第7章《平面图形的认识(二)》考点+易错

1、第7章平面图形的认识（二，考点+易错6知识梳理基本事实: 相察两H线平行直线平行的条件:楣等.两直线平行互补.两直殴平行阴历的平移口线平行的性及二两在线平街一同位加阿白线半程.内错的.眄直疑平行.同旁内用平面图形的认识=一)4位2形的界他和苫下一务应形三边关索I两边之和 第二功特殊线段二曲形3个内角的和等丁,n边脂的内福孙等不重难点分类解析考点1和平移有关的图形周长、面积计算【考点解读】本考点解题时，一般运用平移的性质（如:连接平移前后对应点的线段的长等于平移的距离）来解决有关图形的周长、面积计算问题.例1如图所示是重叠的两个直角三角形，将直角三角形ABC沿BC方向平移到 DEF .如果AB

2、8cm, BE 4cm, DH 3cm,那么图中阴影部分的面积为 cm2分析：阴影部分是一个梯形，用我们目前所学的知识无法求出该梯形的上、下底和高，因而 不能运用梯形的面积公式求其面积.注意到 DEF是由 ABC经过平移得到的，因此S ABC S DEF , 即 S HEC S梯形 ABEH S DEF SI影， 于SI影S梯形 ABEH1小-（8 8 3） 4 26（cm2）.答案：26【规律技法】本题考查平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上） 且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等.解题的关键是找到平移的对 应点.【反馈练习】1. （2018 苏

3、州期中）如图，将 ABC沿BC方向平移2 cm得到 DEF .若 ABC的周长为16 cm,则四边形ABFD的周长为（）A. 16 cm点拨：由平移的性质可知D. 22 cmBE FC AD 2cm, AC DF .2. （2018 扬州期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD,长AB 50m,宽BC 30m,为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽士为 1 m,那么小明沿着小路的中间从出口A到出口 B所走的路线（图中虚线）长为 m.点拨:分别求出小明横向和纵向移动的距离即可.考点2利用平行线的性质和三角形内角和定理求角度大小【考点解读】本考点解题时要熟

4、练掌握平行线的性质与三角形内角和定理，这是解题的基础，要善于分解图形，即将较复杂的图形分解出“两条平行线被第三条直线所截”与“三角形”的图形，然后分析各角之间的联系 .例2 （2017 重庆）如图，AB/CD , E是CD上一点，AEC 42 , EF平分 AED交AB于点F ,求 AFE的度数.分析：由互补的性质求出AED的度数，由角平分线的定义得出DEF的度数，再由平行线的性质即可求出AFE的度数.解答：因为 AEC 42 ,所以 AED 180 42138 .因为EF平分 AED ,1所以 DEF AED 69 .2因为 AB/CD ,所以 AFE DEF 69 .【规律技法】本题主要考

5、查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键例3 （2017 宁波）已知直线mn,将一块含 30°角的直角三角尺 ABC按如图方式放置（ABC 30 ）,其中A,B两点分别落在直线 m,n上.若1 20 ,则 2的度数为（）A. 20 °B. 30°C. 45°D. 50°分析:如图，因为mn,所以 231.因为 1 20 ,3 30 ,所以 2 50 .答案:D【规律技法】平行线的性质：两直线平行，同位角相等：两直线平行，内错角相等；两 直线平行，同旁内角互补.【反馈练习】3.如图，已知ABCD, AE交CD于点C, DE AE于点E .若

6、A 42 ,则 D .（第3题）（第4题）点拨:先由ABCD得到 ECD A 42 ,再根据三角形内角和定理计算得出D即可.4 .如图，已知直线 ab,若 1 45 ,2 30 ,则 P .点拨:过点P作直线a或直线b的平行线，从而把P分成两个角，根据“两直线平行，内错角相等”可得P 12.考点3多边形的内角和公式【考点解读】在理解的基础上熟记多边形的内角和公式，并明确可以根据公式由多边形的边数求得这个多边形的内角和，也可以由多边形的内角和求得这个多边形的边数例4 （2017 云南）若一个多边形的内角和为900° ,则这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形分析：设这

7、个多边形的边数为n .由多边形的内角和公式，得（n 2） 180 900，解得n7.故这个多边形是七边形答案:C【规律技法】本题考查了多边形的内角和公式（n 2）g180的应用，将已知数据代入求解即可.例5 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080。，那么原多边形的边数为（）A. 7B. 7 或 8C. 8或9D. 7或8或9分析:设内角和为1 080。的多边形的边数是n.由题意，得（n 2）gl801080，解得n 8.故原多边形的边数为 7或8或9.答案:D【规律技法】已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题来解决【反馈练习】5 .（2018 无锡期末）如果一

