固体物理基础答案解析吴代鸣

1、1.试证理想六方密堆结构中c/a=. 证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2若晶胞基矢a,b,c互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距 解：a,b, c互相垂直，可令 aai ,b晶胞体积va (bc) abc倒格子基矢：bi2-(bc)2b (bjck)vabc22b2(ca)(ckai)vabcb32(ab)2bj)vabc而与(hkl )晶面族垂直的倒格矢故（hkl ）晶面族的面间距2dGbj, c ck2-ia2-jb2kcGhb1kb2 lb32/h -(ikab/ h 2k 2l 2G2H) abc-k)c

2、/ h 2k 2l 22 .()()()V abc12i h 2 k 2 l （a）（b）（c）3 若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何 选择？每个原胞含有几个原子？答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立 方格子。（110）面的原子面密度。4.试求面心立方结构的（111） 解：（111）面平均每个（111）面有313 2个原子。2(111)面面积122a所以原子面密度(111)(Va)2 (；a)243a223 2a232a(110)面平均每个（11

3、0）面有4(110)面面积 a . 2a1-24.2a22个原子。22a25.设二维矩形格子的基矢为aai ,a 22aj，试画出第一、解：倒格子基矢：222bi(a2a?)2ai x(a3xk)va 2axa, 2 “22 .12 .1b2(a3ajaxjc jjbijva 2ax2a2a2所以（110）面原子面密度(110)2 a所以倒格子也是二维矩形格子。b2方向短一半。三、布里渊区。最近邻b2, b2;次近邻 b1, b1,2b2, 2b2;再次近邻 0b2,0b2, b20 , b2b1;再再次近邻3b2, 3b2;做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的

4、判断原则进行判 断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是 2块梯形和2块三角形组成；第三布里渊区是 2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。6. 六方密堆结构的原胞基矢为:1 .3 .ai aj2 23 .a? a i aj2 2a3ck试求倒格子基矢并画出第一布里渊区解：原胞为简单六方结构。原胞体积:v ai (a2 a3)2倒格子基矢:2(a2va3)b2(a3vai)2 1-a(.3a c22i . 3j) ck 2_(i . 3j)b32-(aiva2)3 2a c2JcAQck 1a(i 3j) £(i 3j)1a(i21、3j)二a( i2、3j）12a(

5、i3j) ；ac(j23i)1 2 a c(i 43j) ( 3ij)3 2cka c（注意:倒格由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六 面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六 角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。7. 略&证明一维NaCI晶体的马德隆常数为2ln2证明：任选一参考离子i，则左右两侧对称分布令rija（ a；这

6、里a为晶格常数（正负离子 最近距离）那么，有：1aj其中，异号为+;同号为利用展开式：In( 1 x) x1令x1,得：In 21-22In 2只考虑最近邻离子间的排斥作用,试导出离子晶体结合能的r /9、若离子间的排斥势用e 来表示,表达式，并讨论参数入和p应如何决定。解：设最近邻离子间距离为r，则rij2e4 Oij2eaj r （以i离子为原点）u(rj )erij（最近邻，rij r）（最近邻以外）Oij总相互作用能为:e2or j( i)2e4 ore r /最近邻(1)其中Z为最近邻离子数U由平衡条件:0;得:ro2e4 r20ro/得：U结合能Ec2e2 4 0r0U(r。)1

7、r。2).(3)对于NaC等离子晶体:r2r r02 e24)4将(2)代入(5)得：2由( 2)得:13ro-ero /2 e22e34 0r 0e2r。72°r°4K "2e_ r0 /2 e40r0 Z2e4 °r。27).(8)6)10、如果NaCI结构晶体中离子的电荷增加一倍, 平衡距离将产生多大变化。假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的解:总相互作用能Ur r r。N2 e2r20 012e4°rnB得：0曲2)得:°nB2e2e4 °nnro(3)代入(1)得:U(r。)当电荷由r°(2e)M

8、e)e变为2e时,14行1).(2)3)N e28 0r 0由(2')和(4)可知:4)U(2e)U(e)11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用, 关系。在简谐近似下求格波的色散解：在简谐近似下：1U 2(Xi0 Uij )2 i j第n个原子的运动方程:d2Un2-dt2Un右边i(Uni(n)4Un2(i2 i( n)in (Uin)p(Uni(n)Uoin (Unin (Un.u2 ij ij设UnAei(m 2Aei( t整理，得:2 214Un2inUinUi )2Ui )Un)j(Un p2Un)j(n)ijUi2)n).u2-) nj nj /j

9、( n)nj(Uj冋代入上式得:naq)m p12、设有一维双原子晶格， 求格波的色散关系。解：d2Undt2P(1nj(Uj Un)2)Un)(Aei( t (n P)aq)Aei( t (nPcos paq)两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于Un)诃)2Un)1和2，试1 n 1d2 n2-dt22Un2)Un2(Unn)1( U n 1n )1Un 12) n试探解:UnAe i(naq t);， nBei ( naq t )代入方程，得：m2A2B2)A1Aeiaq2A ( 12)B2)» me iaq(1eiaq m 2 ( 12)2)经计算，得:22122 1 2 cos aqm13、已知一维单原子晶格的格波色散关系为22(q)(1 cos qa)M试求：(1)格波的模密度g();(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。解：一维时，模密度g()dq ()由色散关系，得:cos aq sinaqdqdqg()晶格热容:M22(q)d0(q)2(q)(q)M224(q)M22g()dexp( / kBT)ek；T（因为低温，频率低的占0 ekBT1主要，所以上限可以近 似为无穷大）M kBTx2ex经计算，上面积分=Ik；2 dx(ex1)23aV14、将Debye模型用于一维晶