时的挖掘量,那么共有几种不同的租用方案解：(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台.依题意得：卜,1160K+80 尸 540解得产士:尸3答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；(2)设租用m辆甲型挖掘机,n辆乙型挖掘机.依题意得：60m+80n=540 ,化简得：3m+4n=27 .in=5nFlc 4

18、. m=9 n, 因.方程的解为n=6当m=5, n=3时,支付租金：100X5+120>3=860元> 850元,超出限额;当m=1 , n=6时,支付租金：100M+120>=820元,符合要求.答：有一种租车方案,即租用 1辆甲型挖掘机和3辆乙型挖掘机.(2021四川广安)某学校为了改善办学条件,方案购置一批电子白板和一批笔记本电脑,经投标,购置1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元,购置4块电子白板和5台笔记 本电脑共需80000元.(1)求购置1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元(2)根据该校实际情况,需购置电子白板和笔记本电脑的总数为396,要求购置的总费用

19、不超过2700000元,并购置笔记本电脑的台数不超过购置电子白板数量的3倍,该校有哪几种购置方案(3)上面的哪种购置方案最省钱按最省钱方案购置需要多少钱解：(1)设购置1块电子白板需要x元,一台笔记本电脑需要 y元,由题意得：内+300°,解得：X=15000.4x+5y=80000y=4000答：贝买1块电子白板需要15000元,一台笔记本电脑需要4000元.(2)设购置购置电子白板 a块,那么购置笔记本电脑 (396-a)台,由题意得：396 a 3a52700000,解得：99 a 101 o15000a+4000 396 a11.a 为整数,a=99, 100, 101,那么

20、电脑依次买：297, 296, 295.,该校有三种购置方案:方案一：购置笔记本电脑方案二：购置笔记本电脑方案三：购置笔记本电脑295台,那么购置电子白板 101块;296台,那么购置电子白板 100块;297台,那么购置电子白板 99块.2021年河南某中学方案购置A型和B型课桌凳共200套,经招标,购置一套 A型课桌凳比购置一套 B型课桌凳少用40元,且购4套A型和6套B型课桌凳共需1820元.1求购置一套 A型课桌凳和一套 B型课桌凳各需多少元【解析】1设A型每套X元,B型每套x 40元 . 4x 5x 40 1820 x 180, x 40 220即购置一套 A型课桌凳和一套 B型课桌

21、凳各需180元和220元.2学校根据实际情况,要求购置这两种课桌凳总费用不能超过40880元,并且购置A型课桌凳的数量不能超过 B型课桌凳的2 ,求该校本次购置 A型和B型课桌凳共有几种3方案哪种方案的总费用最低2设A型课桌凳a套,那么购置B型课桌凳200 a套解得78 a 80 a为整数,所以a =78,79,80所以共有3种方案.2021眉山在眉山市开展城乡综合治理的活动中,需要将 A、B、C三地的垃圾50立方 米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场 D、E两地进行处理.运往 D地的数量 比运往E地的数量的2倍少10立方米.1求运往两地的数量各是多少立方米2假设A地运往D地a立方米a

22、为整数,B地运往D地30立方米,C地运往D地的数 量小于A地运往D地的2倍.其余全部运往 E地,且C地运往E地不超过12立方米,那么 A、C两地运往D、E两地哪几种方案3从A、B、C三地把垃圾运往 D、E两地处理所需费用如下表：A地B地C地运往D地兀/立方米222020运往E地兀/立方米2022 ：211解答：解：1设运往E地x立方米,由题意得,x+2x - 10=140, 解得：x=50,. 2x -10=90,答：共运往D地90立方米,运往 E地50立方米；2由题意可得,90 (?% 30)<2?50 - 90 - (? 30) <12解得：20vaW22.a是整数,.a=21

23、 或 22,有如下两种方案：第一种：A地运往D地21立方米,运往 E地29立方米；C地运往D地39立方米,运往 E地11立方米；第二种：A地运往D地22立方米,运往 E地28立方米；C地运往D地38立方米,运往 E地12立方米；(3)第一种方案共需费用：22 >21+20 >29+39 >20+11 >21=2053 (元),第二种方案共需费用：22 >22+28 X20+38 >20+12 >21=2056 (元),所以,第一种方案的总费用最少.(2021德阳)为落实国家“三农政策,某地政府组织40辆汽车装运 A B C三种农产品共200吨到外地销售

24、,按方案,40辆车都要装运,每辆车只能装运同一种农产品,且必须 装满,根据下表提供的信息,解答以下问题：农产品种类ABC每辆汽车的装载量(吨)456(1)如果装运C种农产品需13辆汽车,那么装运 A B两种农产品各需多少辆汽车(2)如果装运每种农产品至少需要11辆汽车,那么车辆的装运方案有几种写出每种装运方案.解：(1)设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车.那么,4s+5y+l 3X6=200席日箕二13解得.H尸14答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；(2)设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车.那么由题意可得如下不等式组:X>114.-工- 了>114x+5y+6

