高等数学2第十一章答案(修)

1、习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1） ?L(x2 y2)nds, 其中 L为圆周 x acost , y asint (0 t 2 )；(1)(a2cos / j + w，in 2 £)"/(一ssin + SuosQ（2） ?L xds,其中L为由直线y x及抛物线y x2所围成的区域的整个边界;L由加和L?两段组成，其中，4=q（0右1）心少=£（0工工41.于是$ wds= 工出+工山=I"工八 +产也+ j H*/l不?2m）*（Lc J L J J J CJox及x轴在第一象限所围成的扇=次5再+6线一1), JL

2、 Jug（3） ?l evx yds,其中L为圆周x2 y2 a2,直线y形的整个边界；L由线段OA 0=0（0工工工G,圆弧电:（044本）和线段（。4金）组成（图11-D.OBfy国 11-1eds046dr - 1；D-Led$= 1 asin ()( + <acos i)2drae ；osJ a=£0 - 1 ,于是S'J 山=eT - 1 +彳痣 + 1 = e*(2 + 竽)-2«（4） x2yzds,其中 为折线 ABCD,这里 A、B、C、D依次为点（0,0,0）、（0,0,2）、(1,0,2)、(1,3,2)；r由直绥段AB ,8C和CD组成

3、.其中4BIj?=0,y=Qtz=r(0<r<2)iBClj=r,>=01T=2(0</<l)i CD；H=1,y=/月=2(皎£43).于是Odf+ f 0市 + 1 2td± = 9.Jq J D Ly2ds,其中 L为摆线的一拱 x a(t sint), y a(1 cost) (0 t 2 ).山=J傍）' + （案）出=>/aI(l - cos c)1 + a2sin 2 td?=噩aj cos Eek,° a2 (1 cos 力？ TSeti/l cos tdi=庶J。( cos £)¥

4、df = 72a，(2sin : j )山2.有一段铁丝成半圆形y Ja2 x2 ,其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。解 曲线L的参数方程为x acos , y asin 022ds . asin a cos d ad依题意 x, y y,所求质量 M yds o a2 sin d2a2L习题11-2 对坐标的曲线积分1 .计算下列对坐标的曲线积分：（1） Jx2 y2）dx,其中L是抛物线y x2上从点（0,0）到点（2, 4）的一段弧；?L(x y)dx (x y)dy（工* 一 = f （12 - j?）dLr J lJ a222,其中L为圆周x y a （按逆时针方

5、向绕行）；L的参数方程为try=asin九士从口变到27t.于是原式=?fjaCcos £ + sin £) * (一口gin t) a(cos £ - sin t) - acos idz（3） xdx ydy （x y 1）dz,其中 是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线;直线r的参数方程为以=l+hv=l+2t道=1+3"工从0变到L于是 原式=（1 + 力 1 +（1+2力 2+（1+工+ 1 + 2/-1） 3也(6 + 14Ddt = 13.0（4） ?dx dy ydz,其中 为有向闭折线 ABCA,这里A、B、C依次为点（1,0

6、,0）、(0,1,0) 、 (0,0,1);r由有向线段AB、BGCA依次连接而成，其中AHiX = 1九）=£,茎=口从。变到L BCiX = 0*3= 11加=右£从0变到CAtc = t,y 从0 变到 LJ dr 一 Ay -F ydz = J C1) 1+0山=-21dz - d, + ydz =SC%一(-1) + (1-£) ldt = l(2-t)df = 4J*此一曲+对工=£(1 0+0油=1.aJo6因此j dz djf + ydz = 2 + -1- +1 = -57* JrZ£2 .计算 L(x y)dx (y x)d

7、y, 其中L是:（1）抛物线y2 x上从点（1,1）到点（4, 2）的一段弧；解（1）化为对事的定积分从1变到2, 原式+ y）* 21y +（了一 了士） ldjf=L（2寸 + + y）dy = y. 从点（1,1）到点（4, 2）的直线段；（2） L的方程为）-1 =缶（工一 1），即工=打一2,了从1变到工化为对y原式=的定积分计算，有(3y 2 +y) 3 + (y 3y+ 2) ldy J i(IOjj 4)dj? = IL（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2）,然后再沿直线到（4, 2）的折线; 记Li为从点（1,1）到点（L2）的有向线段为从点（1,2）到点（4,2） 的有

