考研数学高数习题集及其答案

1、填空题1.已知f (x)sin x, f(x) 1X2,则(x)1函数、极限、连续,定义域为解.f(x)sin (x)2、(x) arcsin(1 x )1,2,|x| .22.设 limxaxtetdt,解.可得3.limn解.tetdt = (tetet)aaeae ,所以a = 2.所以n 11 22n i1 22- n所以limn4.已知函数解.ff(x) = 1.2 n n2n nn< 一2n n nn(1 n)22 n n nn(1 n)2f(x)5. lim (. n 3 n n|x|x|limn2, (n<n n2n 22n n 11 2<2n n1,则 ff

2、(x)1.n . n ) limn,n n )( . n 3 . n . n . n ),一3'nF1 ax、，为x的3阶无穷小，则a6.设当x 0时，f(x)1 bx解.xek lim x 01 ax1 bxxex bxex 1 ax(1bx)ex bxex 1 ax7.解.x.e lim x 0x.elim 由(1)：由(2 ):cot xlxm0bexbxex3x2x - x2be bxe6x2lim (ex bex bxexx 0a)lim (ex 2bex bxex) 12bsin x xcosxx sin xsin xxsin xx sin x3x1 cosxlim2-x

3、0 3xlxm0sin x6x8.已知limn1990nk /彳 kn (n1)A(),解.limn1990 n nkr limn (n 1) n1990nik-1kn所以 k 1=1990, k = 1991;A,二.选择题1.设 f(x)和(x)在(一)内有定义,(a)f(x)必有间断点(b)解.(a) 反例(x)(b)反例(x)(c)反例(x)(d)反设g(x)=1991f (x)为连续函数，且f (x)0,(x) 2必有间断点(c) f (x)必有间断点|x |x |x|x|x |x |(x)有间断点，则(d)x)必有间断点f(x)f(x) = 1,则f(x)=1(x) 2 = 1f(

4、x) = 1,则 f (x)=1(x)一' / 在(一f(x)内连续，则(x) = g(x)f(x)在(一+)内连续，矛盾.所以(d)是答案.则f(x)是,sin xx tan x e2.设函数f (x)（a）偶函数（b） 无界函数（c）周期函数（d）单调函数解.（b）是答案3.函数f(x)|x|sin(x 2) 一»»3 在下列哪个区间内有界 x(x 1)(x 2)2(a) ( -1,0)(b) (0, 1)(c) (1,2)(d) (2, 3)解.lxm1 f(x)lim f(x) , f(0 )x 0等,f(0)sin 2所以在（一1,0）中有界，（a）为答案

5、.4.当X1时,函数x2 1的极限（a）等于2(b) 等于0(c)(d)不存在,但不为解.lxm1li(m (x1)1 ex1（d）为答案.5.极限limn22522322n22n (n 1)的值是(a) 0(b) 1(c) 2(d)不存在解.limn312 22522322n 1(n 1)2= limn122112232lim (n1)2n(n1,-21 ,所以(b)为答案.1)26.设 limx955(x 1) (ax 1)770(x 1)8,则a的值为(a) 1 (b) 2(c)(d)均不对解.8 = lim x95(x 1) (ax7-2- 50(x 1)1)5= limx95 /95

6、 /(x 1) / x (ax1)5/x(x250 /1001) / xlimx(19551/x) (a 1/x)2、50(1 1/ x )V18 ,所以为答案.7.设 limx(x 1)(x 2)(x 3)(x4)(x5),则,的数值为(a)= 1,解.（c）为答案.(3x 2)3 (b)=5,=5,1 .一-工（d） 均不对38.设 f(x) 2x3x2 ,则当x 0时(a) f(x) 是x的等价无穷小(b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x) 比x较低价无穷小(d) f(x)比x较高价无穷小解.2x 3x 2 _2xln2 3x ln 3lim =lim x 0Vx 0In