25、(40- x- y) =200, 解得：y= - 2x+40.,即? - 2我4如>1140-x- ( - 2什40) >11解得：11<x<由于x是正整数,所以x的值可为11, 12, 13, 14;共4个值,因而有四种安排方案.方案一：11车装运A, 18车装运B, 11车装运C方案二：12车装运A, 16车装运B, 12车装运C.方案三：13车装运A, 14车装运B, 13车装运C.方案四：14车装运A, 12车装运B, 14车装运C.(2021内江)某电脑经销商方案购进一批电脑机箱和液晶显示器,假设购电脑机箱 10台和液 液晶显示器8台,共需要资金7000元；假

26、设购进电脑机箱2台和液示器5台,共需要资金4120元.1每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元2该经销商购进这两种商品共 50台,而可用于购置这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情,销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元.该经销商希望销售完这两种商品,所获利润不少于4100元.试问：该经销商有哪几种进货方案哪种方案获利最大最大利润是多少解：1设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x, y元,根据题意得:10x 8y2x 5y70004120答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x 60y 80060 元,800 元;2设该经销商购进电脑机箱m台,购进液晶显示器50-m

27、台,根据题意得:60m 800(50 m)10m 160(50 m)22240 ,解得：24<m< 264100由于m要为整数,所以 m可以取24、25、26, 从而得出有三种进货方式：电脑箱：24台,液晶显示器：26台,电脑箱：25台,液晶显示器：25台;电脑箱：26台,液晶显示器：24台.,方案一的禾I润：24M0+26X 160=4400 ,方案二的利润：25M0+25X 160=4250 ,方案三的利润：26 M 0+24X 160=4100 ,.方案一的利润最大为 4400元.2021自贡某校住校生宿舍有大小两种寝室假设干间,据统计该校高一年级男生740人,使用了 55间

28、大寝室和50间小寝室,正好住满；女生 730人,使用了大寝室 50间和小寝室 55间,也正好住满.1求该校的大小寝室每间各住多少人2预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间,问该校有多少种安排住宿的方案解：1设该校的大寝室每间住丙肝5.厂友.：50x+55y=730x人,小寝室每间住y人,由题意得:解得:乒8y=6答：该校的大寝室每间住 8人,小寝室每间住 6人;2设大寝室a间,那么小寝室80-a间,由题意得:侬68.763.a<80解得：80书封5,a=75时,a=76时,a=77时,a=78时,a=79时,80- 75=5,80 - a=4,80- a=3,8

29、0- a=2,80 a=1, a=80 时,80 - a=0.故共有6种安排住宿的方案2021浙江温州12分温州享有“中国笔都之称,其产品畅销全球,某制笔企业欲将n件产品运往 AB, C三地销售,要求运往C地的件数是运往 A地件数的2倍,各地的运费如图 所示.设安排x件产品运往A地.(1)当 n 200 时,根据信息填表:A地B地C地合计产品件数件200运费元30 x假设运往B地的件数不多于运往 C地的件数,总运费不超过 4000元,那么有哪几种运输方案2假设总运费为5800元,求n的最小值.【答案】解：1根据信息填表A地B地C地合计产品件数件200运费元30 x由题意,得200 3X 2X

30、,解得40wxw429. 1600 56x 40007,X为整数,x=40或41或42.,有三种方案,分别是（1） A地40件,B地80件,C地80件；ii 八地41件,B地77件,C地82件；iii 八地42件,B地74件,C地84件.2由题意,得 30x+8 n 3x +50x=5800,整理,得 n=725-7x.- n-3x>0,x<o又*.,0WxW且x为整数. n随x的增大而减少,当 x=72时,n有最小值为221.2007年南充某商店需要购进一批电视机和洗衣机,根据市场调查,决定电视机进货量 不少于洗衣机的进货量的一半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类另I电视机洗

31、衣机进价元/台18001500售价元/台20001600方案购进电视机和洗衣机共100台,商店最多可筹集资金 160 600元.(1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案(不考虑除进价之外的其它费用)(2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多并求出最多利润.(利润=售价一进价)9.解：(1)设商店购进电视机x台,那么购进洗衣机(100x)台,根据题意,得1 x -(100-x)1800x 1500(100 x) 160600解不等式组,得33- <x< 35-.33即购进电视机最少 34台,最多35台,商店有2种进货方案.13400元13500元每副球拍配x(

32、x>3)方案一,电视机 34台,洗衣机66台：禾1J润为200 34 100 66方案二,电视机 35台,洗衣机65台：禾1J润为200 35 100 65商店为了获得最大利润应选方案二,最大利润为13500元.(2021年南充)某乒乓球练习馆准备购置 10副某种品牌的乒乓球拍,个乒乓球,A, B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售,且每副球拍的标价都为20元,每个乒乓球的标价都为 1元,现两家超市正在促销,A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售,而 B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球,假设仅考虑购置球拍和乒乓球的费用,请解答以下问题：(1)如果只在某一家超市购置所需球拍和乒乓球,那么去 A超市还是B超市买更合算 (2)当x 12时,请设计最省钱的购置方案.解：(1)去A超市购置所需费用 yA 0.9(20 10 10x)即 yA 9