第一章数学模型

1、第一章数学模型一.模 型为了一定的目的，人们对原型的一个抽象例如：航空模型对飞机的一个抽象，城市交通图对交通系统的一个抽象二.数学模型用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。例1 :牛顿定律物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。引入变量x(t)表示在t时刻物体的位置，F表示合外力大小，m表示物体质量。则受力物体满d2x F m-2-dt足如下运动规律，数学模型例2:哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发， 通过每座桥恰好一次，回到原地?由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。三.数学

2、模型的特征1 .实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。2 .应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。3 .综合性：数学与其他学科知识的综合。第二章数学建模举例数学建模(Mathematical modelling)是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。下面给出几个数学建模的例子，重点说明：如何做出合理的、简化的假设；如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。例1.管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。假设：1. 直

3、圆管，粗细一致。2. 带子等宽，无弹性。3. 带宽小于圆管截面周长。4. 为省工，用缠绕的方法包扎管道.参量、变量： W :带宽，C:圆管截面周长，：倾斜角(倾斜角)包扎模型 W Csin(截口)包扎模型|OB|、C W2进一步问，如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？设管道长L,圆管截面周长 C, 带子宽 W,带子长M.带长模型 M LC /W C2 W2问题：1 .若L = 30m, C = 50cm, W = 30cm ,则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上2 . 现有带长M1=51m， 计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。

4、应该如何包扎这个管道？( 计算结果精确到0.001)例 2. 桌子摆放问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。假设：1. 桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。2. 地面的起伏是连续变化的。3. 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。参数，变量。1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？记x a , Xb、x c、x d分别为脚A , B, C, D 与地面的距离。则 当 xA =xB= x C=xD =0时，桌子的四个脚同时着地。2. 如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？定

5、位：桌子的对称中心。位于平面坐标原点移动：桌子围绕中心转动。记 为AC与X轴的夹角，则可用 表小桌子移动的位置。0 .于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是6的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。令 f( )= x A( ) + x C( ), g( )= x B( )+ x D( )如果在位置桌子四脚落地, 则有 f( ) = g( ) = 0.根据假设2 知f()和 g( ) 是连续函数，根据假设3 有f()? g( ) 0，.根据假设1 有 f(1)=g( 0) 和 g( 1)=f( 0), 其中1= 0+ 900模型：已知 f( ) 和 g( ) 是连续函数，f( )

6、 ? g( ) 0，.若 f(0) = 0, g( 0) > 0, 则存在 *使得 f( *) = g( *)=0 。证明：因为f(1)=g(0)>0, g( 1)=f(0)=0,其中 1=0+ 90 0令 h( ) = f( ) - g( ), 则 h( ) 连续且 h( 0) < 0, h( 1) > 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在 *,0*1, 使得h( *)=0. 又由 f( *)? g( *) 0，得 f( *) = g( *)=0 。问题：1 .将例2的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD，试构造数学模型证实结论同样成立。2

7、 .小王早上8: 00从A城出发于下午5: 00到达B城。次日早上8: 00他又从B城出发沿原 路返回并于下午 5: 00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返 A、 B 二城的途中于相同的时间到达该位置。例 3 ：交通路口红绿灯十字路口绿灯亮30 秒，最多可以通过多少辆汽车？假设1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。2. 车距相同，启动延迟时间相等。3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。4. 秩序良好，不堵车。参数，变量： 车长L,车距D,加速度a,启动延迟T,在时刻t第n辆车的位置Sn (t)用数轴表示车辆行驶道路, 数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的

8、位置。于是, 当Sn(30)>0 时 , 表明在第30 秒第 n 辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。模型1. 停车位模型： S n (0) =-(n-1)(L+D)2. 启动时间模型: t n =(n-1)T3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-tn) 2, t>t n参 数 估 计 L=5m， D=2m， T=1s， a=2m/s解 : S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1)2>0 得 n 19 且 t 19=18<30=t 成立。答案 : 最多 19 辆车通过路口.改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，

9、停止加速, 按最高限速运动穿过路口。最高限速：校园内 v*=15 公里/小时=4米 /秒， 长安街上v*=40 公里 /小时 =11 米 /秒， 环城路上 v*=60 公里 / 小时 =17 米 /秒取最高限速v*=11m/s ， 达到最高限速时间t n* =v* /a +t n =5.5+n-1限速行驶模型:S n(t尸S n(0)+1/2 a(tn *- tn )2+V*(t-t nj, t>t n*=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2,tn*>t>t n= S n(0)tn>t解：Sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1)&g