7、 2 In 3,所以(b)为答案.(1 x)(1 2x)(1 3x) a9.设 lim 6,则 a 的值为X 0x(a) - 1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解.lim(1 x)(1 2x)(1 3x) ax 00,1 + a = 0, a =- 1,所以(a)为答案.tan x sin x1 sin x110.a tan x b(1 cosx)设 lim二x 0 cln(1 2x) d(1 e x )2,其中a2 c20,则必有4c(a) b = 4d (b) b = 4d (c) a = 4c (d) a =解.2 =aatanx b(1 cosx)? = lim cos2 x cl

8、n(1 2x) d(1 ex) x 0 2c1 2xbsinx2xdea,所以a = 4c,所以(d)为答案.2c.计算题 1.求下列极限lim (xx1 ex)x解.lim (xx1 ex)7limxln(x ex)e xlim exln(x ex)xx1 elim xexx ee1lim(sin2cos1)xx解.21 Xlim (sincos)x x xlim (sin 2 y1cosy)y = eln(sin 2 y cos y)y2cos2y sin ylimy 0 sin2y cosy 2eelx”131 tanx x解.11 tanx x3 lim x 0 1 sin xlxm0

9、11tanx sin x x31 sin x1 sin xtan x sin xtan x sin x3A3(1 sinx) xtanx sin x lim -= x 0 x3=e2.limex 0sin x(1 cosx)2 xsinx2sin _limj 2x 0 x3=e x1e2.求下列极限limx 1ln(13X 1)arcsin2Vx2当 x 1 时，ln(13 x 1)arcsin2vx2 1 23/x21 . 按照等价无穷小代换lxm1ln(1 3 x 1)arcsin2Vx2。322 % xlim123 x1232,2cot x解.方法1:1 lim 2 x 0 x2cot=

10、 lxm02 cos 2 sin=M0. 2 sin22x x cos x2- 2x sin x方法2:lim 1x 0(x22 cos x= limx 02x2cos x2/、.2(x1)cosxsin x34x2x lim x 0limx 0limx 0limlimx 0cos x sin 2x3 lim4x3x 0c22cos x 4xcosxsinx12x222 cos x 2 cos2x12x22sin2x24x2x2 cosxsin x34x2cos2x 14 cosx sin x 4sin 2x lim 24xcot= lim2 cos一 2sin x=lxm0一2sin x2:

11、x cos22x sin x(x21)4 x2cos x=lxm01 / 22(x1)(cos 2x 1)2(x2 1)(1(2x)22!(2x)44!0(x4)4xxm0124216 441 (2x2 2x4 2 2x2 x4 0( x4)2242 4-x lim 豆丁 x 0 x43.求下列极限limn(n. n ln n1)解.limn看(nn1)limnn. n 1 lnn nxm0ln(1limnnx1 enx解.limnnxlimn解.limnn. a n. blim 士aex 0马(1 x4.设 f (x)1,其中a > 0, b > 0x 1/n,c b/a)ln

12、2aexcosx)lim0cx ln ccxcost2dt试讨论f (x)在x0处的连续性与可导性.alim 1abx aelim：0ln(1 cx) In 2解.f '(0) limx 0f(x) f(0)limx 02cosx 12xlim x 01 2 - xcost2dtlimf '(0) limx 0limx 0f(x) f(0)x2sin x 2x3x2limx 0limx 0limx 0cost 2dt x2xE(1 xcosx)x2(cosx 1) 0limx 02(12cosx) x3x6x所以 f'(0)0, f (x)在x0处连续可导5.求下列函数

13、的间断点并判别类型12x f (x)2x解.f (0 ) limx 012x2x1,f(0 )12x lim 1 x 012x所以x = 0为第一类间断点.x(2x )f(x)28sx.1 sin x2 1解.f(+0) = sin1, f(-0) = 0.为第一类跳跃间断点；lim f (x) limx 1x 11sin 一 不存在.所以x = 1为第二类间断点； x2 1f( y)不存在,而limx -x(2x )i - 2cosx2,所以x = 0为第一类可去间断点；2x(2xlim x k _ 2cosx2,(k = 1,2,)所以x= k为第二类无穷间断点.2一，x6.讨论函数f(x

