第二册上册第六章第3节不等式的证明(文)

1、课程信息年级高二1学科数学1版本 人教版内容标题不等式的证明编稿老师李美臣【本讲教育信息】一.教学内容：不等式的证明教学目标1. 掌握不等式证明的作差比较法和作商比较法。2. 在熟悉一些常用基本不等式的基础上，掌握不等式证明的综合法；3. 掌握分析法证明不等式的要求和格式；一'4. 通过本节内容的复习，提高同学们的化简意识、变形意识，拓宽解题思路，提高推理 论证能力。二.重点、难点：1. 教学重点：理解并掌握不等式证明的三种方法。即：比较法、综合法、分析法。2. 教学难点：正确理解三种证明方法的证题思想，准确把握证明步骤和书写格式。【例题分析】'(一)比较法：比较法有作差比较法

2、和作商比较法两种。1. 作差比较法：一般适用于具有多项式结构的题目。其步骤是：作差一一变形一一判断差的符号(与0比较大小)。2. 作商比较法：一般适用于不等式两边恒为正且具有乘积式幕指数结构的题目。其步骤是：作商一一变形一一判断商与1的大小。例 1.已知：x，y 忘R，求证：X2 -xy +y2 >x +y -1解析：0比大小。这个不等式两边是多项式结构的，因此可采用作差比较法，最后的结果与2 , 2 ,.x -xy 十y -X -y +1=x2 -X +y2 -y -xy +12x2 -2x +2y2 -2y -2xy +2=1X2 -2x +1 +y2 -2y +1 x2 +y2 -

3、2xy _22(X1 严(y 讦 +(xy)2_1_2(X -1 f >0, (y -1 2 >0, (X -y j >0寸収-1；2 +(y -1；2 +(x-y)2>022/. X -xy +y 壬 +y -1说明：采用作差法证明不等式，作差后经常采用配方的办法，判断结果与0的大小。例 2.已知：a 二b 二c：>0,求证：a2ab2bc2c 3ab*bc%a解析：此题具有积的结构，且两边恒为正的不等式。因此，采用作商比较法，最后的结果与 比较大小。、a2ab2bc2c证明： 一乔飯a b c_a2a _(b He) b2 b 工卡)c2c_(fe)= a(a

4、 上)*a_c)，b(b)+b_c) 9)十c)*a>b >c0ab”".一工1,工1,bca>1, a -b >0, cb c >0, a 二c >0W<c7八 2a .2b又- a'b2a, 2b 2c/. a b c>12c _ b 书.c* c >0, a b_ b -fe . c -b a -fe >a b c宀0、b -Cwww.chijiaedu.cani第3页 版权所有 不得复制说明：在上述讨论中，要求必须对指数函数的性质清楚。2 2例3.已知：ab0,求证：需芽解析：根据已知条件及要证的不等式的结构

5、，既可以用作差比较法也可以用作商比较法。a2 -b2 a -b证法一：二一r -a2 +b2 a+b(a-b 犯a+b )2 (a2+b2 )_(a2 +b2 j(a +b)(a2 +匕2 Ja + b ) 2ab(a-b )丸原不等式成立证法二:a +ba -b左边_a2 -b2右边"a2 +b2原不等式成立(二)综合法：就是从已知的不等式出发，用必要条件代替前面的不等式，直至推出欲证的 不等式。若 a, b<R，则 |a>0, a2>0, (abf>0; 若 a, b 忘R，贝U a2 +b2 >2ab;若 a, bR +则 a+ b >2;b

6、 a若 a, b >0，则一+ >2。a b常用的重要不等式有：(1)(2)(3)1 1 1例 1.已知：a；>0, b：>0 , caO,且 a+b+ c=1,求证：一 +- + - >9 a b c解析：要证此不等式，应充分使用已知条件， 同时改变要证不等式左边的现状，使之可以运算且大于或等于9。1 1 1证明： +a b c= a+b+c +a+b+c+a+b+cccc丿 Vb cJ -b+a +£ +£ b b c + it+a'、a>3 +2 +2 +2 =91 1 1. - +- +- >9a b cab c =

7、3 +- +-a ae a = 3+1 + 'a b/QQQ例 2.已知：a、b、c为MBC 的三边，求证：a +b +c cZgb+bc + ca)解析： a、b、c 为 ABC 的三边，可以挖掘出a、b、c均为正数，且a<b+c, b<a+c, c<a+b，在此基础上我们再构造b、c。_ _证法一：在 ABC中，a、b、c为三边 a<b+c, b<a+c, c<a+b”a2 va(b +c , b2cb(a+cc2 vc(a +b)2 2 2/. a +b +c va(b+c) + b(a+c ) + qa+b )即 a2 +b2 +c2 2但b