10、t;0得 n 17 且 t 17 * =5.5+16=21.5<30=t 成立。结 论 : 该路口最多通过17 辆汽车 .问题1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。1 0. 调查的位置，走向，车道数，时间。调查数据(至少三次)： 绿灯时间，通过的车数。分析数据不同的原因。2 0. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。3 0. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。3. 给出穿过路口汽车的数量n 随时间 t 变化的数学模型。例 4 ：人员疏散建模分析意外事件发生时建筑物内

11、的人员疏散所用的时间。假设1. 有一排 k 间教室，走道只有一个出口。2. . 人员撤离时，有序、单行、(间隔)均匀、匀速。3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t 0=0) 。参 数： 第 k 间教室人数为n k+1,教室距离为L k, 门宽为D， 行进速度为v ， 人体间隔为d 。如果只有第k 间教室有人需要撤离，第k 间教室疏散时间为T k模型K=1 情形：T1=(n 1d+L1)/vK=2 情形：当第二间教室人不需等待时，即 (L 2+D) (n 1+1)d， T 12= T2=(n2d+L1+L2+D)/v,当第二间教室人需要等待时，即 ( L2 +D)

12、<(n 1+1)d,等待时间T= (n 1+1)d/v- (L2 +D)/v,T12= T2 +T=(n 1+ n2+1 )d+L 1 /v,讨论模型： T=(nd+L)/v,分析：v/,则 T; d /,则 T/.令 d=0, 则有 T=L/v。 疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!补充 假 设 4. 人体厚度相同w模型 T=(n(d+w)+L)/v,分析 若d=0,则T = (nw+L)/v合理吗？继续补充假设5.速度与间隔有关v=v (d)模型 T=n(d+w)+L/v(d),其中v=v(d)应满足v(d)是d的单调非减函数，v(0)=0且 当d充分大时，v=v max

13、.结论：存在间隔d*和相应的速度v*,使得疏散的时间最短。讨论：1 .给出函数v(d)应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔d* ,使得疏散的时间最短。2 .通过实验观测给出函数v(d).观测数据：间隔d (厘米)一运动速度 v (米/秒)拟合函数v(d)7.83d75.6 dMatlab程序 x=2.5 50 100 200 500;y=1.9 3.4 4.9 5.6 6.1; % 数据点b0=2 3; % 参数初值fun=inline( ' b(1).*x./(b(2)+x)' ,' b' , ' x' ); % 拟合函数b, r, j=n

14、linfit(x,y,' fun ' ,b0) %非线性拟合函数的系数、残差nlintool(x,y, ' fun ' ,b0) % 拟合曲线图 问题1 .如果n=400, L=30m w=0.2m, 求最短的疏散时间。2 .给出当K=3时的人员疏散模型.例5.赛程安排五支球队在同一场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来说都是公平的。B 1C 9 2D 3 5 7E 6 8 10 4A B C D1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE间隔场次数ABCDE104012210122011

15、问题：赛程如何做到公平安排？如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大?例6. 一个农民有一头重量大约是 200磅的猪，在上一周猪每天增重约5磅。五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅，饲养每天需花费45美分。求出售猪的最佳时间使得净收益最大。假设：1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。3. 猪饲养的花费每天不变。4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。变量和参量：猪的初始重量W0磅，出售时猪的重量 w磅，猪的日增重量g磅，猪的饲养时间t天，猪的市场价格 p (美元 / 磅)， 出售价格(单价)的日减少量r (美

16、元)，每天饲养猪的花费k (美元)。t天内饲养猪的花费C (美元)，售猪所获得的总收益 R (美元)，最终获得的净收益 P (美 元)。净收益=总收益-总花费总收益 R = p w总花费C = k t ,重量w = wo+g t ,单价p = p0 - rt 模型：P = R - C=(p o-rt)(w o+gt)-kt参数估计w 0=200, g=5, p 0=0.65, r=0.01, k=0.445则 P = R - C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t净收益对时间的依赖关系 P(t) = 130 + 0.8t- 0.05 t求出售时间使净收益最高。