14、)xe, 1sin 一 x在x = 0处的连续性.解.当10时lim(x sin-)不存在，所以x = 0为第二类间断点；X 0x八1、 八 .，0, lim (x sin ) 0, 所以x 0 x1时，在x = 0连续,1时，x = 0为第一类跳跃间断点.7.设 f(x)在a, b 上连续，且 a < x1 < x 2 < < x n < b, c i (I = 1,2, 3,，n)为任意正数，则在(a, b)内至少存在一个，使f ( ) C1f(x1) c2 f (x2)Cic2cn证明：令 m =max f (x。, m = minf(xi) 1 i n1

15、i n所以mGf(x1)c2 f (x2)cnMc1c2所以存在xn < b),使得 f()Gf(x1) c2 f (x2)cnCiC2Cn8.设 f(x)在a, b 上连续，且 f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个 ，使f()=证明：假设 F(x) = f(x) -x,则 F(a) = f(a)-a < 0, F(b) = f(b) - b > 0于是由介彳M定理在(a, b)内至少存在一个，使 f()=9.设f(x)在0,1 上连续，且0f(x)1,试证在0,1内至少存在一个，使f()=证明：(反证法)反设 x0,1,(x)

16、 f (x) x 0 .所以 (x) f(x) x恒大于0或恒小于0.不妨设x 0,1, (x) f(x) x0 .令 m min (x),则 m0 x 10.因此 x 0,1, (x) f (x)x m.于是 f(1) 1 m0,矛盾.所以在0,1内至少存在一个，使f()=10.设 f(x), g(x) 在a, b上连续，且 f(a) < g(a), f(b) > g(b),试证在(a, b)内至少存在一个 ，使f( ) = g().证明：假设 F(x) = f(x) g(x),则 F(a) = f(a) g(a) < 0, F(b) = f(b)g(b) > 0于是

17、由介彳M定理在(a, b)内至少存在一个，使f()=11.证明方程x5-3x-2 = 0在(1,2)内至少有一个实根.证明：令 F(x) = x 5-3x-2,贝UF(1) = 4 < 0, F(2) = 24 > 0所以 在(1,2)内至少有一个，满足F( ) = 0.12.设 f(x)在 x = 0的某领域内二阶可导，且lim x 0sin 3x3- xf(x)2x0,求 f(0), f'(0), f''(0)及 lim f(x)2 3 x 0x2解.所以sin 3xf (x)0 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导，所以 f(x), f'

18、(x)在 x = 0 连续.所以 f(0) =-3.因为sin3xf(x)lim x2x 0 x20，所以 lim xsin3x3 f(x) 30,所以lim g limx 0 xx 0sin3x 3x2x3x sin 3xlim3x 03cos3x3x2limx 03sin3x 92xf'(0)ymjf(x) f(0)f(x)lim xf(x)2x叫m0" f(x)台劳展开 ,f (0) f'(0)x limx 02!2f''(0)x220(x2)9 1一,所以一f''(0)9 口一,于是f''(0)9.32x222填

19、空题1 .设 iimf(x。kx) f(x0)1 ,、，-f'(x0)，则k=32导数与微分解.k limx I所以k2.设函数解.exy'3.已知f(Xo k x) f(Xo)11、-f'(x0)，所以 kf'(x0) - f'(x0)33y = y(x)由方程 ex y cos(xy)y(1 y') (y xy')sin xyx yy sin xy e_x ye xsin xyf( x) = - f(x), Ji f'(xo)解.由 f( x)=-f(x)得f'(x)0,所以f'(x0)f'( x0)k

20、4.设f(x)可导,则 lim -f-(x£x 0m x)解.lim工(工x 0m lim5. f(x)解.f'(x)f (k 1)6.已知 dx解. f'0确定,则dydx所以则 f'(xo)f'(x),所以 f'( x) f'(x)f (x° n x) xm x) f(x°) f(x°) f(x° n x)x f(x° m x) f(%) +1 x(1n limxf(x0 nx) f(x0)=(mn) f'(x0)f (x) =1 x x)21 _(1) 2 1!1T(1 x

