刚体力学习题答案

1、第三章刚体力学习题答案3-1如图3-1示,一轻杆长度为2/，两头各固定一小球球质最为2m,B球质量为加，杆可绕过中心的水平轴。在铅垂面内自由转动，求杆与竖直方向成夕角时的角加速度.图3-1解：系统受外力有三个，即A,B受到的重力和轴的支撑作使劲，轴的作使劲对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用.以顺时针方向作为运动的正方向，那么A球受力矩为正，B球受力矩为负，两个重力的力臂相等，故合力矩为M=2mgisin0-mglsin0=mglsin0系统的转动惯量为两个小球(可视为质点)的转动惯量之和J=2ml2+ml2=3ml2应用转动定律M=jp有：mglsin0=3ml2P3-2计算题

2、3-2图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀散布的圆柱体，其质量为，?，运用牛顿定律,M,半径为，在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦,设=50kg,/*=200kg,M=15kg,r=0.Im.解：别离以叫，7,滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示.对m2g-T2=m2aTx=对滑轮运用转动定律，有T2r-T,r=(-Mr2)j32又，a=rp联立以上4个方程，得m-s-23-3飞轮质量为60kg,半径为0.25叫当转速为lOOOr/min时，要在5s内令其制动,求制动力F,设闸瓦与飞轮间摩擦系数=,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算，闸杆尺寸如下图.解：以飞轮为研究对象，

3、飞轮的转动惯量水2,制动前角速度2为G=2/rx!”rad/s,制动时角加速度为夕=一？-制动时闸瓦对飞轮的压力为与，闸60t瓦与飞轮间的摩擦力五与，运用转动定律，得-F,R=Jp=mR2pMR,ctnRco那么以闸杆为研究对象，在制动力厂和飞轮对闸瓦的压力-%的力矩作用下闸杆维持平稳,，两力矩的作使劲臂别离为/=(O,5O+O.75)m和=O-5Om,那么有FJFJ=Ul/1厂lyitiRo)0.5060x0.25x2x1000F='Fn=4=x=157N/12禺0.50+0.752x0.4x5x603-4设有一均匀圆盘，质量为7,半径为R,可绕过盘中心的滑腻竖直轴在水平桌面上转动.

4、圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为，假设用外力推动它使其角速度达到4时，撤去外九求：(1)尔后圆盘还能继续转动多少时刻？(2)上述进程中摩擦力矩所做的功.解：(1)撤去外力后，盘在摩擦力矩作用下停止转动-设盘质量密度为b那7TR-么有穴2M/=£4g27rb/力=/ungR(3依照转动定律a=一L,J=mR2J2一。_3R%(2)依照动能定理有摩擦力的功W,=03/例：3-5如题3-6图所示,一匀质细杆质量为?，长为/，可绕过一端。的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下.(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过8角时的角速度.求:解：(1)由转动定律，有"若;=(;>)

5、夕B=X21(2)由机械能守恒定律，有mgsinO=-(-/?/2)6?22233g sin 0co =777777777777777777777777777777777(b)图(a)图3-6固定在一路的两个同轴均匀圆柱体可绕其滑腻的水平对称轴。O'转动.设大小圆柱体的半径别离为A和r，质量别离为M和机.绕在两柱体上的细绳别离与物体叫和加，相连，I和阳,那么挂在圆柱体的双侧，如3-8图所示.设R=0.20m,r=0.10m,Hl=4kg,M1，=10kg,叫=m2=2kg,且开始时mt,m2离地均为=2m.求：(1)柱体转动时的角加速度;(2)双侧细绳的张力.解：设%,出和。别离为*加

6、2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b).(1)"小和柱体的运动方程如下:"7话一7=加必17R_lr=Ip式中方=7；,=1,%=力，%=即而/=_Lmr2+122由上式求得Rmx-rm.P=-hgI+in.R+”厂1 ，0.2x2-0.1x2Co=1r-1:；7x98x10x0.20"+x4x0.10'+2x0.20"+2x0.10'22=6.13rad-s-2(2)由式T2=m2rp+tn2g=2x0.10x6.13+2x9.8=20.8N由式7 =mtg-mxRp=2x9.82x0.2.x6.13=17.1N3-7一风扇转速

7、为900r/min,当马达关闭后，风扇均匀减速,止动前它转过了75转，在此进程中制动力做的功为,求风扇的转动惯量和摩擦力矩.解：设制动摩擦力矩为M,风扇转动惯量为J,止动前风扇的角位移8=24N,摩擦力矩所做的功为A=0=-M2ttN摩擦力所做的功应等于风扇转动动能的增量，即从=0/2-44 4= 0.0942N-m厂-丝2x14.4)依田co2(900x24/60)22加N2x75解：在转动进程中，圆柱体受重力A/g和斜面的摩3-8一质量为M、半径为，的圆柱体，在倾斜。角的粗糙斜而上从距地而力高处只滚不滑而下,试求圆柱体滚止地而时的瞬时角速度。.擦力尸作用，设圆柱体滚止地面时，质心在瞬时速度

