从不同观测系（参照系）的角度看芝诺阿克琉斯追乌龟悖论的破解以及芝诺表述迷惑人的地方究竟在何处

1、 从不同观测系（参照系）的角度看芝诺阿克琉斯追乌龟悖论的破解以及芝诺表述迷惑人的地方究竟在何处 沈卫国一、观测系（参照系）的选择对芝诺悖论破解的影响及贡献笔者前期文章中已经讲的十分清楚了，在芝诺的阿克琉斯追乌龟悖论中，如果把观测系定在乌龟背上，也就是在该观测系（参照系）中，乌龟是静止的。此时我们可以很清楚地看出，芝诺的描述等价于“在阿克琉斯追上乌龟之前”。实际上，这就是芝诺描述的情况的前提或缘由。也就是，只有在阿克琉斯追上乌龟之前，才会有每当阿克琉斯到达前一时刻乌龟到达的点时，乌龟又利用这段时间前进了一段距离。于是，最终芝诺的阿克琉斯追乌龟悖论的完整表述或本质表述，等价于“在阿克琉斯追上乌龟之

2、前，阿克琉斯没有追上乌龟”。或“在阿克琉斯没有到达乌龟那一点时（共点），阿克琉斯没有到达乌龟的那一点（未共点）”。可以把这新的表述看成是同义反复，也可以看成是前因后果的关系：追上之前是前提，或原因，而阿克琉斯尚未追上乌龟是结果。显然，所谓“在阿克琉斯追上乌龟之前”这个命题，当然不等于“阿克琉斯就追不上乌龟”，无论是在有限时间还是在无限时间（永远）中。我们都知道，同一个物理事件或过程，改变观测系或对不同的观测系而言，其物理规律和事实不变，改变的仅仅是其表观形态而已。因此，同一个物理过程，我们可以站在不同的观测系的角度来看，有时可以使得该物理事件或过程的本质更容易地被揭示。或简化、明确该事件或过程

3、的描述。按上面的思路，我们可以把芝诺论述阿克琉斯追乌龟悖论所依据的那个观测系定义成a观测系，把定在乌龟“背上”的观测系定义成b观测系。显然，在通常的a观察系中，阿克琉斯是在追赶乌龟的。我们设它们的运动方向都是自左向右的。阿克琉斯的运动速度（单位为省事起见省略）为5，乌龟为1。都左向。那么，同样的这个物理事件或过程，在定在乌龟背上的b观测系看来，乌龟的运动速度为0，未动。而阿克琉斯的运动速度为4，仍旧左向。这个b观测系，当然是相对a观测系在向右以速度1运动着的（与乌龟同速同向）。我们现在定义一个c观测系，它相对于a观测系向右以速度6运动，在此观测系中，乌龟向左以-5速度运动，而阿克琉斯也向左以速

4、度-1运动。在这个c观测系中看来，乌龟反倒以更高的速度-5在向左追击速度更慢的（-1） 阿克琉斯（当然是只讲“速度”和方向，不论阿克琉斯的脸和乌龟的头的“朝向”）。 由此可见，同样的物理事件或过程，在不同的观测系看来，本质未变，但表观效果（观感）是不同的。于是，我们不妨定义一个观测系d，其相对a观测系向右以速度3运动，在静止于此观测系的人看来，阿克琉斯向右以速度2运动，而乌龟向左以速度-2运动，二者等速迎头相向而行。它们当然早晚会“碰头”，也就是会合。而这个“事件”，正是a观测系中人们看到阿克琉斯追上了乌龟的那一时刻。我们特别注意到，在这个d观测系中，同样的物理过程，从来就没有什么在a观测系中

5、看来的“阿克琉斯到达乌龟先前的位置时，乌龟又前进了一段距离”等等。因为在这个d观测系中的人（观察者）看来，阿克琉斯并没有循着乌龟的路径去追击乌龟，而是二者相向而行。在会合之前，没有任何空间坐标点被先后“共享”。在此观测系中的观察者看来，每当向右运动的阿克琉斯到达一个静止于d参照系中的点时，乌龟都在其右方（即芝诺悖论赖以表述的a观测系的“前进方向”），也就是始终在“前”（芝诺的观测系中的表述），但二者间的距离是不断缩短的，因为在d系中，二者是“相互迎头运动”着的。在这个与芝诺表述（基于a观测系的）等效的d观测系中，乌龟始终在阿克琉斯的右边（对应于芝诺的乌龟始终在阿克琉斯的前方）的事实，是基于“二