8、向线段.则L汉=1从1变到2；L3 :了 =2,*从1变到4.在L上，也= 0*在G上,dy=0.于是因此J+ y）dx+（3工）dy =（了- 1）5=yLt（工 + 了）业+-1）d» =原式=4十金=14W-W27Cr + 2）也=（4）曲线x 2t2 t 1, y t2 1上从点（1,1）到点（4, 2）的一段弧。2* 十 t+l = l,|2 /+工+ 1 = 4.由1 可得l=0；由n可得上=1,因此I 产+1 = 1ld + l=2原式=（2产+t+l + / + l）（4f + l） + （H +1一 如一t -1） 2/d;Jq=j1 （XOt3 + 5/ + %

9、+ 2）出=等.3 .把对坐标的曲线积分P（x,y）dx Q（x,y）dy化成对弧长的曲线积分，其中L为:（1）在xOy面沿直线从点（0,0）到点（1,1）;解（1） L为从点（0,0）到（1,1）的有向线段,其上任一点处的切向量的方向余弦满足CO苜LB3芹=8雪手于是餐v2f P（x,）dr+ Q（j»y）d= P（h，3）cos 0 + Q（h，3）ccs 用山_ P_0，y）+Q（h-）山 沿抛物线y x2从点（0,0）到点（1,1）；（2） L由如下的参数方程给出皿=工,3=/,1从。变到1,故L的切向量 的方向余弦为.COS CT = L ：= = 7 = 1 千 cos

10、B = y f = = -=JJ1+丁（工，$yi + y 1 （x）+ 4工”于是 pa,y）dr+Q（H*>）3 = J pg-2雪色讪山.j l <1 +（3）沿上半圆周x2 y2 2x从点（0,0）到点（1,1）.(3) L由如下的参数方程给出拉=划了壬/石寸，工从0变到,故L的切 向量的方向余弦为cos a :.=/氏一工、cos 0 =了空"十丁(外一2工一£ 72x X2 - 1 x*于是J PG,y)dx+ Q(H.y)dy = (PGt力)+(1 工)Q(,y)ds.4.设 为曲线x t, y t2, z t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对

11、坐标的曲线积分l Pdx Qdy Rdz化成对弧长的曲线积分。解字=1串=表=2"，堂"3产=加注意到参数上由小变到大，因此F的 O£ UL0£切向量的方向余弦为：¥_ Icas a = 一r, ， 一 =,.;，工(£)+-气/+人气办 Jl+4-十97_ o £u) 2Hcos a = _ _二 _ _ = . 一 一 一 . f产 yTW+TWTTUT /1 + 4/ + &?力3vcos y ='-二 .=-_ £-/父"(力 +."(£)+dYD 71+ 4?

12、 4- 9/从而Pdx + Qd了+R枭=1)+空+ 平山JJr(1 1 Si* + 9,习题11-3 格林公式及其应用1 .利用曲线积分，求星形线 x a cos31 , y a sin3t所围成的图形的面积。正向星形线的参数方程中的参数£从。变到2心因此21ff+Cocos 3 i(3asin 2 /cos £)一 口sin J/(3acos 2 i)( sin f)dx=号(cos ,国口 2 ； + sin * Zcos2 力山J© 痴"cos 2 idi=制：/(1一包出=看2 .计算曲线积分? yd： xdy ,其中L为圆周(x 1)2 y2

13、 2, L的方向为逆时针方向。-L2(x y )解 在L所围的区域内的点(0,0)处，函数 均无意义现取r为适当小的正 数,使圆周“取逆时针向);x = rcos j = rsin tit 从。变到位于L所围的区域内，则在由L和 厂所围成的复连通区域D上(图I1-6),可应用格 林公式，在D上，9Q = - 一 - = 3Pdx 2(/ +/) 一 万，于是由格林公式得图 11-6；了&一纪dy .I ydbr 一工心 l2(/+V>从而£宙业一 X 一工出dxdy 0,Jj. 2( + jr2) 乂 2(/+?*)3 .证明曲线积分 )(2xy y4 3)dx (x2

14、 4xy3)dy在整个xOy面与路径无关，并计算 积分值。.函数P=2x3?+ 3*Q=j：2 - 4J7j3在My面这个单连通域内具有一阶连续偏导数，且%=2工一城=挛，dxdy故曲线积分在JcOy面内与路径无关.取折线积分路径MRN,其中M为(1,0) ,R为(2,0),N 为(2,1),则原式=J3dx + 1(4 )dy= 3+2 = 54 .利用格林公式，计算下列曲线积分：(1) ?(2x y 4)dx (5y 3x 6)dy ,其中 L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的 三角形正向边界；设D为L所围的三角形闭区域，则由格林公式， 3 + 4)如+(3了 + 3-6