8、 +bc + ac)证法二：在 ABC中，a、b、c为三边”|ab|<c, |b-c|ca, |ad£b孑、<c2, (b-cy <a2, (a-cj cb2 + (b -c；2 + (a -c)2 <a2 tb2 +c2 +c2 <2(ab +bc +ac)说明：由a、b、c是 ABC的三边，挖出a、b、c均为正，且两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边，来供求证明使用。例3.已知:a、求证:b、c是不全相等的正数。,a +b 丄,b +c 丄,a +c,丄,ig+ ig+ ig>lg a + Ig b + Ig c2 2 2分析:由于要证的不

9、等式两边均为以込也 Algabc。10为底的对数，所以逆用对数运算法则，这个不等式应等价于ig2 2 2又以10为底的对数函数是增函数a+b b+c a 中c二它又等价于丁丁沁www.chijiaedu.cani第4页版权所有不得复制证明：/ a、b、c是不全相等的正数a +b>705 A 0<1 >>Vb >0<2>>va >0<3 >r 2b +c2a +c2 a、b、c是不全相等的正数 <1><2><3>式中至少有一个不取“=”号a +b b +c a +c ,/.” '>

10、abc2 2 2给上式两边同取以10为底的对数_.a +b a +c b +c """"Ig>lg abc2 2 2r a +b b +c a +c即 Ig +lg +|g>lg a +lg b +lg c -(三)分析法：分析法就是从求证的不等式出发，逐步寻求使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式问题转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立。分析法的特点：执果索因叩-例 1.已知：a、b、c、d 亡R=-求证：Ja2+b2Yc2+d2织(a+ c j +(b+ d R解析：分析法有两

11、种书写格式：(1)使用“连接”关键词，如“为了证明” ，“只需证明”，“即证”等。(2 )全部使用逆推符号“ U ”。证明： Ja2 +匕2 +Jc2 +d2 3J(a +c+(b +du (Ja2 +b2 +寸c2 +d2 ) >(a + c +(b+du (a2 +b2 Jc2 +d2 )>ac+bd a, b, c, d 迂 r + )2 2 2 2 2 u(a +b Ic +d )3(ac + bd) u b2c2 +a2d2 >2bcad即(be-ad 2 >0显然成立所证不等式成立例2.已知：50,求证：茫严<琴皿<&料解析：这是一个含两

12、个不等号的连不等式，因此得分别证明两个不等号都成立。先证:小_腹 Ja-b)228b证明：aAbAOa +b'要证：罟f只需证：a+b -2阿c（a bi，从而4b2只需证：0吒（ja - jb < （a b L，从而'' 4b只需证:va -Tb c 土，从而2Jb只需证：只需证：即 a + b ;>2 jab2jaB2b<；ab，从而a -2VaB +b ;>0,'a Ab0 ”*+13>275成立2 - 成立28b另一部分a： b' <_ jOb留给学生自己，证。8a2同时，练习一下书写格式。【模拟试题】1. 已

13、知：2. 已知：求证:a,b 亡R中，求证：a5 +b5 >a3b2 +a2b3x、y、z是互不相等的正数，且 x+y+ z =1。 |勺_1|匕_1 丫1 _可>8'、乂 八寻 皿）F13.已知:a2 +b2 +c2 =1，求证:4.已知：a,b亡R十且a Hb，求证:I1一一 <ab +ac +bc <12a3 + bS-a2b +ab2 （要求用三种方法）求学曲三亍条件是：实观療=爹吃苦、寥硏究力1www.chijiaedu.cani第9页 版权所有 不得复制【试题答案】1.这是一个多项式结构的不等式，显然是用作差比较法。 丄亠 x2.先把每一个小括号内的

14、两项通分看看，即1 _X 1 n，再把1换为y zx+y+z1y +z 2炉1 =>XXX1X +z 27XZ一 一1 =>y yy1X +y2 阿1 =>zzz>0<1>>0<2 >>0<3 >/ X、y、z均为正数且 X+y+z=1110 <x <1, ”". 一 >1, ”". 一 一1 >0XX11同理，丄_1>0,丄_1>0yz则<1> X <2> X <3>可得出要证的不等式:GT J1->83.先证 ab +bc +ac <a2 +b2 +c2 =1 由重要不等式：a2 +b2 >2abb2 +c2 >2bca2 +c2 >2a