6、者会合之前”这个前提的。换言之，乌龟的“始终在右”或“始终在前”的这个“始终”，是以二者“追上”或“会合”那一刻之前为前提的。也就是这个所谓的“始终”，是会“终”于会合的那一刻的。这一切（相同的一个事件、过程）在芝诺基于a观测系的描述看来不明显，而基于d观测系对同一事件的描述看来，是非常明显的。芝诺基于a观测系的那个经典表述，即“阿克琉斯刚到乌龟前一刻所经过的那点，乌龟又前进（向右）了”，当然等效于基于d观测系的二者在会合之前，乌龟始终在阿克琉斯的右边，尽管是二者是不断接近的。而正是这个“二者不断地接近”这个信息，在芝诺的那个经典表述中（基于a观测系的）没有反映出来。他只是说“乌龟又前进了（此

7、例中即“向右了”）”。同样的事实、过程，在d观测系的说法，就是“乌龟始终在阿克琉斯的右边”。右边多少，是缩短了还是不变还是加大了，一概在芝诺的经典表述中没有出现。因此可以看出，在d观测系中很容易被表述出来的阿克琉斯与乌龟间的相对运动特性（1、阿在左，龟在右。2、二者不断接近，最终会合），在芝诺基于a观测系的经典表述中，实际上只剩下了“阿克琉斯在左，乌龟在右”，二者的不断接近的信息，在芝诺的表述中没有明确，需要进一步的分析与推导。正如笔者现在所作的这样。（笔者说了这么多，不都是在“分析”、“推导”吗？）我们现在还可以换一个思路，不一定非要站在观测系的角度来看阿克琉斯与乌龟的运动方式，而是站在一个

8、观测系的角度，来看另一个观测系中静止的点的运动情况。比如，我们站在b观测系的角度，也就是以“乌龟背”上的观测者的角度，来看静止于观测系a中的某点先后经过乌龟与阿克琉斯的情况，我们又会得到什么样直观的结论呢？须知，这与a观测系中的观察者看到的阿克琉斯追乌龟这个过程是同一个“事件”或过程，只是“观察角度”不同罢了。具体说，我们在乌龟背上（观测系b中），会看到静止于观测系a中的所有的点，是向左以速度-1运动着的。这些个点，在阿克琉斯到达（追上）乌龟静止的那点前，都是要从右至左地先到达乌龟，然后再到达阿克琉斯的。注意，这里特别要强调在此b观测系中十分显然的事实：在阿克琉斯到达乌龟那点之前。因此只有在这

9、个“之前”，阿克琉斯才与乌龟之间有非0距离（无论多小），也才有静止于a观测系中点从右至左地先到乌龟，再到阿克琉斯的时间差存在。显然，对这同一个事件或过程，无论在b观测系中看，还是在a观测系中看，实质是一回事，只是表现形式不同。于是，在b中看静止于a中的点的从右向左先到乌龟后到阿克琉斯，与在a中看乌龟从左向右先到静止与a中的某点，而阿克琉斯随后也从左向右到该点是同一个事件过程。于是，在芝诺悖论悖论的表述中的“当阿克琉斯到达前一时刻乌龟到达的某点时，乌龟又前进了一段距离”，等于是说在前一时刻乌龟已经也就是“先”到达了该点，稍后，阿克琉斯才到达同一个点。这等价于在b（乌龟背上看到的）中看到的静止于a

10、中的点先到乌龟再到阿克琉斯。我们还可以定义一个e观测系，把e定义在阿克琉斯身上。在这个e观测系（也可以认为是“阿克琉斯观测系”）中，阿克琉斯当然是静止的，乌龟此时以-4的速度从右向左运动。阿克琉斯还是在乌龟的左边。在这个e观测系中（也就是在阿克琉斯看来），乌龟是从右边过来，向处于左边的他以-4的速度接近并且最终与他会合的。而在他看来，静止于a观测系（芝诺所赖以描述整个过程的观测系）中的某点，是从右边先到达乌龟，再（后）到达阿克琉斯自己的。但注意，在这个e观测系中看，当a中的静止点先到乌龟再到阿克琉斯的这段时间差中，乌龟不是原先的向右又走了多少距离，而是向左又走了一段距离，也就是向着阿克琉斯又近

