（最新）正弦定理和余弦定理(精)

1、正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(2)sinA，sinB，sinC；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA；cosB；cosCSABCabsinCbcsinAacsinB(abc)r(r是三角形内切圆半径)，并可由此计算R、r选择题在ABC中，已知a2，b，A45°

2、;，则满足条件的三角形有()A1个 B2个 C0个 D无法确定解析bsinA×，bsinA<a<b，满足条件的三角形有2个在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C2 D2解析因为S×AB×ACsinA×2×AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22AB·ACcos60°3，所以BC.已知在ABC中，ax，b2，B45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()Ax2 Bx2 C2x2 D2x2解析若三角形有两解，则必有ab，x2，又由sinAsinB×

3、;1，可得x2，x的取值范围是2x2.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是()A(8,10) B(2，) C(2，10) D(，8)解析因为3>1，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故即8<x2<10.又因为x>0，所以2<x<.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形解析已知<cosA，由正弦定理，得<cosA，即sinC<sinBcosA，所以sin(AB)<sinBcosA，即sinBcosAcosBsin

4、AsinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析cos2，cos2，(1cosB)·cac，acosB·c，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形在ABC中，已知b40，c20，C60°，则此三角形解的情况是()A有一解 B有两解 C无解 D有解但解的个数不确定解析由正弦定理得，sinB>1.角B不存

5、在，即满足条件的三角形不存在若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC51113，则ABC()A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析由正弦定理2R(R为ABC外接圆半径)及已知条件sinAsinBsinC51113，可设a5x，b11x，c13x(x0)则cosC0，C为钝角，ABC为钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ab”是“cos2Acos2B”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析因为在ABC中，absinAsinBsin2Asin2B2sin2A2si

6、n2B12sin2A12sin2Bcos2Acos2B，所以“ab”是“cos2Acos2B”的充分必要条件在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，则A()A. B. C. D.解析在ABC中，由bc，得cosA，又a22b2(1sinA)，所以cosAsinA，即tanA1，又知A(0，)，所以A，故选C.在ABC中，AB，AC1，B30°，ABC的面积为，则C()A30° B45° C60° D75°解析SABC·AB·AC·sinA，即××1&#

7、215;sinA，sinA1，由A(0°，180°)，A90°，C60°，故选C已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B等于()A. B. C. D.解析根据正弦定理2R，得，即a2c2b2ac，得cosB，故B，故选C.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，a2，b，则B等于()A. B. C.或 D.解析A，a2，b，由正弦定理可得，sinBsinA×，A，B设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sinA5sinB，则角C等于()A. B. C. D.解析因为3sinA5sin

8、B，所以由正弦定理可得3a5b.因为bc2a，所以c2aaa.令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcosC，得492592×3×5cosC，解得cosC，所以C.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，ABC的面积是()A3 B. C. D3解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6，SABCabsinC×6×.填空题ABC中，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为_解析由已知得sinBcosCcosBsinCsin2A，sin

9、(BC)sin2A，sinAsin2A，又sinA0，sinA1，A，ABC为直角三角形在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC_.解析因为角A，B，C依次成等差数列，所以B60°.由正弦定理，得，解得sinA，因为0°A180°，所以A30°或150°(舍去)，此时C90°，所以SABCab在ABC中，a4，b5，c6，则_解析由余弦定理：cosA，sinA，cosC，sinC，1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值

10、为_解析由余弦定理，得cosB，结合已知等式得cosBtanB，sinB，B或在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosCbsinCac0，则角B_解析由正弦定理知，sinBcosCsinBsinCsinAsinC0sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，代入上式得sinBsinCcosBsinCsinC0sinC0，sinBcosB10，2sin1，即sin.B(0，)，B在ABC中，已知sinAsinB1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_解析由题意知ab，a2b2c22bccosA，即2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A

11、45°，sinB，B30°，C105°.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC，3sinA2sinB，则c_解析由3sinA2sinB及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcosC492×2×3×16，所以c4.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_解析因为sinB且B(0，)，所以B或B.又C，BC<，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，在ABC中，A60°，AC2，BC，则AB_解析A60°，AC2，BC，设ABx，

12、由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·ABcosA，化简得x22x10，x1，即AB1.在ABC中，A，ac，则_解析在ABC中，a2b2c22bccosA，将A，ac代入，可得(c)2b2c22bc，整理得2c2b2bc，c0，等式两边同时除以c2，得22，可解得1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cosA，则a的值为_解析cosA，0A，sinA，SABCbcsinAbc×3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccosA522×24×64，a8.解答题在

13、ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2(1)求tanC的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bcos2cossin2C2sinCcosC，由解得tanC2.(2)由tanC2，C(0，)得sinC，cosC，因为sinBsin(AC)sin，所以sinB，由正弦定理得cb，又因为A，bcsinA3，所以bc6，故b3.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，absinAacosB.(1)求角B；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c.解(1)

14、由absinAacosB及正弦定理，得sinAsinB·sinAsinA·cosB，0<A<，sinA>0，sinBcosB1，即sin，又0<B<，<B<，B.(2)SacsinB，ac4，又b2a2c22accosB，即a2c28.由联立解得ac2.如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDAB·ADsinBAD，SADCAC·ADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC，由正弦定理可

15、得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22AD·BDcosADB，AC2AD2DC22AD·DCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sinBsinC(1)求cosA的值；(2)求cos的值解(1)ABC中，由，及sinBsinC，可得bc，又由acb，有a2c，所以cosA(2)在ABC中，由cosA，可得sinA于是，cos2A2cos2A1，sin2A2sinA·cosA所以，cos

16、cos2Acossin2Asin××已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)·ca2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc由余弦定理，得cosA，sinA.由b2c2bc4，得b2c24bc.b2c22bc，即4bc2bc，bc4，SABCbc·sinA，即(SABC)max.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2BsinAcosAsinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若s

17、inA，求ABC的面积解(1)由题意得sin2Asin2B，即sin2Acos2Asin2Bcos2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，所以2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sinA，得a，由ac，得AC，从而cosA，故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，所以，ABC的面积为SacsinB.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB，sin(AB)，ac2，求sinA和c的值解在ABC中，由cosB，得sinB，因为ABC，所以sinCsin(AB).因为sinCsinB，所以CB，可知C为锐角所以cosC.因此sinAsin(BC)

18、sinBcosCcosBsinC××.由，可得a2c，又ac2，所以c1.专项能力提升在ABC中，AC，BC2，B60°，则BC边上的高等于()A. B. C. D.解析设ABc，则由AC2AB2BC22AB·BC·cosB知7c242c，即c22c30，c3(负值舍去)BC边上的高为AB·sinB3×.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析cacosB(2ab)cosA，C(AB)，由正弦定理得sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，sinAcosBcosAsinBsinAcosB2sinAcosAsinBcosAcosA(sinBsinA)0，cosA0或sinBsinA，A或BA或BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角形在ABC中，三个