8、个多边形的每一个外角都等于60。，那么这个多边形一定是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形点拨:每一个外角都等于 60° ,则每一个内角都等于120° .设这个多边形是n边形，则可得方程120n 180（n 2）,解方程即可.本题也可根据“多边形的外角和为360。”求解.6 .下面的多边形中，内角和为 540°的是（）点拨：由多边形的内角和公式得出内角和为540。的多边形的边数即可.考点4 三角形的三边关系【考点解读】“三角形的任意两边之和大于第三边”是解决问题的理论依据，在实际应用时，可以根据“较小两边之和是否大于最大边”来判断 例6 一个等腰三角形的两

9、边长分别为4, 8,则它的周长为（）A. 12B. 16C. 20D. 16 或 20分析：因为题中没有指明底边和腰的长，所以分类讨论如下：当4为腰长时，4+4=8,故此种情况不存在；当8为腰长时，8 4 8 8 4,符合题意.综上可知此三角形的周长为8+8+4=20.答案:C【规律技法】当题目中的条件没有明确说明时，需分类讨论考虑所有情况，并验证每种情况是否成立.例7已知a, b, c为三角形的三边长，且 a, b满足a2 9 （b 2）2 0,则第三边长c的取值范围是.分析：由题意，得a2 9 0, b 2 0,解得a 3,b 2.因为3 2 1,3 2 5,所以 1 c 5.答案：1 c

10、 5【规律技法】（1）当几个非负数的和为 0时，这几个非负数都等于0;（2三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【反馈练习】7. （2018 南京期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为2, 5,则这个等腰三角形的周长为.点拨:根据腰长和底边长的不同分类讨论，再排除其中不能成立的结果即可8. （2018 扬州期末）如果三角形的两边长分别为5和7,第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（）A. 10B. 11C. 16D. 2 6点拨:先求出第三边长的取值范围，再取其中的偶数即为第三边长 考点5三角形中的重要线段【考点解读】三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供

11、了重要的线段或角的关系，尤其三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分，为计算线段的长度、角的度数、三角形的周长和面积都起到很大的作用例8 如图，已知 ABC. 画 ABC的中线AD,高AH .判断 ABD与 ACD的面积是否相等，说明理由； (2)画 ABD中边AD上的高BE和 ACD中边AD上的高CF ,并利用(1)的结论说明： BE CF . 分析:先画出中线和高，注意钝角三角形 ABD的高BE的画法；在图中，利用AH是 ABD19和 ACD的公共高且BD CD,即可判断Sabd S ACD,在图中，根据S ABD S ACD一 11 可得 ADgBE ADgCF ,所以 BE

12、 CF .解答：(1) ABC的中线AD ,高AH如图所示.ABD与 ACD的面积相等，理由如下： 因为AD边BC上的中线，所以BD CD.1 -1 因为 Sabd 11BDgAH, S acd 2CDgAH ,所以 S ABD S ACD .(2) ABD的高BE和 ACD的高CF如图所示.因为 S ABD S ACD-1 _1所以 ADgBE - ADgCF ,所以BE CF .;(2)等底等高的三角形的面积相等【规律技法】(1)三角形的中线平分三角形的面积【反馈练习】9 .如图，BE,CF是 ABC的两条角平分线，若BAC 62，则 DAC 点拨:三角形的三条角平分线交于同一点.10 .

13、如图，AD为 ABC的中线，BE为 ABD的中线.(1)在 BED中作边BD上的高；(2)若 ABC的面积为60, BD 5,求点E到边BC的距离.点拨:三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分易错题辨析易错点1平行线的判定张冠李戴例1如图，点E在AC的延长线上，下列条件中，能判断ABCD的是()AB. DDCED.D ACD 180A.34C.12错误解答：A , B或D错因分析：3和 4是直线AC,BD被直线BC所截形成的内错角，由 34可得BD/AC ; D和 DCE是直线AE,BD被直线CD所截形成的内错角，由D DCE可得BDAE; 1与 2是直线AB,CD被直线BC所截形成的内错角