15、>d> =需一苗) dxd>=JJ3 ( l)<hcd» = 4 Jdrrdj = 4 X (D 的面积)=4 X 3 = 12. DD(2) L(x2 y)dx (x sin2y)dy, 其中L是在圆周y ，2x x2上由点(0,0)到点(1,1) 的一段弧。由于P=x2 -y.Q= (x+sin 2 y)在xOy面内具有一阶连续偏导数， 且器=-1=苗，故所给曲线积分与路径无关.于是将原积分路径L改为折线 路径QKN,其中。为(0,0),R 为(1,0),N为(1,1)(图 U8),得原式=/dx (1 -F sin 21 I"23图 11-85

16、 .验证下列P(x, y)dx Q(x, y)dy在整个xOy平面是某一函数 u(x, y)的全微分，并求这样的一个 u(x, y)：2 .(1) 2xydx x dy ；在整个 孙 面内，函数F =以y和Q = /具有一阶连续偏导数，且毅=2工=装，故所给褰达式是某一函数的全微分.取(与，.)=(0,0), 则有22 (2 xcos y y cos x)dx (2y sin x x sin y)dy方法一在整个 Oy 面内，P = 2jtcos h + V cos 工和 Q = 21ysin hSin y具有一阶连续偏导数，且翁=12Hsi” =野心a T：故所给表达式是某一函数区工）的全微

17、分,取（期，皿）= 9,0）,则有2xdz + (2ysin h jsin y)d了 J o=/ sin m + 工1 cos yr注 在已经证明了所给表达式（工0）&十靠（工,于）电是某一函数4期了） 的全微分后，为了求以*），除了采用上面题解中的曲线积分方法外，还可用 以下两种方法'方法二（偏积分法）因函数May）稠足要=PCr，G = Zcou + r/cos 工,u(hM = 1 (2eos y + y 3s H)dr=t2 cos y + y'sin jc + ?(y ),其中仅了）是 » 的某个可导函数,由此得券 =jsin y + 2y5in 工

18、 + 平'(丁).又啾必需满足患=Q(x,jr) = 24ysin x jJsin y,从而得 dG)=。，孤了) = c(c为任意常数)因此忧= je3cos 3+/sin 工 + Ct取C=0,就得到满足要求的一个以盅万).方法三 利用微分运算法则直接凑出以右外.原式=(218号 ydx jc2 sind_y) + (,y2 cos 工dz + 2ysin 工心) = (cos 了dr* + Vdcos y)+ (j2dsin 工+ sin xdj2) = d(x2 cos »)+ d(y sin h) 二d(工2 cos y + j/sin 京).因此可取 u(xty)

19、=jc2cos j+ysin £26.计算 l (x 2xy)dx(x24、，y ）dy，其中L为由点O 0,0到点B 1,1的曲线弧_ x sin一2x,-Q x2x原积分与路径无关,A 1,0故原式2xydxy4 dydyOA AB1 2x dx0习题11-4 对面积的曲面积分1.计算曲面积分3zdS,其中 为抛物面z 2 (x2 y2)在xOy面上方的部分。解 抛物面£与江为面的交线为炉+丁=2,故在式为面上的投影区域 = l(x)4-y<2,又dS = /1 十一+ Wdrd)= J1 + 4 H. + 4卫1dzd>于是,3zdS= 3 2Dxy(x2

20、y2) ,1,22,4 x y dxdy16322o 914 2 "d 1 4 216633351111102.计算y2)dS,其中是锥面z23(x22、，一一y )被平面z0和z 3所截得的部分。由题设4的方程为之dS =+ xj + eJ dxdy=Jl +后策行+ 3最"也dy = 2drdy又由/ =和之=3消去工得+4 =3,故£在肛面上的投影区域D电为/十/43.于是+>2)dS= J (/ + 源 2cM可;曲j) 丽=9怎 三取3 .计算下列对面积的曲面积分：4 x y z .(1)(z 2x y)dS,其中 为平面一y 1在第一卦限中的部分