17、数学问题：求函数的极大值令 P '(t)=0贝U有 0.8 t - 2 X 0.05 t = 0 得 t = 8P(8)=130+0.8 X 80.05 X 82= 133.2结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2 美元1. 模型对参数的灵敏度分析：结果对参数的敏感程度。结论所依赖的参数：猪的初始重量w0，猪的现实价格p0，猪的饲养花费k，猪 重 的 增 加 速 率 g，价 格 降 低 的 速 率 r。1 价格变化率r 对售猪时间t 的影响 :价格 p(t)=0.65- r t,净收益P(t) = (0.65-rt)(200+5t)-0.45t最大值点t = (7-500r)/(

18、25r)r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012t 15 11.1 8.0 5.53.3增重率 g 对售猪时间t 的影响 .重量 w(t)=200 + g t净收益P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t最大值点 t = 5(13g- 49)/(2g)g 4 4.555.5 6t 1.875 5.288 10.23 12.08将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对改变量的形式更自然也更实用。如果r改变了 r,则的相对改变量为 r/r。且导致t有改变量 t ,相对改变量为 t/t 于是相对改变量的比值为At / t 比上 r / r令r-0,按照导数的定

19、义，我们有t rdt rr tdr t称这个极限值为t Xr的灵敏度，记为 S(t,r)。对于我们的问题，有时间与价格的关系t = (7-500r)/(25r)在 r=0.01 附近，t 关于 r 的灵敏度为 S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5价格变化率降低1%各导致时间延长3.5%时间与增重量的关系t = 5(13g- 49)/(2g)在 g=5 附近，t 关于 g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06增重率增加1%各导致出售时间延长3%2.模型的稳健性一个数学模型称为是稳健的，是指即使这个模型不完全精

20、确，但其结果仍是可信的。虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的。一个更确切的说法是数学模型力求接近完美。一个 好的数学模型有稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但是足够近似的，从而 可以在实际问题中应用。因此，在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的。1 .参数r, g的变化对净收益 P的影响固定r ,令g=4.5和5.5 ,可得出售时间t为5.28和10.23。分别代入模型P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t可得最优净收益为131.2, 135.8只相差2美元固定g,令g=.009和.011 ,可得出售时间t为11.1和5.5。 分别代入模型P(t)

21、=(0.65- rt)(200+5t)-0.45t可得最优净收益为135.6, 131.6只相差2美元视净收益值P对参数r, g的变化是稳健的2 .假设对模型的影响关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的。以这些数据(w 0=200 , w =5 , p0=0.65 , p =0.01 )为依据确定何时售出时，要注意到 在未来的几周内w和pH能不会保持常数，因此也不会是时间的线性函数。这时，经收益的增长率P '=w' p+wp'-0.45其中w' p+wp'代表猪价的增长率。第二项代表因价格下降而损失的价值。第一项代表由于猪增重而增加的价值

22、。模型告诉我们，只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。另一方面，只要时间不长，在这段时期内w'和p'的变化就不会太大。由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。这时，按照前面的数据所得到的8天出售的结果对净收益值 P来说也是稳健的。不难算出，在3天到13天之间出售的净收益的数值都在132美元之上，与最优的收益只损失了不到2美元。净收益对天数的依赖关系在今后的几天内，如果猪的增133.5130133132.5132131.5131130.5重量降低2 140%g者出售价格增加了13412810%13313213113012902468101214(出售时间将会提前

23、)，在第8天出售时净收益的损失量也是稳健的，不会超过1美元结论：我们现在能说的只是至少要等8天再出售。对较小的p'(接近0),模型建议我们等较长的时间再出售。但我们的模型对较长的时间不再有效。因此，解决这个问题的最好的方法是将猪再饲养一周的时间，然后重新估计wo, w' ,p 0和p',再用模型重新计算。问题1.在售猪问题中，对每天的饲养花费做灵敏度分析。分别考虑对最佳售猪时间和相应收益的影响。如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为60美分，会使猪按7磅/天增重。那么是否值得改变饲养方式？求出使饲养方式值得改变的最小的增重率。问题2.假设猪的价格保持稳定。设p(t)=0.65-0.01t+0.00004t2.表示t天后猪的价格(美元/磅