14、，由 12可得AB/CD ; D与 ACD是直线AC,BD被直线CD所截形成的同旁内角，由D ACD 180可彳# ACBD .找错直线关系会导致判断错误.正确解答:C易错辨析：实际判定时，一定要分清哪两条直线被哪一条直线所截易错点2在复杂图形中找不到基本图形例2如图，直线AB,CD分别和直线 MN相交于点E,F, EG平分BEN, FH平分 DFN .若ABCD ,你能说明EG和FH也平/行吗？：''飞/',V7/1 _错误解答：因为EG平分 BEN ,所以1 BEN.因为FH平分 DFN ,所以12 DFN .因为 ABCD ,所以 BEN DFN ,所以 12,所

15、以 EGFH2错因分析：能在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角和同旁内角，是运用平行线的判定和性质的前提；认清同位角、内错角和同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线，而 1和 2不是直线EG,FH被某条直线所截得的同位角，错解由于找错了同位角而导致错误.正确解答：因为EG平分 BEN ,LC 1所以 3 BEN .因为FH平分 DFN ,1. ,1所以 4 - DFN .因为 AB/CD ,所以 BEN DFN ,所以 34.因为 3,4是直线EG, FH被直线MN所截得的同位角，所以 EG/FH .易错辨析：在运用平行线的性质或判定时，要正确认识“三线

16、八角”易错点3找错平移前后图形对应点例3如图，线段AB经过平移有一端点到达点 C,画出线段AB平移后的线段CD.错误解答:错因分析：平移是由平移的方向和距离决定的，本题中未指明哪一端点（A还是B）移动到点C ,故应有两种情况，即点 A平移到点C或点B平移到点C.正确解答：如图，线段CD的位置有两种情况：当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此图中的线段 CD1即为所求 当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，因此图中的线段 CD2即为所求.易错辨析：本题没有明确平移前后图形的对应点，应分情况作图易错点4忽略条件不明确引起的分类讨论例4已知等腰三角形的周长为 16 cm, 一腰上的中线把等腰

17、三角形分成周长之差为4 cm的两个三角形，求该等腰三角形的各边长. 错误解答：设等腰三角形 ABC中，AB AC,腰AC上的中线BD把 ABC分成 ABD和 CBD ,所以 ABD和 CBD的周长之差等于AB与BC的长度之差，所以AB BC 4cm.设 BC xcm,则 AC AB (x 4) cm,所以 2(x 4) x 16 ,解得8_ 820x ,所以 BC cm, AB AC cm. 333错因分析：本题由于分析时考虑欠周密而导致漏掉BC AB 4 cm这种情况，虽然这种情况不存在，但必须经过分析说明 .同时，由题意画出图形，以便思考和书写解题过程，这是正 确的解题方法，但本题的错解中

18、也忽略了这一步骤正确解答：设等腰三角形 ABC中，AB AC, BD是中线.如图，若AB BC 4cm,设 BC xcm,则 AC AB (x 4) cm,所以 2(x 4) x 16 ,解得x 8. 3820所以BC -cm, AB AC cm,符合题息.33如图，若BC AB 4cm,设 BC xcm,则 AC AB (x 4) cm,所以 2(x 4) x 16,解得x 8.所以 BC 8 cm, AC AB 4 cm.§cm,20cm,如cm.333因为边长为4 cm, 4 cm, 8 cm的三条线段不能构成三角形,所以这种情况不成立.综上所述，这个等腰三角形的三边长分别为

19、易错辨析：当题目中未给出明确图形时，需根据实际情况分类讨论，避免漏解 易错点5误用多边形内角和公式导致错误例5已知多边形的内角和是 9000 ,求这个多边形的边数.错误解答：因为900 1805,所以这个多边形的边数为5.错因分析：误以为多边形的内角和公式是n180 .正确解答：因为900 1802 7,所以多边形的边数为 7.易错辨析：多边形的内角和公式是 （n 2）g180 .反馈练习1 .若一个多边形的每个内角均为120。，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形点拨:用两种方式表示内角和，列方程求解2 .已知三角形的两边长分别是 4和10,则此三角形第三边的长可能是

20、（）A. 5B. 6C. 12D. 16点拨:根据三角形的三边关系判断.3 .如图，在 ABC 中，CE AB 于点 E, DF AB 于点 F , AC / ED , CE 是 ACB 的平分线，则图中与FDB相等的角（不包含 FDB）的个数为（）A. 3B. 4D. 6C. 5点拨:通过两直线平行得到同位角相等且内错角相等.4 .一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180° ,求这个多边形的边数及内角和的度数点拨:通过多边形内角和公式列方程求解.5 .如图，已知 CB/OA, C OAB 120，点EE,F在射线CB上，且 12,34.(1)求EOB的度数；(2)若平行移动AB