21、)假设f (k)k(1) 2 k!(1k 1x)k 1(1) 2 (k 1)!(1、k 1 1x)所以f(n)(1)n2(1 x)n!n 1f'12.令 x2 = 2,1所以f'21所以f'2x2x2x7 .设f为可导函数,y sin f sin f(x),则曳 .dx解.dy f'(x) cos f (x) f' sin f (x) cos f sin f(x) dx8 .设丫 = f(x)由方程e2x y cos(xy) e 1所确定，则曲线y = f(x)在点(0,1)处的法线方程为 解.上式二边求导 e2xy(2y') (y xy)sin

22、(xy) 0. 所以切线斜率，八一，1，八、k y'(0)2 .法线斜率为-,法线方程为21y 1x ,即 x -2y + 2 = 0.2二.选择题21 .已知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x) f (x),则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是(a) n!f(x)n1 (b)nf(x)n1 (c)f(x)2n (d)n!f(x)2n解.f''(x) 2f (x)f'(x) 2!f(x)3,假设 f (k)(x) = k! f (x)k 1,所以f(k1)(x)=(k 1)k!f(x)k f'(x) (k 1)! f(x)k 2,按

23、数学归纳法f(n) (x) =n! f (x)n 1对一切正整数成立.(a)是答案.2 .设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且f'(0) b,其中a, b为非零常数，则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x) 在x = 1处可导，且f'(1) a(c) f(x)在 x = 1处可导，且 f'(1)b (d) f(x)在 x = 1处可导，且 f'(1)ab1、1、f (x) f (0) f (1 x) f 1 .解.b = f'(0) lim fxL(-02 = lim aa 'f'(1)，所以 f&#

24、39;(1) ab.(d)是答案x 0 x 0 x 0xa注：因为没有假设f(x)可导，不能对于f(1 x) af (x)二边求导.3.设 f (x)3x3 x2|x|,则使f (n)(0)存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解.f (x), 3-4x x 02x3 x 0f''(x)24x x 012x x 0Xf''(x) f''(0).24x 0f (0 ) lim - lim 24x 0 x 0 x 0 xf''(x) f''(0) 12x 0f'''

25、(0 ) lim - lim 12x 0 x 0 x 0 x所以n = 2, (c) 是答案.4.设函数y = f(x) 在点Xo处可导，当自变量x由Xo增加到Xo +x时，记 y为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，lxm0y dy-等于(a) -1 (b) 0 (c) 1 (d)解.由微分定义y = dy +o(x),所以limx 0y一dylim o-x) 0 . (b)是答案.5.设 f (x)2 . 1x sin - xxax b x在x = 0处可导，则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数(c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为

26、任意常数解.在x = 0处可导一定在x = 0处连续，所以2lim x sin 一lim (axx 0b),所以 b = 0.f'(0 )f'(0 ), limx 021x sin -xx一 ax -lim ,所以 0 = a. (c)X 0 x是答案.三.计算题1. y lncos(10 3x2),求 y2、 cs , sin(10 3x ) 6x2、解.y' 2 6xtan(10 3x )cos(10 3x )2 .已知 f(u)可导，y f ln(x <,ax2),求y'解.yf'ln(x ax2) J2- 1x .ax_2x_3 a x24

27、 .已知I2f'ln(x .a x )2a xy t2x2e dt costdt00sin y2, 求 y'.2cC解.ey y' 2x cosx2 yy' cos y2, 2xcosxy2e 2y cosy5 .设y为x的函数是由方程ln, y 一arctan工确定的，求y'. xy'x y初 2x 2yy'x2解.“一x-,22222,x y 2，.x y 1 y_ 2xx yyy' xy ,所以y'四.已知当x 0时，f(x)有定义且二阶可导，问a, b, c 为何值时F(x)f(x)_ 2ax bx c x 0二阶

28、可导.解.f( x)连续，所以 lim F(x) lim F(x),所以 c = f(-0)= f(0)； x 0x 0因为F(x)二阶可导，所以F'(x)连续，所以b = f '(0)f'(0)，且f'(x)F'(x)2ax f ' (0)F''(0)存在，所以 F ''(0) F ''(0),所以limx 0f'(x)f'(0)limx 02ax f'(0) f'(0) 2a,所以1 .a f''(0)22 x 已知 f(x) -2, 1 x求 f