21、；32 3 4在E上，z = 4 2工一枭,£在箱卫面上的投影区域外为由工 轴力轴和直线5+专=1所围成的三角形闭区域.因此 / J01+ 2+黄)35=0 （4 _告,）+2H +会J1 + （2产+ （一表/山山 %=04 4|dr（lv =色算（% 的面积） %=空什2勺=4项 （x y z）dS,其中 为球面x2 y2 z2 a2上z h （0 h a）的部分；在工上，W=/屋一）一人在g 面上的投影区域d号=Gr,V 注fc,h由于积分曲面w关于a面和立片面均对称，故有 JprdS = 0 JJydS = 0. J£于是+事+公dS = JzdSi£Ry

22、=dj dbrd> = UTtCa1 - AaL %1,22、4.求抛物面壳z 2（x y ） （0 z 1）的质量，此壳的面密度为z.解 4（xa+y）fO<z< 1）在袁万面上的投影区域D号=!（H,峭 I 炉 + V < 2. Nm = x,Zy = y 故 dS = + 了 + y 也dy.因此M = jpd8 = JJ （ + ）/1 +八 + ,drdy 工出极里标 亨卜-1+一 - 10tM=打司>yr+7<v）="部:"1+疝4兔“"卜乳=f P4 * 恭一条序-1）1= 1（673 + 1）, 心L 3XD10

23、5.计算 （x2 y2）dS,其中 为锥面z &_y7及平面z 1所围成的区域的整个边界曲面。1 : z "x2 y2 ,在 1 上,ds 丫1 Zzdxdy ,1 在 xoy面的投影为 Dxy ：x2 y2 1在2上，ds dxdy ,2在xoy面的投影为Dxy: x2 y2 1y2 ds 、2 x2Dxy21!22,1y dxdy x y dxdyDxyrdr,2 1习题11-5 对坐标的曲面积分1 .计算下列对坐标的曲面积分：(1) x2y2zdxdy,其中 为球面x2 y2 z2 R2的下半部分的下侧:2在他面上的投影区域D.工,事)|I"+/<1,在

24、工上,=一/圮一工因W取下侧，故%极坐标, Jp* cos 2/in 2 3 Jr二，xM %=j isin 2 j g Jk一，中R5 sin、t Kcos t J?cos E山0=与R'J；(4n $ L 妨117 力出f (x, y,z)f(x, y,z) xdydz 2f(x, y,z) ydzdx f(x, y,z) zdxdy,其中为连续函数，是平面x y z 1在第四卦限部分的上侧;在E上，工=1工+%由于5取上部故工在任一点处的单位法向量为n -.=.(gzt - % J) 5 1 J)./1 +磅 +73由两类曲面积分之间的联系，可得原式=0(/+ 工)83 a +

25、(2/ + ?)cqs a+ (/ + w)8s ydS£/+公-(2/ + >) + (/+ z)ds的面积)=得.4=/2 .把对坐标的曲面积分P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy化成对面积的曲面积分，其中(1) 是平面3x 2y 2展 6在第一卦限的部分的上侧；解 U)由于工缸+ 2y+26光=5取上侧,故£在任一点处的单位法向量为昌= (cos iitcos /?,cos y) '(322质)V32+2e-F(273)2一 / 3 2 2 一七5 5卜于是 jj Pddr + Qddr +J?dzdy =

26、 jJlPcos a + Qcos p + Rcos y)dS I£U停P+卷Q+皑R)ds(2) 是抛物面z 8 (x2 y2)在xOy面上方的部分的上侧；<3)由于E： t = 8 + ")取上侧，故W在其上任一点(工，山公处的单位法向量为(A - Zy , 1 ) s* f 2x-2yJ ,/14-(-2x)E + (-2y)2于是Pd*de + Qdzdr+ Rdxdy = J(Pcos a + Qcos p + Reos y)d53.计算 x2dydz y2dzdxz2dxdy,其中为球面xR2在第一挂限部分曲面块的上侧，R为正数。解由对称性，x2dydzy

27、2dzdxz2dxdy在xoy面上的投影域为D : x 0, y220, x yR222所以 x dydz y dzdx z2 . 八 2 ,八dxdy 3 z dxdy 3R22,y dxdy2 R 22.32d R r rdr o o习题11-6高斯公式(1) 用高斯公式计算曲面积分：(2) 22.(3) 0 x dydz y dzdx z dxdy,其中 为平面 x 0 , y 0 , z 0 , x a , y a ,z a所围成的立体的表面的外侧；原式=1偿+翁+翁）所=2（工+茅十七） aJUJ o J o Joa 2=6 a a y - 3a（2 ）xdydz ydzdx zdx