21、,则 OBC: OFC的值是否随之变化？若变化，找出规律或求出其变 化范围；若不变，求出这个比值.点拨：(1)根据平行线及角平分线的性质解答；(2)根据平行线的性质可得出OBC BOA,OFC FOA.探究与应用探究1过一点作已知直线的平行线例1如图，B,D两点在河的同一侧，点C在河的另一侧，为了求得 BCD的度数，过B,D两点分别引两条平行线 AB,DE(ABDE),测得 ABC 80, CDE 140 .请你计算BCD的度数.点拨:若过点C作AB的平行线CF ,则根据平行线的性质，BCF与 DCF的度数都可求出，这样可把BCD的度数转化为 BCF与 DCF度数白差.解答:如图，过点C作CF

22、 / AB .因为 CF/ AB,所以 BCF ABC 80 .因为 AB/DE , AB/CF ,所以DECF ,所以 DCFCDE 180 ,所以 DCF 180 CDE 40 .因为 BCDBCF DCF ,所BCD _ 80 40_402_一一一一一一一一一一一一一一j1.当已知和未知的转化不明显时，常常通过作辅助线的方法加以解决，过一点i作已知直线的平行线是平行问题中常见的作辅助线的方法：2送结迨根区基逸理过程也桓区 J【举一反三】1.如图，已知 AB/CD ,若 BAE 110 , DCE 120 ,则 AEC探究2无具体角度的计算及说明C（第1题）如图，ADBC,点O在AD上，B

23、O,CO分别平分 ABC, DCB .若D m ,求 BOC的度数.点拨：由题意，得BOC 180 ( AOB DOC ).由AD BC及BO,CO分别平分八八-1八八ABC, DCB,可知 AOB DOC -( ABC DCB).解答：因为 ADBC, BO平分 ABC,1所以 AOB COB ABC.21同理 DOC BCO DCB.2因为 A Dm,所以 ABC DCB 360 m ,1所以 AOB DOC ( ABC DCB) 180 -m ,_ 1所以 BOC 180 ( AOB DOC) -m .率MF”一”一”一”一一一”一一一”一一一一 j分析主要从以下两个方面进行：(1)由因

24、导果，即从已知条件出发推出相应结j鹏;(2)色果枣因:艮辱"到苫吨需号备什么回令_. 一一一一一一一一一一一一-2 .如图，已知D BCD 180, AF和CE分别平分 DAC和 ACB .你能得到AFCE吗？青说明理由.探究3与三角形中线有关的面积计算例3如图， ABC的三条中线 AD,BE,CF交于点G.若S abc 12,求图中阴影部分的 面积.ABC的面积为阴影部分点拨:根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可知 面积的3倍.解答：因为 ABC的三条中线 AD,BE,CF交于点G ,所以 FG :GC 1:2,所以 S AFG : S AGC 1: 2 .因为S A

25、GE所以S CGE3sACF .同理可得Sbgf3sBCF .因为S ACFBCF所以S CGE1s3，所以S BGF S CGF 4i规律提示 i求三角形面积的有关结论和方法：三角形一边上的中线把三角形的面积分成I相等的两部分：利用三角形边与高的关系，即抓住等底同高或同底等高：三角形|的重心把三角形的中线分为1:2两部分（重心到顶点的距离占 2份）.DE, AD .若 S abc 24 cm2,则3 .如图，D, E分别是 ABC的边BC, AC的中点，连接DEC的面积为（A. 4 cm 2D. 12 cm2探究4 多边形的内角和定理的综合运用例4如图，试说明：(2)若 BAC1DEF70 ,3.BAC;DFE点拨：(1)根据三角形的内角和定理和补角的性质，用3和 CAE表示出 DEF ,再根据13整理可得证；(2)根据三角形的内角和定理和补角的性质，用2和 BCF表示出DFE ,再根据 2解答：(1)在ACE中，因为 所以 因为 所以DEF DEF 1 3, DEF3整理可得 ACB3 CAE AECAEC 180 ,CAE.(2)在 BCF 中,因为 所以 因为 所以 因为 所以 因为 所以 规律提示DFE DFE 2DFE DFE BCA BCA ABC12 BFC2CA