8、为那么现在质心的平动动能为!与此同时，圆柱体以角速度/绕几何中心轴2转动，其转动动能为勿2将势能零点取在地而上，初始时刻圆柱体的势能为由于圆柱体只滚不滑而下，摩擦力为静摩擦力，对物体不做功，只有重力做功，机械能守恒,于是有Mgh=-Mv2+-Jco22 2式中=代入上式得2Mgh=-(Mr2+-Mr2)co2223-9一个轻质弹簧的倔强系数4=2.0N/m,它的一端固定，另一端通过一条细绳绕过一个定滑轮和一个质量为"?=80g的物体相连，如下图.定滑轮可看做均匀圆盘，它的质量为M=100g,半径r=0.05m.先用手托住物体用，使弹簧处于其自然长度，然后松手.求物体例下降力=0.5m

9、时的速度为多大？忽略滑轮轴上4的摩擦,并以为绳在滑轮边缘上不打滑.上功力筋一二一均/wUt/h图3-11解：由于只有保守力（弹性力、重力）做功，因此由弹簧、滑轮和物体机组成的系统机械能守恒，故有mgh=-kh2+-Ico2+-mv6222因此v=yi"=L48m/sM+mV23-10有一质量为町、长为/的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌而上，它可绕通过其端点O且与桌而垂直的固定滑腻轴转动.还有一水平运动的质量为，2的小滑块，从侧而垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设图 3-12碰撞时刻极短.已知小滑块在碰撞前后的速度别离为匕和匕，如图示,求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的进程所

10、需的时刻（已知棒绕O点的转动惯量/=,班/2）.3解：对棒和滑块组成的系统，因为碰撞时刻极短，因此棒和滑块所受的摩擦力矩远小于彼其间的冲量矩，故能够为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，且碰撞时期棒的角位移忽略不计，由角动量守恒得m2l=m2v2/+?/%碰撞后在在转动进程中棒受到的摩擦力矩为mf，g=-1mgi由角动量定理得转动进程中N10fM,力=0-_叫/%J。/31联立以上三式解得：乜上匕一町g3-11哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为八=X10”in时的速度是v,=X10ms：它离太阳最远时的速度是叱=X10：ms”,这时它离太阳的距离r2为多少？(太阳位于椭圆的

11、一个核心.)解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力一一即有心力的作用，因此角动量守恒：又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有7H=r2mv2.=8.75xlO-x5.46xlO526xl()12m-v29.08x1023-12平板中央开一小孔，质量为小的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物.小球做匀速圆周运动，当半径为几时重物达到平稳.今在M的下方再挂一质量为监的物体，如3T4图.试问这时小球做匀速圆周运动的角速度和半径/为多少？图3-14解：在只挂重物时小球作圆周运动的向心力为加送，即"送=7石俗：挂上后，那么有(陷+%)g=?/，重力对圆心的力

12、矩为零，故小球对圆心的角动量守恒.即，即%=厂'"7/=rco(=广4联立、得3-13如图示，长为/的轻杆，两头各固定质量别离为机和2加的小球，杆可绕水平滑腻轴在竖直平面内转动，转轴O距两头的距离别离为/3或23.原先静止在竖直位置.今图 3-13有一质量为机的小球，以水平速度%与杆下端的小球用做对心碰撞，碰后以%/2的速度返回，试求碰撞后轻杆所取得的角速度解：将杆与两头的小球视为一刚体，水平飞来的小球7与刚体视为一系统，在碰撞进程中，外力包括轴o处的作使劲和重力，均不产生力矩，故合外力矩为零，系统角动量守恒-选逆时针转动为正方向，那么由角动量守恒得21%21r/nvn=-m

13、+Jco°3237/j=m+2m(-)2解得幻=也2/3-14圆盘形飞轮A质量为相，半径为r,最初以角速度/转动，与A共轴的圆盘形飞轮B质量为4加.半径为2r,最初静I匕如下图，两飞轮啮合后，以同一速度G转动，求。及图 3-14啮合进程中机械能的损失.解：以两飞轮组成的系统为研究对象，由于运动进程中系统无外力矩作用，角动量守恒，有1.1nircD(.=mr2°21传3=万初始机械能为叱=-mr'a>=-inr2co()222喳合后机械能为弘二：1"%?+J：4i(2万人乙乙乙乙1/I,那么机械能损失为NV=吗一吗=犷%。2=jW3-15如图示,一匀质

14、圆盘半径为r,质量为叫，可绕过中心的垂轴0转动.初时盘静止,一质量为"b的子弹一速度v沿与盘半径成a=60°的方向击中盘边缘后以速度V/2沿与半径图 3-15方向成2=30°的方向反弹,求盘取得的角速度.解：关于盘和子弹组成的系统，撞击进程中轴O的支撑力的力臂为零，不提供力矩，其他外力矩的冲量矩可忽略不计，故系统对轴O的角动量守恒，即4=心，初时盘的角动量为零，只有子弹有角动量，故4=/772irsin6O末态中盘和子弹都有角动量，设盘的角速度为那么JP.17L,=/n7rsin30+myrco一一22故有吗”sin600=m2rsin300+mxr2eo22a”

