文档：何种类型的命题需用反证法

1、何种类型的命题需用反证法反证法是一种基本的数学方法，也是中学数学中的一个重要内容，有些命题用直接证 法无从下手，但是用反证法就会使你得心应手.哪些类型的命题需用反证法，更是我们初学者感到苦恼的事，本文想就此讲一讲个人 的看法，供同学们学习时借鉴.1 证明一点在某一位置上的命题如几何第二册P89,证明定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么四边形内接于 圆.P92例3:如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧， 那么这两个三角形有公共的外接圆等，这些命题都是先过三点作圆然后证第四点在圆上. 书 中已作了证明、这里不再赘述.2.证明以否定判断为结论的命题例1在同圆中，如果

2、两弦不等，那么它们的弦心距也不等.已知，如图1，©0的两条弦AB CD的弦心距分别是OE OF,且AB CD求证：0字OF图1证明 假设0E= 0F那么由同圆中弦与弦心距的关系可知 A吐CD这与已知条件A盼CD相矛盾，因此0字0F例2求证：不可能存在这样两个分数，它们的和与它们的积都是整数.证明假设存在这样的两个既约分数？和巴，使- - = kCp. k都是 b n bn b n整数），那么根据韦达定理的逆定理.?和巴1定是方程X" - px + k = 0的两个根所b n上式等号左边是一个既约分数，右边是一个整数，产生矛盾，所以不可能存在这样两 个分数，它们的和与积都是整

3、数.3 证明“最多有一个”或“至少有一个”形式的命题例3求证：三角形的内角中，最多只能有一个钝角.证明 假设还有一个内角是钝角，那么这两个内角和大于180。，这与三角形内角和定理相矛盾，因此，三角形的内角中，最多只能有一个钝角.例4已知ab= 2(m+ n)，求证：方程 x2 + ax+ m= 0和x2 + bx+ n= 0中至少有一个方 程具有实数根.证明 假设方程中都没有实数根.贝U a2 4m<0， b2 4nv0，所以 a2 + b2v4(m+ n)，即 a2 + b2v 2ab，(a b)2 v0，这与实数的性质矛盾，因此这两个方程中至少有一个方程具有实数根.4 证明具有“无限

4、”形式为结论的命题例5求证：平行于同一条直线的两直线必互相平行(即这两直线无限伸展下去也不会相交)bF图2已知：如图 2， a / c，b/ c，求证：a/ b.证明假设a、b不平行，设它们相交于点 P，因为a / c，b / c，就是说，过点P有两 条直线a、b都和c平行，这与平行公理相矛盾，因此 a和b不能相交，即a/ b.5 证明有关“无理教”的一些命题例6求证Ig3是无理数.证明假设Q是有理数.则1酪=¥ 3, 口是互质的正整数)，肪以7即i呼二李上面等式的左边10m是偶数，右边3n是奇数即10m 3n(产生矛盾)，所以假设不成立， 因此，Ig3是无理数6.证明有关定理的逆定

5、理例7求证勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形已知， ABC中 a2 + b2= c2，求证：/ C= 90°.证明 假设，/ Cm90°,那么只有两种情况：(1) / Cv90° (2) / C>90°. 假设/ Cv 90°,由余弦定理得：c2= a2 + b2 2ab cosC(Cv90°,二 cosC>0)即 a2 b2> c2这与已知条件a2+ b2= c2矛盾，所以假设/ Cv90°是错误的.同 类似可证明假设/ C>90°也是错误的.所以/ C= 90°.值得