29、(n)(0).解.11f(x) 1 Gf(n)(x)n!n 12 (1 x)(1)n(1 x)n解.f(2k 1)(0)0, k = 0, 1,2,f2k(0) n!, k = 0, 1,2,设 y xln x ,求 f (n)(1).使用莱布尼兹高阶导数公式f (x)x (ln x)(n)n(ln x)(n 1)x( 1)(n 1)!nxn(1)n 2(n 2)!n 1x1)n2(n 2)!(n 1)n 1 xn 21) (n2)!所以 f(n)(1)( 1)n2(n 2)!元函数积分学（不定积分）求下列不定积分,1 X .1.1 X2Indx1 x1211222解.1X21 Xlndx1

30、x1nKdln11x一 In c41x,1x1x112 xarctand arctan一 arctanc1x1x21x1 x91+ 1 x .2.y arctandx1 x21 x1 sin x . 1 sin x d 1 cosx 1 cosx21 1 sinx2 1 cosxc cosx sin x 1 1 sin x ,3.2dx(1 cosx) 1 cosxcosx sin x 1 1 sin x2(1 cosx) 1 cosx4.dxx(x8 1)t7dtt8 1181n(1 t ) c8工“1 dxa1 ln | x | ln(1 x ) c= ln 1 88解.方法一：令x 1,

31、dxt一 dttx(x8 1)1 11方法二：dxx(x8 1)11n 87 .x dx8/ 8x (x 1)c18 x-)dx 1dx 1 d(1 x8)x 81 x85.1 sinxsin x cosxdx2(1sin x cosx) 一 (sin x cosx)1 sin x cosx1 2dx21 x2dxcosx sinx , dx 1 sinx cosxd(1 sin x cosx)1 sin x cosx1一ln|1 sinx cosx | 22 1 sin x cosx 1dxdx 2sin-cos- 2cos2-2, xd tantan 1211,一-xln11sin22,1

32、 1,x cosx | 一 ln |2二.求下列不定积分：1.dx(x 1)2、.x2 2x 2解.dx22(x 1)21x2d(x 1)2.2x 2(x 1)2. (x 1)2 1令 x 1 tantdt2-；cos t27tan tsectcos tdt2sin t1c sin tx2 2x 2dxx4、1I轧令 x = tan t,dxx4 .1 x2dt27 cos ttan t sect3 .cos t. 4 sindtd sin t.4.sin td sin t.2.sin t13sin3t1c sin t3.解.4.解.5.1 x21 x2dx(2x2 1) 1令 x tantd

33、x(2x2 1) 1 x22 x sec t27(2 tan t 1) sectdtcost2sin212 .cos tdtd sint1sin21arctan sin t carctanfx c1 x2x2dxa2(a > 0)asintx2dx22a x.(1x2)3dx2. 2 ,a sin t a costdt 2 aa cost. x x 2、，2arcsin _2 ra xa acos2t ,xdt2a2t 22a sin 2t c解.令x sint3arcsinx8-x .1 x2(582x2) c(12X3.x ) dxcos4 tdt(1 cos2t)24dt2 -1

34、2 cos2t cos 2t .dt4=11t sin 2t448(1cos4t)dt3t 81 sin2t4- sin 4t c 32=3.arcsin81x 一4sin2t(11-、cos 2t)4c=3.一 arcsin8214 1 2sin2x 2 sin t cost(44-)c解.令t 2x, dxtln 26.x2 14 dx x一 “1解.令x - tsin u cos2 udu、x 4 x2 1arccos- cx x三.求下列不定积分：3x xee4x2xe edx -t4 dt tV1 t2dt 令t sin ux4工t2产3cos u c3(x2 1)33x37.dx解

35、.令 x sect, dx sect tan tdt-dx 1sect 1271sec ttan tsect tan tdt(1 cost)dt t sin t c1.一 dx1解.3x e4x 2x e e一 dx12x2xe 1 edxd(ex ex)(ex e x)2 1arctan(exe x) cdx2x(1 4x)dt四.1.解.2.解.dxdtxx、2 (1 4 )求下列不定积分：(x2)100 dx(x 2)22_-t (1 t )ln2 ln 2In 2(2 xx、arctan 2 )100 dx995_x d(x 2)995x99( x 2)995x99( x 2)995x