15、(2的一可解得：co=-2”3-16一人站在一匀质圆板状水平转台的边缘,转台的釉承处的摩擦可忽略不计,人的质量为，转台的质量为10，半径为/?.最初整个系统是静止的,这人把一质量为加的石子水平地沿转台的边缘的切线方向投出，石子的速度为口(相关于地而).求石子投出后转台的角速度与人的线速度.解：以人、转台和石子组成的系统为研究对象，由于系统无外力矩作用，角动量守恒，设转台角速度。的转向与投出的石子速度y方向一致，初始时系统角动量为零，得Jco+mRv=0人和转台的转动惯量J=,10?42+?灭2,代入上式后得2mvco=：6mR777V人的线速度为U=coR=一丁其中负号表示转台角速度转向和人的

16、线速度方向与假设方向相反-3-17一人站在转台上,两臂平举,两手各握一个加=4kg,哑铃距转台轴%=0.8叫起初转台以4=24rad/s的角速度转动,然后这人放下两臂，使哑铃与轴相距r=0.2m,设人与转台的转动惯量不变，且J=5kgm，转台与轴间摩擦忽略不计,求转台角速度变成多大？整个系统的动能改变了多少？解：以人、转台和哑铃组成的系统为研究对象，由于系统无外力矩作用，角动量守恒，有(J+彳：)q)=(1+2mrJ + 2mr,2co =5J + 2mr25 + 2x4x0.825 + 2x4x0.22x2/r = 12.0rad/s动能的增量为W=W-W()=-(J+2mr2)a)2-(J

17、+2诏)例：22=ix(5+2x4x0.22)xl22-lx(5+2x4x0.82)x(2)222=183J3-18如3-20图所示,质量为M,长为/的均匀直棒,可绕垂直于棒一端的水平轴。无摩擦地转动，它原先静止在平稳位置上.现有一质量为的弹性小球飞来,正好在棒的下端与棒垂直地相撞.相撞后，使棒从平稳位置处摆动到最大角度6=30°处.(1)设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速%的值：(2)相撞时小球受到多大的冲量？图18解：(1)设小球的初速度为心,棒经小球碰撞后取得的初角速度为。，而小球的速度变成V,按题意，小球和棒做弹性碰撞，因此碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：m

18、vj=Ico+mvl1,1,1,上两式中/=；/团2,碰撞进程极为短暂，能够为棒没有显著的角位移：碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度8 = 301-la 2由式得由式由式因此求得%(2)相碰时小球受到的冲量为按机械能守恒定律可列式：>2 =2W1(1-cos300)把1-cos30。) 2 =牛(I-季 2u = % 一勺ml尸=VJ -卷m/I 、.)1 )(%_T) =%_0- mlm3 八 /、 /八 1 M、=(1H-) = (1 H)(02 ml2 23 加_ 6(2-73 3m+ M r-i12m '由式求得| Fdr = A/nv = niv 一f口八，Ico1w/

19、Jrat=mv-mv()=-=-Mla)46(2-我M一6负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.3-19如图示,一个转动惯量为/,半径为R的定滑轮上面绕有细绳,并沿水平方向拉着一个R质量为M的物体A.现有一质量为根的子弹在距转轴不、”的水平方向以速度也射入并固定在定滑轮的边缘，使滑轮拖住A在水平面上滑轮.求子弹射入并固定在滑轮边缘mipdM后,滑轮开始转动时的角速度。.（2）假设定滑轮拖着物体A=&恰好转一圈而停止,求物体A与水平面间的摩擦系数（轴上摩擦图319力忽略不计）.一解：（1）子弹射入定滑轮前后，子弹、定滑轮及物体A组成的系统角动量守恒RmvQ=mR2+1+MR2a）2解得

20、。=2（?篦+；+府）（2）定滑轮转动进程中物体A受的摩擦力所做的功等于系统动能的增量-（/+mR2+MR2）0）2=一/jMgx2ttR2解得4 =nrvR16mWg(?R2+MR2 + /)3-20行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳质量为孙，行星质量为，叫,行星在近日点和远日点时离太阳中心的距离别离为八和与，求行星在轨道上运动的总能量解：将行星和太阳视为一个系统，由于只有引力做功，系统机械能守恒，设行星在近日点和远日点时的速度别离为匕和巳，有1/;G生丝=1机八，一G竺竺2r12r2行星在轨道上运动时，受太阳的万有引力作用，引力的方向始终指向太阳，以太阳为参考点,行星所受力矩为零，故行星对太阳的角动量守恒行星在轨道上运动时的总能量为e = 1/7/1V12-gmxm2rr2联立以上三式得：e=竺3-21半径为R质量为机的匀质圆盘水平放置，可绕通过圆盘中心的竖直轴转动.圆盘图 3-21边缘及A/2处设置了两条圆形轨道，质量都为根的两个玩具小车别离沿两轨道反向运行，相关于圆盘的线速度值同为假设圆盘最初静I匕求两小车开始转动后圆盘的角速度.解：设两小车和圆盘运动方