28、dy,其中 是界于z 0和z 3之间的圆柱体x2 y2 9的整个表面的外侧；原式=1(器+翁+ !)'=jj(l + 1 + Dd-rz = 3Hd 和njr= 3*3Z*3 = 81TL(3 ) 04xzdydz y2dzdx yzdxdy,其中 为平面 xz 1所围成的立方体的全表面的外侧；+粉卧口=1(4m 2y-y)&u(2 y)d» =等.042.计算曲面积分Iz 2x dydz zdxdy,其中是曲面z x2y2 0 z 1的外侧.解添加平面21 :z 1 x1构成封闭，应用高斯公式地I2 1 dv dxdy 3 d rdr 2 dzoJ 00 r21 1

29、Dxy习题11-7斯托克斯公式1 .利用斯托克公式，计算下列曲线积分：(1) q ydx zdy xdz,其中 为圆周 x2 y2 z2 a2, x yz 0,若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向;解(1)取E为平面工+ ?=。的上侧被所围成的部分，则E的面积 为.z ,£的单位法向量为n = (cos a,cos /?,cos /)=G方匍(图n-.由斯托克斯公式,= I(45W)dS -那(4) ? 3ydx xzdy yz2dz,其中 为圆周x2 y2 2z , z 2,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向；(3)取工为平面t = 2的上侧被所围成的部分，则£的

30、单位法向量为 以=(0.0,1) 正在 0 面上的投影区域4为/ +V44.于是由斯托克斯公式001- jczdy + yz2dz =爪 1d33 JC五汨五资3y - h yz2=-JJ(=4-3)dS =一。(2 + 幻&3=-5林 22万 =-207r.2222(5) ? 2ydx 3xdy z dz,其中 为圆周x y z 9, z 0,若从z轴正向看去, 这圆周是取逆时针方向；(4)即为上方 面上的圆周一十炉=9,取£为圆域工学十丁 &9的上侧, 则由斯托克斯公式d1ydz dzdx dxdj.2城+知物一/也=易 53复习题十一1 .计算下列曲线积分：(1

31、) ?l &y2ds ,其中 L 为圆周 x2 y2 ax ；解 解法一 L的方程即为卜一力 + V =亨，故可取L的参数方程为工=告十得83 hy = ffi-sin e,。e W 2m于是 乙-|-cos i (一.虱口，)+=l：C+ 小=- 72j"* I cos j dr=2a2 cos 4d 4 = 2d.解法二 L的极坐标方程为#=«cos 8(&&给， ds =+ p"曲=口 d&*qbs 6 add = 2as .(2) J2a y)dx xdy ,其中 L 为摆线 x a(t sin t) , y a(1 cos

32、t)上对应 t从 0 到2的一段弧; a sin tydi(2q y) dr + 工 dyC(2a a+acoa t) a(l - cos O+a(fsin £) QZ-Kcos疝 02J tstn £也=a2_- Ecos 上口引 +口2 荷 + 0 =- 2(3) Jexsiny 2y)dx (excosy 2)dy,其中 L为上半圆周(x a)2 y2 a2, y 0沿逆时针方向;如图11添加有向线段QA；”二O,1从 。变到的,则在由L与OA所朋成的闭区域D上应 用格林公式可得.(esin y Zyidr + (e'cas y 2)dyJ L+CMJR券一段

33、)山事D川图 11-14 cos y 一 ecos y + 2)lrdy解 。)将E分成石和每两片名为1为第=一斤三, 心和a在zOx面上的投影区域均为。0=(工，之)| 0 * * * H, R £ h <R.Rarcsin 声icarctanHRt于是I (c/sin > - 2>)dx + (ecos y-2)dy Cri=苴/J 仁或” >-2y)dz + S83 y 2dy=m" -1(esin 0 2 0)dx 2.计算下列曲面积分：dS(1) 工22，其中是界于平面 z 0及z H之间的圆枉面 x2 yR2 ;x y z又由于被积函数关于丫是偶函数，积分曲面名和工美于zOx面前称，故 二 _ _ (T 晅_HJJ/ + V + / 一*+：/ + R。耳由此得(y2 z)dydz (z2 x)dzdx (x2 y)dxdy,其中 为锥面 z 6y2(0 z h)的夕卜侧; 添加辅助曲面£1=(=,公|工=九"十V<好)，取上恻,则在由£ 和豆所包围的空间闭区域用上应用高斯公式得JJ (城一1Jdjrdz + (2 x) dzdr + (xe - y dxdjMS+堂+*" ,一nn于是 原式=-+ (/ H)dtdx+ ("Jdrdjr工=一9叱,)dxd