11、了一点距离。这个距离是不断缩小的，最终当然会等于0，也就是二者会合。在芝诺的赖以表述其悖论的a观测系中看，也就是阿克琉斯追上了乌龟的那个时刻。而在阿克琉斯静止其中的e观测系中看，非常明显地，当a 中的某静止点经过乌龟从右而左地到达阿克琉斯时，只要乌龟与阿克琉斯还没有会合，乌龟就还距离阿克琉斯一段距离，但这个距离是不断缩小的。最终为0，这是非常明显的。因此显然地，说在二者会合之前（当然就是芝诺的“追上”之前）一定会有不为0的距离，证明不了二者永远不会会合，也就是证明不了总是会有不为0的距离。因为可以明显看出，二者间的距离是不断缩短最终消失的。而这个e观测系中对整个事件、过程的描述，与芝诺的基于a

12、观测系的描述的是同一个事件、过程。在芝诺的表述中给出的a观测系看来，一个静止与a的点，先被乌龟从左到右地“经过”，然后才有在其后面（左边）以更快是速度从左到右地经过，乌龟与阿克琉斯的运动方向在a观测系中一致，都向右，但速度值不一样，阿克琉斯当然更快。因此，二者之间的相对距离的不断缩小，虽然不太直观，但仍旧是可以看出来的。因此，芝诺那个似是而非的悖论表述，其根源是对整个事件、过程的描述不完全所致。也就是没有对整个事件、过程的所有要素都进行完备的描述，它等价于“在阿克琉斯追上乌龟之前的前提下，阿克琉斯没有或尚未追上乌龟”。这是同义反复，或也可以看成是“因为有了阿克琉斯追上乌龟之前这个前提，所以才有

13、阿克琉斯还没有追上乌龟的结论”，具体说就是芝诺在其悖论中的那些表述才能成立。这当然不意味着仅仅根据阿克琉斯还没有追上乌龟，或等价地在芝诺的那些表述下，就推出阿克琉斯永远或在有限时间中不可能追上乌龟的结论。一个推导的前提，不能作为该推导的结论。逻辑上这就是因果倒置、以因为果。这就是芝诺阿克琉斯追乌龟悖论的完整的、完备的逻辑结构。而一个悖论也好，佯谬也好，只要一旦明确其通常是自相矛盾或同义反复的逻辑结构，也就等于把其原先悖在何处、谬在何处讲清楚了。而一旦讲清，悖论自消，也就是所谓的“解悖”了。2、 芝诺悖论的经典表述究竟为什么会如此迷惑于人最后，我们来分析一下究竟为什么在其它观测系中看来非常明确的

14、一个问题，而在芝诺 的a观测系中却如此不明显，以至于多少年来，争论不休？我们说，如果我们把观测的基点放在静止的一方或速度慢的一方（也就是被追击的一方，也就是“乌龟方”），则可以很明显地看到另一方（阿克琉斯方）对其的不断接近，也就是二者的距离不断地缩短直至消失为0的整个过程（就是“追上”）。但芝诺的那个经典的基于a观测系的表述中，却不是基于被追击的、速度慢的乌龟的，而是基于追击的一方、也就是速度快的阿克琉斯一方的。因此，该方（就是阿克琉斯）经过、到达静止在a观测系中某点时，该点是乌龟曾经在之前到过、经过的。现在乌龟已经又前进一段了。在这个表述中，没有阿克琉斯与乌龟间距离的任何信息，没有它们越来越

15、短的任何表述。因为阿克琉斯比乌龟运动速度快这点，不像把观测基点设定在乌龟身上（a观测系中的静止点，乌龟先经过，阿克琉斯后来再到达），阿克琉斯比乌龟运动速度快，可以很容易地看出来。但如果基点在阿克琉斯身上，则我们说的是“当阿克琉斯到达该点时”，乌龟又前进了。阿克琉斯与乌龟间的相对速度，被掩盖了。既没有提，也不明显。在这个芝诺的表述中，也无法区分如果阿克琉斯与乌龟等速甚至乌龟反倒比阿克琉斯运动快等情况之间的区别。它只是告诉我们，“乌龟又前进了”，前进了多少，与阿克琉斯间的距离是多少，如何变化的等等信息，都没有。由于在a观测系中，阿克琉斯与乌龟是同向运动的，把观测基点放在后面的、速度快的、追赶乌龟的