36、499 98(x 2)985x4_ _ _ 9899 98(x 2)3 2x_ 9599 98 97 96 95( x 2)dxx v1 x4dxx <11t1-2 dt t2令t2 tan u2sec u ,dusecu求下列不定积分1.2,x cos xdx解.xcos2 xdx1x41 -x42.3.sec xdx解.3.sec xdxdttln 299(x 2)999999 98x3(x 2)98 .dx4x3_ 9799 98 97(x 2)9998 97 961 1, 一 ln |tan u 2arctan tcln 2499 ,x (x 2) dx5 4 3x299 98

37、9794 c95(x 2)96( x 2)96tdt4, 1 tsecudt21(t2)2,x42 x12x(1 cos2x) dx -x1 ,一 xsin2x41 , 一 xsin2x4xd sin2x1一 sin 2xdx41 c cos2x c8secxd tan x secx tan x tan xsecx tan xdx,123,= secx tan x (sec x 1) secxdx secxtan x ln |secx tan x | sec xdx3.3.sec xdxIsecxtanx 1ln| secx tan x | cUdxx(In x)3解.2-dxx32(In x

38、) 3(ln x)x x32(In x) 3(ln x)x x(ln x)3d 1 x13-(ln x) x361n x , (ln x)dx xx61n x 6cx x4. cos(1n x) dx解.cos(1n x)dxxcos(1n x)sin(1n x)dx5.1.解.cos(1n x)dx4 xxcos -32 dxsin x1 人-xsin8求下列不定积分：x 一-cos(ln x)sin(1n x)4 x xcos 一2sinx1n(x 1 x2)(1 x2)2xln(x . 1(1x2)dxdx3 x 3 x-cos 一1-ln( x2/211 x)rv令 x tant2.2

39、 x , x sin - d 2 2ln(x .1ln(x .1 x2)22(1 x2)ln(x . 1 x2)22(1 x2)cost 2sin21ln(x 1 x2)2(1 x2)2、2ln(x .1 x2)2(1 x2)迎空dx x_2_3(1n x)61n x 6 , -dxx x xxcos(1n x)sin(1n x)cos(1n x)dx2 xxdsin 一1 人一 xsin8x2)d11 x2Tx2 dx1 tan21dtd 2 sin t1 2sin2t11 v2sint4、2 rli 2sint °1- xsin812sec tdt sect1. 2 x,sin

40、dx822.解.3.解.解.ln(x . 1 x2)22(1 x2)x arctan x , dxJ x2xarctanx , dxJ x2.1 x2 arctanarctan ex ,-2dx earctan ex ,一2x一dxe2x .arctan e1 2xe2设 f (x)arctan exx ln( 1(x2f(x)dx1 ln1一x22x c4、21 x2、2xarctan xd . 1dx ,1 x2x21 x2 arctanx.1arctan exde 2xx一27dx2x(xln(1(x2ln(1(x24x考虑连续性，所以c = 1+ c 1,f (x)dx八.设 f

41、9;(ex)解.令t ex,f(x)2x e3)e xx2)3)dx2xx2)1)e3)e xdx122x2ln(1x2.,x arctan x ln( x1 2xx一 e arctan e 2)dx2xarctan ex彳 x2 ln(1x2)(x2a sin xln t,4x 1)e122xx 1ln(1b cos x, (a, b，4 dx1 x21 2x-(e arctan e 2f (x)dx.22) 3x cx2) 3x为不同时为零的常数）,求 f(x).f'(t) asin(lnt) bcos(lnt),所以asin(ln x) bcos(lnx)dxx22x1xe .dx2xe2x(1 e一 dx)e x arctan x) c九.1.解.2.解.3.解.4.解.1.解.2.x _(a b)sin(ln x) (b a)cos(lnx) c2求下列不定积分：2 -3x 3x(2x2 -3x(2x(3x2(3x2ln( x2x2x3)dx3)dx35)2 (3x35)2(3x:ExT)dxln(x 1 x2), dxxdx2ox 3x 23 d(x1)dx1)dx5(3x23)(3x22xln(x x