16、阿克琉斯身上，在表述上就缺失了把观测系固定在被追赶者乌龟身上（乌龟在该系中静止的b系）或乌龟运动速度慢的观测系中那么明显。因此，阿克琉斯与乌龟之间的距离不断缩短的信息在芝诺的表述中的缺失或二者间原本存在的相对接近的速度没有被表述及很容易地被看出（观测基点被选在了追击方的、速度快的、与乌龟同方向的阿克琉斯身上），在a观测系中，看不到乌龟向着阿克琉斯的接近。只是看到阿克琉斯前进了，乌龟也同向地前进了。前进了多少，前进距离是不是更小了，一概没有表述，与二者等速运动或乌龟更快运动的情况没有表述上的区别。这就是芝诺的这个悖论迷惑人的地方。它之所以能迷惑，是追赶的信息不完整。没有看到其表述的现象，仅仅在阿

17、克琉斯追上乌龟之前这个前提条件下才会具有。即：阿克琉斯到达乌龟先前经过的点时，乌龟又前进了。只有在“阿克琉斯追上乌龟之前”这个前提条件下才能有。而此点是比较隐蔽的，不容易在芝诺的表述中被发现的。原因就是观测基点的选择问题。它使得问题被表述的模糊了。仔细盘点芝诺的对其悖论的表述“每当阿克琉斯到达乌龟先前的位置时，乌龟又前进了一段距离”与其实与其等价的“每当乌龟到达某点时，阿克琉斯都在其后某位置”之间的区别，可以发现，前者乌龟是“离开”阿克琉斯在a观测系中达到的那个静止的点运动的。而在后者，阿克琉斯是“朝向”乌龟在a观测系中到达的那个静止的点运动的。后者如果加上阿克琉斯比乌龟运动速度快这一事实，则

18、很容易看出二者间距会不断缩小。即：乌龟刚刚“离开”该点，阿克琉斯就“朝着”该点跑来了，且以更快的速度。再傻的人，也能很容易地看出将会发生什么。但前者，即同一事件在芝诺的表述下，阿克琉斯到达某点时，乌龟不是“朝向”该点运动，而是向着“离开”该点的方向在运动，尽管运动方向与阿克琉斯是一致的，而且都知道阿克琉斯的运动速度大于乌龟的运动速度，但在芝诺的表述中，二者的相对距离的不断接近这个事实，不但在表述中没有，而且不容易被一眼看出。也就是前文讨论的，芝诺的这套语言“把戏”，只要阿克琉斯到达乌龟先前的位置，乌龟就会又前进这个事实，是基于一个前提条件的，就是“阿克琉斯追上乌龟之前”。此要点在芝诺的经典表述

19、中是不容易被看出来的（别看很简单！我之前，有谁得到这个认知了，请有心者明确指出来。一个是防止有人抄，一个是杜绝有人说“这有什么呀，本来就如此嘛”之类的便宜话）。朝向某点，意味着会合。而离开某点，表观上似乎是分开。究竟是不是分开，还是终归要会合，就要分析，推理了，起码是不很直观了。总之，芝诺的表述中容易使人困惑的原因是，在芝诺的a观测系中，如果把这同一个事件过程，看成a观测系中的某点先被速度慢的乌龟到达并经过，然后再被速度快的阿克琉斯到达并经过，同一个静止与a观测系中的点，被速度不同的二者分别到达、经过了两次。在这样的事实表述中，第一，很容易看出阿克琉斯在追击乌龟，也就是他比乌龟的速度快。第二，

20、根据a观测系中某点先被慢速的乌龟经过，再被快速的阿克琉斯经过这个事实，实际我们就掌握了二者的距离信息和相对速度信息，就会推知阿克琉斯早晚会追上乌龟的。换言之，如果把阿克琉斯与乌龟看成a观测系中的两个运动的点，我们如果在速度慢的乌龟点作为基准，当该点到达某a系中的静止点时，速度快的阿克琉斯点是朝着乌龟点运动的，而且其速度比乌龟大。这种追击的态势十分明确，这就很显然，我们立刻就能明白或推出阿克琉斯早晚会追上乌龟的。但是芝诺的表述是“阿克琉斯到达乌龟前一时刻到达的某点时，乌龟又前进了”。二者运动方向一致。可是在阿克琉斯到达a系中的某乌龟曾经经过的某点时，看此时的乌龟点，在a观测系中的观察者看来，乌龟的运动方向是离开（不是“朝向”！）阿克琉斯所在的那一点的（我们看成是基准点）。因此仅就到此为止芝诺论述所提供的信息，a系中的观察者，如果不作进一步的分析，不容易看出阿克琉斯与乌龟间的相对距离在不断地接近。因为此时的观察基点不是放在了被追击的速度低的一方，而是放在了追击一方的速度快的一方。它不容易看出这种追击关系、二者之间的相对距离的不断缩短的关系（